楊麗紅，劉晨中

(上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093)

等溫容器充氣時(shí)截面銅絲分布的拓?fù)鋬?yōu)化研究

楊麗紅，劉晨中

(上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093)

以等溫容器截面為研究對(duì)象，截面銅絲看作多孔介質(zhì)，采用拓?fù)鋬?yōu)化方法優(yōu)化銅絲分布，強(qiáng)化充氣過(guò)程中容器中心向容器壁的導(dǎo)熱。選用變密度法材料插值模型，基于彈性體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型和熱力學(xué)知識(shí)，推導(dǎo)建立基于變密度法的散熱體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型。以改進(jìn)的網(wǎng)格靈敏度過(guò)濾技術(shù)等用于解決優(yōu)化中的數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，運(yùn)用Matlab編程得到容器截面銅絲分布的拓?fù)鋬?yōu)化模型。并在初始溫度20 ℃，中心邊界200 ℃加熱的情況下，經(jīng)過(guò)200 s，通過(guò)與均勻填充和二層變密度填充模型的瞬態(tài)導(dǎo)熱仿真對(duì)比，得出拓?fù)鋬?yōu)化模型的導(dǎo)熱效果更佳。研究結(jié)果表明，經(jīng)過(guò)拓?fù)鋬?yōu)化后的填充模型可強(qiáng)化等溫容器充氣過(guò)程中由中心向周圍的傳熱。

等溫容器；多孔介質(zhì)；強(qiáng)化傳熱；拓?fù)鋬?yōu)化；變密度法

等溫容器概念是日本東京工業(yè)大學(xué)香川利春教授于1995年提出的，是一種在普通容器內(nèi)填充一定量的等溫材料(一般為細(xì)銅絲)，使其無(wú)論在充氣還是放氣時(shí)容器內(nèi)空氣溫度都基本不變的一種特殊容器[1]。由于其等溫特性，常被用在氣動(dòng)系統(tǒng)的測(cè)試和控制中，尤其在流量測(cè)試領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。利用等溫容器用來(lái)檢測(cè)氣體流量計(jì)的動(dòng)態(tài)性能[2-3]；測(cè)定氣動(dòng)元件的流量特性[4]；用于提高真空吸盤動(dòng)態(tài)壓力響應(yīng)和組成高精度、快響應(yīng)減壓閥控制氣動(dòng)隔振臺(tái)[5]等。但在等溫容器實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，由于充放氣時(shí)容器內(nèi)填充的金屬絲強(qiáng)化傳熱效果不足，導(dǎo)致容器內(nèi)氣體溫度存在偏差，致使容器的實(shí)際等溫效果不夠理想。為了使等溫容器更好的適用于流量測(cè)試等領(lǐng)域，通過(guò)強(qiáng)化金屬絲的傳熱效果來(lái)改善容器充氣時(shí)的等溫特性具有重要的研究?jī)r(jià)值。許多學(xué)者在研究細(xì)金屬絲填充物強(qiáng)化傳熱時(shí)[2-4]，將其看作是多孔介質(zhì)。

拓?fù)鋬?yōu)化是以材料分布為研究對(duì)象，在一塊初始設(shè)計(jì)域內(nèi)，通過(guò)拓?fù)鋬?yōu)化，找到材料最佳的分布方案。目前主要的拓?fù)鋬?yōu)化方法有均勻化方法、變密度法、漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法和水平集方法。散熱結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)是拓?fù)鋬?yōu)化的一個(gè)重要的研究領(lǐng)域，在給定材料的約束下，找到結(jié)構(gòu)最佳的傳熱路徑。傳統(tǒng)的傳熱結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)一般是基于熱力學(xué)計(jì)算和工程經(jīng)驗(yàn)，然而不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)形式散熱器的散熱效果顯然不同，如何找到物體的最佳散熱拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，是一個(gè)重要的問(wèn)題。 Sigmund[7]將結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中的變密度法直接拓展到了傳熱結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，并發(fā)表了一個(gè)簡(jiǎn)單有效的拓?fù)鋬?yōu)化程序，可應(yīng)用于一般力學(xué)和傳熱學(xué)結(jié)構(gòu)當(dāng)中。國(guó)內(nèi)左孔天[8]應(yīng)用結(jié)構(gòu)力學(xué)中的SIMP法，建立了熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型，說(shuō)明在結(jié)構(gòu)優(yōu)化中廣泛應(yīng)用的拓?fù)鋬?yōu)化方法，也可用來(lái)優(yōu)化材料拓?fù)浞植紒?lái)強(qiáng)化傳熱。曹茹[9]基于漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化思想的優(yōu)化方法和優(yōu)化準(zhǔn)則，建立了熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型。

