安徽 朱啟州
(作者單位:安徽省淮北市杜集區(qū)教育局教研室)
山重水復疑無路 柳暗花明又一村
——例談解題過程受阻的原因和對策
在數(shù)學解題中,我們常有解題解不下去的時候,有時是越解越?jīng)]信心做下去,有時是思維受阻無計可施,有時是因思維定式鉆進了牛角尖,種種困境不一而足.遇到這種讓人心煩的情況怎么辦?現(xiàn)從原因與對策兩個方面談一談,供大家參考.
下面是某學生解題歷程,讓我們看看是什么原因造成解不下去.
要判斷f′(x)的符號,關(guān)鍵是判斷分子的符號,由此來確定原函數(shù)在區(qū)間(0,1]上的單調(diào)性,進一步求得最大值的表達式,于是可求出參數(shù)a的值.這種想法是沒問題的,但這種情況下我們常需對上式中的分子因式分解,觀察發(fā)現(xiàn)對ax2-2ax-2分解不易,轉(zhuǎn)而對其中的參數(shù)a討論,于是陷入困境.
【點撥】我們注意到a>0這個條件,對f′(x)換一種變形方式如何?
【評析】知識沒問題,思路也正確,為什么會越做越?jīng)]頭緒了呢?由于受思維定式的影響,我們習慣地將f′(x)化為(1)的形式,而ax2-2ax-2不易繼續(xù)變形,對參數(shù)a討論又過于繁雜,而f′(x)換一種變形方式就可順利求解.當我們因不當形變陷入困境時,不防換一種方法去思考.
【例2】討論關(guān)于x的方程lg(-x2+x+2)=lg(1-k-x)解的情況.
下面是某位學生的解題歷程,讓我們看看是什么原因造成解不下去.
所以x2-2x-1-k=0 (-1 所以Δ=4+4(1+k)≥0,通過求根公式或用韋達定理列不等關(guān)系,討論兩根x1,x2的分布,結(jié)果解題陷入復雜的運算,解不下去. 【點撥】解至x2-2x-1-k=0 (-1 【解析】由x2-2x-1-k=0 (-1 得x2-2x=k+1, 可設(shè)y1=x2-2x,y2=k+1(-1 畫圖象,如圖,觀察圖象,知當k+1≥3,或k+1<-1時,即k≥2,或k<-2時,方程無解; 當k=-2,或-1≤k<2時,有唯一解; 當-2≤k<-1時,有兩解. 【評析】數(shù)形結(jié)合與分類討論都是重要的數(shù)學思想方法,常可化腐朽為神奇. 【例3】如圖,已知P(4,0)是圓x2+y2=36內(nèi)一點,A,B是圓上兩動點,且滿足∠APB=90°,則矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程為________. 某學生是這樣解的: 設(shè)點Q的坐標為(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2), 由矩形APBQ的兩對角線交點R既是PQ中點,又是AB中點,得 x1+x2=x+4,①y1+y2=y,② 又A,B兩點在圓x2+y2=36上, (x1-4)(x2-4)+y1y2=0, 即x1x2+y1y2-4(x1+x2)+16=0.⑤ 聯(lián)立上述五個式子,消去x1,x2,y1,y2,找到x,y之間的關(guān)系,這一點做到真需要一點運算技巧,一般同學恐怕沒有耐心做下去. 【解析】由∠APB=90°,得|AP|2+|BP|2=|PQ|2, 將①③④整體代入上式并整理,可得頂點Q的軌跡方程為x2+y2=56. 【評析】設(shè)參數(shù)過多或隱含條件挖掘不充分常造成上面這種困難局面. (1)求角C的大?。?/p> 【評析】解題中我們常根據(jù)解題經(jīng)驗會對問題解題思路有一個預(yù)設(shè),關(guān)鍵是要隨著解題的深入要隨時矯正預(yù)設(shè)的解題方向和思路. 【例5】已知點O為△ABC的外接圓圓心,且|AC|=4, 【解析】作直徑AD,連接CD,BD,則∠ACD=∠ABD=90°,并設(shè)∠CAD=α,∠BAD=β. 【評析】解題找不到著手點,常因問題隱含條件的挖掘不夠或題設(shè)條件沒充分利用.一般思考起點選擇從問題條件、解題目標、解題方法等方面著手,正確的圖形、特殊情形、類似問題等常能啟發(fā)思考. 【例6】若關(guān)于x的不等式x2+ax-2>0在區(qū)間[1,2]上有解,則實數(shù)a的取值范圍為________. 這是某校高三期末試題,有同學用分類方法求解得出了正確結(jié)果,但做得很辛苦,不少同學半途而廢. 【點撥】問題實質(zhì)就是“存在x0∈[1,2],使x2+ax-2>0”,其否定是“對任意x∈[1,2],都有x2+ax-2≤0”,于是問題轉(zhuǎn)化為“不等式x2+ax-2≤0在區(qū)間[1,2]上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍”,解這一問題就容易多了. 所以fmin(x)=f(2)=-1, 所以不等式x2+ax-2≤0在區(qū)間[1,2]上恒成立,a≤-1, 即不等式x2+ax-2>0在區(qū)間[1,2]上有解實數(shù)a的范圍是(-1,+). 【評析】“窮則思變”,解題中要注意思維的變通性,要善于觀察、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化,根據(jù)問題不同情況靈活制定解題方案. (作者單位:安徽省淮北市杜集區(qū)教育局教研室)三、選用關(guān)系不當,化簡困難,解不下去
四、因解題預(yù)設(shè),思維受阻,解不下去
五、因找不到解題的著手點,解不下去
六、因思維變通性不夠,解不下去