徐 靜 雯

(南京理工大學(xué) 理學(xué)院，南京 210094)

可消理想的刻畫

徐 靜 雯

(南京理工大學(xué) 理學(xué)院，南京 210094)

針對交換環(huán)R中的理想I是可消理想的定義，提出在(馮諾依曼)正則算術(shù)環(huán)中建立可消理想的一個等價刻畫；通過映射φ:Lat(R)→Lat(I)：對于任意的A∈Lat(R),φ(A)=I∩A，尋找環(huán)R和理想I的進(jìn)一步關(guān)系，得出對于任意的0≠e∈Idem(R)，存在0≠f∈Idem(I)使得Re=Rf;從而給出完全算術(shù)環(huán)中可消理想的等價條件：R是一個完全算術(shù)環(huán)且J(R)=0，那么I是一個可消理想當(dāng)且僅當(dāng)對于任意e∈Idem(R)，存在f∈Idem(I)使得Re=Rf.

正則環(huán)；可消理想；完全不可約理想；完全算術(shù)環(huán)

交換環(huán)理論中一個基本的定理就是理想的可消性：如果對于任意的理想A,B，由AI=BI有A=B.很顯然，主理想a是可消理想當(dāng)且僅當(dāng)a是一個非零因子.可逆理想也是可消理想，所以戴德金環(huán)中每個理想都是可消理想.

Kaplansky在文獻(xiàn)[1]中告訴我們在擬局部環(huán)中有限生成的可消理想是主理想.用Kaplansky的方法，Anderson和Roitman在文獻(xiàn)[2]中建立了交換環(huán)中可消理想的刻畫.特別地，一個理想I是可消理想當(dāng)且僅當(dāng)I是局部正則的主理想環(huán).然而，從這一描述不能直接判斷給定的理想是否是可消理想.Huneke進(jìn)一步在文獻(xiàn)[3]中研究了正則局部環(huán)中的可消理想并且建立了對于某些特殊的理想的一些刻畫.如果R是一個局部正則環(huán)，P是R的素理想并且dim(R/P)=1，J是P的最小約減，則由PI=PJ得到I=J對于R中任意的理想都成立.

本文的主要目的就是在(馮諾依曼)正則算術(shù)環(huán)中建立可消理想的一個刻畫.主要的結(jié)論就是定理1，定理1介紹了對于一個正則算術(shù)環(huán)R，以下的結(jié)論是等價的：(1)I是可消理想；(2) 映射φ:Lat(R)→Lat(I)：對于任意的A∈Lat(R),φ(A)=I∩A是一個同構(gòu)映射；(3) 對于任意的0≠x∈R，存在0≠y∈I，使得ValR(x)=ValR(y)；(4) 對于任意的0≠e∈Idem(R)，存在0≠f∈Idem(I)使得Re=Rf.

在這篇文章中，R是含單位元1的交換環(huán),用J(R)表示Jacobson根，Idem(R)表示所有冪等元的集合，Lat(R)表示所有理想的格.

注意到以下條件是等價的：

(1)M是完全不可約的.

(2)M*=∩{J∈Lat(R)|J?M}是嚴(yán)格包含M的最小理想.

(3) 對于任意的x∈M*-M，M是不包含x的極大理想.

文獻(xiàn)[4]給出了環(huán)R中非零元x值的定義：如果一個理想M是不含x的極大理想，則M被稱為x的值.由Zorn引理，R中每個非零元都至少有一個值，用Val(x)表示x所有值的集合.因此，可以推出：M∈ValR(x)?x∈M*M?M是完全不可約的.

引理1 令I(lǐng)是環(huán)R的一個理想，定義φ：Lat(R)→Lat(I)如下：對于任意的A∈Lat(R),φ(A)=I∩A，則φ是保序的滿射.

證明 顯然φ是保序的映射.對于I中任意的理想α，令A(yù)是R中由α生成的理想.注意到A=∩{M∈Lat(R)|M?α,M是完全不可約的}，并且α?A∩I.如果x?α，那么由Zorn引理，存在M∈ValR(x)使得α?M.故x?A∩I，所以α=A∩I.這表明φ是保序的滿射.

顯然，如果φ是單的，則φ就是一個格同構(gòu).在這種情況下，A∈Lat(R)是主理想當(dāng)且僅當(dāng)I∩A是主理想.

為了后面表述便利,回顧一下已有知識：

(1) 一個環(huán)R被稱為(馮諾依曼)正則是指對于任意的x∈R，存在某個y∈R使得x=xyx.

(2) 環(huán)R的一個理想M被稱為不可約是指對于環(huán)R的理想I和J，如果I∩J=M，則有I=M或者J=M.

(3) 環(huán)R的一個理想M被稱為強(qiáng)不可約是指對于環(huán)R的理想I和J，如果I∩J?M，則有I?M或者J?M[5].

(4) 環(huán)R被稱為算術(shù)環(huán)是指對于環(huán)R的任意理想I,J,K,有I+(J∩K)=(I+J)∩(I+K).

在文獻(xiàn)[5]中給出了算術(shù)環(huán)的等價條件：一個環(huán)R是算術(shù)環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R的每個不可約理想是強(qiáng)不可約的.

引理2 一個環(huán)R是(馮諾依曼)正則算術(shù)環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R的每個不可約理想是素的.