1 熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型建立

變密度法又稱為固體各向同性材料懲罰法(Solid Isotropic Material with Penalization，SIMP)，假定材料為各向同性材料，以材料密度為設(shè)計(jì)變量，無(wú)需加入附加的均勻化過(guò)程和細(xì)微結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確快捷地獲取彈性模量與單元密度之間的關(guān)系，從而減少優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，簡(jiǎn)化優(yōu)化求解過(guò)程，是一種應(yīng)用廣泛的材料插值方法。

在SIMP方法前提下，優(yōu)化目標(biāo)為最小柔度的彈性體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型為[7]

s.t.:V=f·V0

KU=F

0

(1)

式中，U和F分別為位移列陣和力向量；K為整體剛度矩陣；V和V0為優(yōu)化后結(jié)構(gòu)體積和設(shè)計(jì)域初始體積；f為規(guī)定的體積比；xe為設(shè)計(jì)變量，以單元相對(duì)密度表示；xmin為設(shè)計(jì)變量的最小極限值；ue表示單元?jiǎng)偠染仃嚕籲為離散單元總數(shù)目。

ke=(xe)pk0，k0和ke分別表示初始剛度矩陣和優(yōu)化后剛度矩陣, 為懲罰因子，其的作用是對(duì)中間密度單元項(xiàng)進(jìn)行懲罰，使中間密度單元數(shù)目盡量減少，結(jié)構(gòu)單元密度盡可能趨近于0或1。

對(duì)于平面導(dǎo)熱，其導(dǎo)熱微分方程為

(2)

式中，λ(W·m-1·℃-1)為材料的導(dǎo)熱系數(shù)；ρ(kg·m-3)為材料密度；c(J·kg-1·℃-1)為材料的比熱容；T(℃)為物體的瞬態(tài)溫度；t(s)為導(dǎo)熱時(shí)間；qv(W·m-3)為材料的內(nèi)熱源強(qiáng)度；x和x(m)為直角坐標(biāo)。

對(duì)于平面穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)有

(3)

邊界條件：這里假定模型存在第一類邊界，無(wú)第二類、第三類邊界，所以

T|Γ=f(x,y,t)

(4)

其中，Γ為物體邊界；f(x,y,t)為已知溫度函數(shù)。

初始條件：規(guī)定了開(kāi)始傳熱時(shí)物體所具有的溫度，公式表示為：T|t=0=φ(x,y)。

選擇合適的目標(biāo)函數(shù)是拓?fù)鋬?yōu)化求解的至關(guān)重要的一步。對(duì)于穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題，傳入?yún)^(qū)域的熱量為

(5)

在非穩(wěn)態(tài)傳熱情況下，將各點(diǎn)溫度與熱流密度的乘積積分稱為散熱弱度。物體在內(nèi)部和邊界上傳入的熱量一定的條件下，溫度越低，散熱弱度越小，整個(gè)設(shè)計(jì)域上的平均溫度越低。根據(jù)傅里葉定律將q的表達(dá)式帶入可得到散熱弱度

(6)

對(duì)于穩(wěn)態(tài)情況，不考慮對(duì)流邊界，去掉式(6)的后一項(xiàng)，然后經(jīng)離散化處理后得

(7)

式(7)中，散熱弱度的量綱是焦耳·開(kāi)爾文(J·K)，其代表物體向周圍介質(zhì)導(dǎo)熱的能力。熱量傳遞中散熱弱度存在耗散，當(dāng)其熱量傳遞過(guò)程中散熱弱度為最小時(shí)，熱量傳遞效率最高。散熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)就是使散熱弱都最小化，最小散熱弱度等于最大散熱強(qiáng)度。

根據(jù)彈性體的拓?fù)鋬?yōu)化模型，相應(yīng)的可建立熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

s.t.:V=f·V0

KT=P

0

(8)

