李彬

問題1以下二元二次方程在平面直角坐標系中所對應的是什么類型的二次曲線？

x2-2y2+4xy-6x+16y-7=0.（1）

此問題對于高中生來說是比較棘手的，中學階段接觸到的二次曲線通常是不含交叉項的，如果（1）中去掉4xy，只需分別對x，y配方不難判斷其所對應的曲線類型.

容易發(fā)現(xiàn)，（7，0）、（-1，0）均為（1）所對應的二次曲線上的點. 由于二次方程所對應的曲線（若存在）有且僅有圓、橢圓、雙曲線、拋物線、一個點及兩條（相交或平行或重合）直線這幾種類型[1]. 圓與點的情形可排除，為了判斷該曲線是余下哪種類型之一，我們可考慮其與如下一族平行直線的交點情況：

問題2（1）中所對應的二次曲線離心率是多少？試求出其焦點坐標及準線方程.

問題1中我們給出了對二次曲線類型做定性判斷的方法，但要進行精確的定量計算還需另辟蹊徑.

注在高等代數(shù)（大學課程）中對此問題常規(guī)的處理方法是對二次型所對應的實對稱矩陣做正交相似變換從而消掉交叉項再行配方，正交相似變換的本質即為旋轉（或反射）坐標軸，與我們所采取的上述辦法是殊途同歸的. 另外，對更一般的二次曲線ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0，判斷其類型甚至作定量計算都可采取上述方法，并且利用此法我們能證明（圖象存在的）二次曲線確實有且僅有上文提到過的圓、橢圓、雙曲線、拋物線、點和兩條（相交或平行或重合）直線這幾種類型.

下面我們將嘗試利用待定系數(shù)法求解問題2. 若（1）的方程可寫為如下形式：

注當含有交叉項的二次曲線ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0為橢圓、雙曲線、拋物線、兩條相交或重合直線時均可寫為類似（11）或（13）的如下形式用待定系數(shù)法求解：

其中k≥0且A，B不全為0. 當k=0時顯然為兩條重合直線. 當k>0時將（16）改寫作

參考文獻

[1]陳志杰.高等代數(shù)與解析幾何（下）[M].北京：高等教育出版社，2005.