證明 “?”首先證明R是(馮諾依曼)正則的.只需證明對于環(huán)R的任意理想I,J，有I∩J?IJ即可.假設(shè)I∩J，那么可以選擇0≠x∈(I∩J)IJ.由Zorn引理，存在某個M∈ValR(x)使得IJ?M.M完全不可約，所以M是素的.由IJ?M，有I?M或者J?M.注意到x∈I∩J但是x?M，顯然矛盾.所以I∩J=IJ,所以R是(馮諾依曼)正則的.由于R的素理想一定是強(qiáng)不可約的，所以R的每個不可約理想都是強(qiáng)不可約的，所以R是一個算術(shù)環(huán).

“?”令M是R的一個不可約理想，I,J是R的理想并且有IJ?M.由于R是(馮諾依曼)正則的，有IJ=I∩J.又由于R是算術(shù)環(huán)，M強(qiáng)不可約，由I∩J=IJ?M可以得到I?M或者J?M，即M是素的.

定理1 令R是(馮諾依曼)正則算術(shù)環(huán)，以下條件是等價的：

(1)I是可消理想.

(2) 映射φ:Lat(R)→Lat(I)：對于任意的A∈Lat(R),φ(A)=I∩A是一個同構(gòu)映射.

(3)對于任意的0≠x∈R，存在0≠y∈I，使得ValR(x)=ValR(y).

(4)對于任意的0≠e∈Idem(R)，存在0≠f∈Idem(I)使得Re=Rf.

證明

(1)?(2)：因為R是正則環(huán)，所以是顯然的.

(2)?(3)：如果映射φ是同構(gòu)，那么對于任意的0≠x∈R，存在0≠y∈I使得(y)=I∩(x).斷言ValR(x)=ValR(y).如果M∈ValR(x)，那么x∈M*M,顯然，y∈M*.假設(shè)y∈M,那么I∩(x)=(y)?M.由于R是(馮諾依曼)正則算術(shù)環(huán)，M完全不可約意味著M強(qiáng)不可約且M是素的.由(x)?M，根據(jù)引理2，可以得到I?M，所以由φ是同構(gòu)，可以得到M=M*,矛盾，所以得到M∈ValR(y).反過來，如果M∈ValR(y)，那么由y?M可以得到x?M.注意到，由y?M得到I?M,可以選擇k∈IM.由于R是一個(馮諾依曼)正則算數(shù)環(huán)，(y)=I∩(x)=I(x)，對某個r∈R，有y=krx成立.由y∈M*M，x∈M*M，從而M∈ValR(x)，所以ValR(x)=ValR(y).

(3)?(4)：由于R是一個(馮諾依曼)正則環(huán)，只需要證明對于任意的0≠x∈R，存在0≠y∈I使得Rx=Ry即可.假設(shè)Rx?Ry，那么x?Ry.由Zorn引理，存在M∈ValR(x)，使得Ry?M,所以M?ValR(y)這與ValR(x)=ValR(y)矛盾.從而Rx?Ry，同理得到Ry?Rx，所以Rx=Ry.

(4)?(2)：對于R中任意冪等元e,f，Re=Rf成立當(dāng)且僅當(dāng)ValR(e)=ValR(f)成立.令I(lǐng)∩A=I∩B，其中A,B∈Lat(R).假設(shè)A?B，那么由R是(馮諾依曼)正則，可以選擇0≠e∈AB，由Zorn引理，存在冪等元0≠f∈I使得ValR(e)=ValR(f).所以，ef∈I∩A=I∩B?B?M，由引理2可知，M素，能得到e∈M或者f∈M,矛盾.因此，能得到A?B，同理可得B?A.故A=B且φ是單射，所以φ是同構(gòu).

在文章的最后，將把定理1應(yīng)用到研究完全算術(shù)環(huán)的可消理想上.

由文獻(xiàn)[4]中定理3.3,知道環(huán)R是完全算術(shù)環(huán)并且J(R)=0當(dāng)且僅當(dāng)R是一個半局部(馮諾依曼)正則環(huán).

根據(jù)定理1和文獻(xiàn)[4]中的定理3.3可以直接得到：

推論1 令R是一個完全算術(shù)環(huán)且J(R)=0，那么I是一個可消理想當(dāng)且僅當(dāng)對于任意e∈Idem(R)，存在f∈Idem(I)使得Re=Rf.

[1] KAPLANSKY I.Topics in Commutative Ring Theory[M].University of Chicago,2013

[2] ANDERSON D D, ROITMAN M.A Characterization of Cancellation Ideals[J].Proceeding of A M S ，1997,125(10): 2853-2854

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責(zé)任編輯：李翠薇

A Characterization for Cancellation Ideals

XU Jing-wen

(School of Science, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

As for the definition of an ideal I of a commutative ring R which is called a cancellation ideal, this paper establishes an equivalent characterization for cancellation ideals in a (von Neumann) regular arithmetical ring, uses the mapφ:Lat(R)→Lat(I):for anyA∈Lat(R),φ(A)=I∩Ato study the relationship betweenRandI, then successfully gets the conclusion that 0≠e∈Idem(R), there exists 0≠f∈Idem(I), such thatRe=Rf, therefore gives the equivalent condition for cancellation ideal in completely arithmetical ring:Ris a completely arithmetical ring andJ(R)=0, then I is a cancellation ideal if and only if for anye∈Idem(R), there existsf∈Idem(I), so thatRe=Rf.

regular ring; cancellation ideal; completely irreducible ideal; completely arithmetical ring

2016-06-30；

2016-10-25.

徐靜雯(1992-)，女，江蘇常州人，碩士，從事代數(shù)學(xué)研究.

10.16055/j.issn.1672-058X.2017.0002.008

O152.2

A

1672-058X(2017)02-0034-03