式中，K為結(jié)構(gòu)總體熱剛度矩陣；ke為單元熱剛度矩陣；te為單元溫度，T為由te組成的列向量；xe為單元相對(duì)密度；k0為材料密度為1的單元熱剛度矩陣；P為節(jié)點(diǎn)熱載荷列陣。

由于研究模型為單目標(biāo)函數(shù)問(wèn)題，優(yōu)化算法選取優(yōu)化準(zhǔn)則法(OC)，OC法具有程序設(shè)計(jì)量較低，對(duì)設(shè)計(jì)變量數(shù)沒(méi)有太大要求，程序收斂快等優(yōu)點(diǎn)。其是由目標(biāo)函數(shù)和約束條件構(gòu)成的拉格朗日函數(shù)。考慮設(shè)計(jì)變量上下限的情況，可推得式(8)的優(yōu)化準(zhǔn)則法求解公式為

(9)

引入阻尼系數(shù) 是為了確保數(shù)值計(jì)算的收斂性和穩(wěn)定性。

2 優(yōu)化的實(shí)現(xiàn)流程與結(jié)果

2.1 單元熱剛度矩陣

由于所研究的截面模型離散出的四節(jié)點(diǎn)四邊形單元不是規(guī)則的四邊形，圖1所示，所以對(duì)于任意形狀的四邊形單元要尋求一種坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)換為圖1右圖的正方形單元，將整體坐標(biāo) 轉(zhuǎn)換為局部坐標(biāo)(ξ,η)。

圖1 四邊形單元坐標(biāo)變換

構(gòu)造四邊形單元形函數(shù)和局部坐標(biāo)溫度插值函數(shù)。對(duì)于平面溫度場(chǎng)的計(jì)算，運(yùn)用四邊形單元變分原理，可得到

(10)

其中，J為溫度場(chǎng)泛函；[N]e{?T/?t}e為單元非穩(wěn)態(tài)溫度對(duì)時(shí)間的變化函數(shù)。對(duì)于穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)，不考慮對(duì)流邊界情況，公式可簡(jiǎn)化為

(11)

單元熱剛度矩陣的求解運(yùn)用二維高斯數(shù)值積分即可得出。

2.2 實(shí)現(xiàn)流程

變量的迭代更新，采用OC優(yōu)化準(zhǔn)則法迭代，利用Sigmund提出的著名啟發(fā)式迭代格式對(duì)變量進(jìn)行迭代更新，選擇移動(dòng)變量m=0.2，表達(dá)式為

(12)

在SIMP材料插值模型的基礎(chǔ)上，基于OC優(yōu)化準(zhǔn)則算法求解散熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題的實(shí)現(xiàn)流程如圖2所示。

圖2 基于SIMP法的散熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化流程圖

2.3 數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象及解決方法

拓?fù)鋬?yōu)化中常出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象：多孔材料、棋盤格、網(wǎng)格依賴性和局部最優(yōu)等。多孔材料問(wèn)題前面通過(guò)在目標(biāo)函數(shù)中添加懲罰因子p的方式來(lái)盡量消除。針對(duì)棋盤格和網(wǎng)格依賴性現(xiàn)象，本研究采用Sigmund[7]提出的靈敏度過(guò)濾技術(shù)，選用線性過(guò)濾中基于卷積技術(shù)的靈敏度過(guò)濾技術(shù)。過(guò)濾器通過(guò)對(duì)第e個(gè)單元的靈敏度和其周圍的單元靈敏度進(jìn)行加權(quán)平均以防止密度的突變，雖該方法是啟發(fā)式算法，但由于過(guò)濾方法無(wú)需考慮額外的約束，沒(méi)有增加優(yōu)化問(wèn)題的復(fù)雜性。

e=1,2,…,n

(13)

圖3 不同過(guò)濾半徑的影響效果示意圖

2.4 優(yōu)化結(jié)果

本文根據(jù)等溫容器截面銅絲的形狀，建立了內(nèi)徑20 mm，外徑200 mm的圓環(huán)狀模型，網(wǎng)格劃分為40×160個(gè)單元。使用Matlab進(jìn)行有限元分析、熱剛度矩陣、拓?fù)鋬?yōu)化等程序的編輯，阻尼系數(shù)η取 ,懲罰因子p取3，式(8)中體積比f(wàn)取30%，程序運(yùn)行迭代得到優(yōu)化后的模型。

最終的優(yōu)化結(jié)果得到了預(yù)想中的樹(shù)枝狀結(jié)構(gòu)。幾個(gè)主枝干集中在靠近容器中心的部位，越向外分支越多，淺色部分代表設(shè)計(jì)變量密度小的區(qū)域，深色部分代表密度大的區(qū)域。

3 仿真分析

為驗(yàn)證優(yōu)化模型的強(qiáng)化傳熱效果，對(duì)模型進(jìn)行非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱仿真分析。有些學(xué)者[14]研究表明多孔介質(zhì)內(nèi)層孔隙率小，外層孔隙率大的分層變密度填充可有效增強(qiáng)強(qiáng)化傳熱效果。容器分層填充熱量傳導(dǎo)過(guò)程可看作多層同心圓環(huán)的傳熱，本文采用優(yōu)化模型與均勻填充和二層變密度填充進(jìn)行對(duì)比的方式驗(yàn)證拓?fù)鋬?yōu)化的優(yōu)化效果。

截面銅絲看作大孔隙率多孔介質(zhì)，為保證每個(gè)模型所用到的銅絲質(zhì)量相同，均勻填充模型的孔隙率設(shè)定為97%，二層填充以劃分網(wǎng)格的第20層，即半徑55 mm處為分界，半徑10～55 mm圓環(huán)部分的孔隙率設(shè)為93.42%，55～100 mm圓環(huán)部分孔隙率設(shè)為98.5%，拓?fù)鋬?yōu)化模型中設(shè)計(jì)變量密度大的單元采用較小的孔隙率，密度小的單元采用較大的孔隙率，使其整體平均孔隙率基本保持在97%。

有限元熱傳導(dǎo)模型：{P}t=[K]t{T}t+[N]{?T/?t}t，其中總體熱剛度矩陣K由上文中得出的單元熱剛度矩陣組裝得到：[K]=∑[Ke]；[N]{?T/?t}t為非穩(wěn)態(tài)溫度對(duì)時(shí)間的變化函數(shù)，矩陣N可由矩陣K的求解方法得出；溫度時(shí)間導(dǎo)數(shù){?T/?t}t采用向后差分的格式變換：{?T/?t}t=({T}t-{T}t-Δt)+O(Δt)，Δt為時(shí)間差分步長(zhǎng)，O(Δt)表示截?cái)嗾`差的數(shù)量級(jí)。

矩陣中所用到的導(dǎo)熱系數(shù)、密度和比熱容需按照孔隙率的大小進(jìn)行變換

λe=(1-φ)λs+φλf

ρe=(1-φ)ρs+φρf

ce=(1-φ)cs+φcf

(14)

式中，φ為孔隙率；λe、ρe、ce分別為有效導(dǎo)熱系數(shù)、有效密度和有效比熱容；λs、ρs、cs為純銅的相應(yīng)參數(shù)；λf、ρe、ce為20 ℃時(shí)空氣的相應(yīng)參數(shù)。

仿真初始溫度設(shè)為20 ℃，內(nèi)邊界溫度為200 ℃，導(dǎo)熱時(shí)間200 s，Matlab編輯仿真程序，得到優(yōu)化后模型的溫度場(chǎng)分布圖。

圖5 優(yōu)化模型溫度分布圖

對(duì)均勻填充在相同條件下仿真后得到溫度場(chǎng)分布圖。對(duì)二層填充在相同條件下仿真后得到溫度場(chǎng)分布圖。

圖6 均勻填充溫度分布圖

圖7 二層變密度填充溫度分布圖

為更直觀對(duì)比3種填充模型的溫度分布，按照半徑上40層層數(shù)為橫坐標(biāo)，每層160個(gè)單元的溫度取平均值作為縱坐標(biāo)，繪制出如下的坐標(biāo)圖。

圖8 優(yōu)化后與均勻填充模型溫度分布對(duì)比圖

從對(duì)比圖可看出，拓?fù)鋬?yōu)化模型和二層變密度填充的導(dǎo)熱效果要遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于均勻填充，不僅溫度分布更加均勻，且相同徑向距離的溫度值都要高于均勻填充，而拓?fù)鋬?yōu)化模型還要略優(yōu)于二層變密度填充。統(tǒng)計(jì)整體設(shè)計(jì)域的平均溫度值，均勻填充的設(shè)計(jì)域平均溫度為109.88 ℃，二層變密度填充為145.38 ℃，拓?fù)鋬?yōu)化模型為150.64 ℃，拓?fù)鋬?yōu)化模型設(shè)計(jì)域平均溫度相較均勻填充高出37.1%，相較二層變密度填充高出3.62%。即在相同傳熱時(shí)間內(nèi)，拓?fù)鋬?yōu)化模型縮小了容器壁與容器中心的溫差，提高了容器截面的導(dǎo)熱效率，達(dá)到了強(qiáng)化傳熱的目的。

4 結(jié)束語(yǔ)

等溫容器廣泛地應(yīng)用于氣動(dòng)系統(tǒng)等領(lǐng)域中，為更好地利用和改善其等溫特性，優(yōu)化容器截面銅絲的分布，增強(qiáng)其強(qiáng)化傳熱效果具有重要的研究意義。

(1)本文將已經(jīng)被廣泛應(yīng)用的基于SIMP法的彈性體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法與熱力學(xué)知識(shí)相結(jié)合，推導(dǎo)得出基于SIMP法的散熱體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型；(2)求解得出了不規(guī)則四邊形單元的熱剛度矩陣，改進(jìn)的網(wǎng)格靈敏度過(guò)濾技術(shù)和懲罰因子的引入基本解決了優(yōu)化過(guò)程中的數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，然后使用Matlab編程得出拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果；(3)在平均孔隙率一致的情況下，將拓?fù)鋬?yōu)化模型與均勻填充和二層變密度填充進(jìn)行瞬態(tài)導(dǎo)熱仿真分

析的對(duì)比，仿真結(jié)果表明拓?fù)鋬?yōu)化模型的強(qiáng)化傳熱效果要優(yōu)于另外兩種模型，其整體設(shè)計(jì)域的平均溫度較均勻填充高出37.1%，較二層變密度填充高出3.62%。

以上研究結(jié)果表明拓?fù)鋬?yōu)化方法可應(yīng)用于傳熱問(wèn)題當(dāng)中，最終的優(yōu)化模型降低了等溫容器充氣時(shí)中心與容器壁的溫差，達(dá)到了強(qiáng)化傳熱效果。得到的優(yōu)化模型也可應(yīng)用于電子電路的散熱問(wèn)題當(dāng)中。

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Study on Topology Optimization for the Copper Wire Distribution of Isothermal Chamber Section During Inflating

YANG Lihong，LIU Chenzhong

(School of Mechanical Engineering，University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093, China)

With isothermal chamber section as the research object,the copper wire section is considered porous media,optimizing the distribution of copper wire with topology optimization to strengthen conduction of the chamber center to the chamber wall during inflating.Above all,selecting the variable density method interpolation model,setting up heat dissipation structure topology optimization mathematical model based on the variable density method by the elastic body structure topology optimization model and the knowledge of thermodynamics.Secondly,the improved mesh sensitivity filtering technology is used to solve the numerical instability phenomenon of optimization,topology optimization model of the copper wire distribution of chamber section can be gotten by using Matlab programming.Finally,on the condition of the initial temperature of 20 ℃,heating center boundary of 200 ℃ and through 200 s,heat conduction effect of topology optimization model is better by contrast of transient simulation of thermal conductivity with uniform filling and filling model of two-layer variable density.Research results show that the topology optimization filling model can be used to strengthen the heat conduction from the center to the surrounding of isothermal chamber during inflating.

isothermal chamber; porous media; heat transfer enhancement; topology optimization; variable density method

2016- 04- 22

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51245009)；上海市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(12ZR1420600)

楊麗紅(1973-)，女，博士,副教授。研究方向：先進(jìn)制造技術(shù)等。劉晨中(1991-)，男，碩士研究生。研究方向：傳熱傳質(zhì)優(yōu)化。

10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2017.03.018

TN304;TP301.6

A

1007-7820(2017)03-065-05