馬建偉，石佳玉

(河南科技大學 信息工程學院，河南 洛陽 471023)

非完整約束移動機器人的軌跡跟蹤控制

馬建偉，石佳玉

(河南科技大學 信息工程學院，河南 洛陽 471023)

針對非完整約束移動機器人運動學與動力學模型，根據(jù)軌跡跟蹤控制目標的需要，設(shè)計了一種簡單的控制器，該控制器結(jié)合了運動學控制器設(shè)和動力學控制器兩部分；針對運動學模型，采用自適應算法對其未知參數(shù)進行估計，針對系統(tǒng)動力學模型，采用單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法克服未知擾動對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，使速度誤差盡可能地縮?。辉贚yapunov穩(wěn)定性理論的基礎(chǔ)上證明了系統(tǒng)的收斂性和穩(wěn)定性，該控制算法簡單有效，易于實現(xiàn)；仿真結(jié)果表明：該控制策略可以實現(xiàn)對移動機器人期望軌跡的穩(wěn)定跟蹤，驗證了算法的有效性。

移動機器人；自適應控制；神經(jīng)網(wǎng)路；軌跡跟蹤

0 引言

在移動機器人的控制研究中，一般考慮理想的約束條件，這使得非完整約束移動機器人成為非完整系統(tǒng)的研究重點，作為非完整約束移動機器人運動控制的問題之一，軌跡跟蹤問題已經(jīng)受到越來越多的關(guān)注，軌跡跟蹤的最終目標是設(shè)計合適的控制器，使實際軌跡盡可能快速穩(wěn)定的跟蹤到期望軌跡，然而在實際的工程實踐中，由于外部擾動及系統(tǒng)本身參數(shù)等不確定因素的存在，要達到快速跟蹤的目的，就顯得尤為困難。

最初的研究大多基于運動學模型設(shè)計速度控制率，Aneesh[1]使用積分反推的非線性狀態(tài)反饋控制器設(shè)計了全局軌跡跟蹤控制器。文獻[2]針對機器人運動學模型使用積分反推的方法，確定非線性控制率，確保了全局漸近穩(wěn)定性。文獻[3]采用基于積分Backstepping的方法引入一種新的虛擬反饋量，設(shè)計了機器人全局軌跡跟蹤算法。Cheng[4]利用反演思想設(shè)計了基于反饋控制率的全局漸近跟蹤控制器。文獻[5]針對移動機器人的運動學模型，以兩后輪為控制輸入，設(shè)計了具有全局漸近穩(wěn)定性的自適應軌跡跟蹤控制器。但是以上控制器設(shè)計均為考慮系統(tǒng)未知參數(shù)對軌跡跟蹤效果的影響，具有一定的局限性。Jia等[6]在充分考慮未知參數(shù)影響的前提下，運用自適應控制算法實現(xiàn)其魯棒控制。上述控制算法都是僅僅基于移動機器人運動學模型設(shè)計速度控制率，它們都是以完美速度跟蹤為前提的，但是這種前提并沒有考慮外界干擾等因素的存在，有很大的缺陷。

針對以上問題，結(jié)合系統(tǒng)運動學模型和動力學模型，設(shè)計控制器的方法得到了越來越多的使用。文獻[7]針對完美速度跟蹤假設(shè)難以實現(xiàn)的問題，結(jié)合運動學模型和動力學模型設(shè)計軌跡跟蹤控制器，文獻[8]針對移動機器人的運動學、動力學模型，運用自適應和反演算法，設(shè)計軌跡跟蹤控制器。上述控制器設(shè)計雖然充分考慮了運動學模型和動力學模型，但是并沒有注意到外界干擾對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。文獻[9]，[10]建立了雙閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)，充分協(xié)調(diào)了系統(tǒng)運動學和動力學層面的控制。

在研究非完整移動機器人運行學模型和動力學模型的基礎(chǔ)上，并充分考慮外界未知擾動和系統(tǒng)本身參數(shù)變化的基礎(chǔ)上，結(jié)合自適應控制和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，設(shè)計了軌跡跟蹤控制器.

1 非完整約束移動機器人模型

研究對象為輪式移動機器人，通過后輪兩個電機轉(zhuǎn)動速度的不同可實現(xiàn)輪式移動機器人的轉(zhuǎn)彎。如圖1所示，移動機器人在笛卡爾坐標系{O,X,Y}中的姿態(tài)用q=[xyθ]T表示，其中(x,y)表示參考點P在笛卡爾坐標系中的坐標，θ表示笛卡爾坐標系與{P,Xc,Yc}之間的夾角，r和2b分別表示機器人驅(qū)動輪的半徑和兩個驅(qū)動的間距，移動機器人兩個驅(qū)動輪中心設(shè)為點M，重心位置為P。

圖1 移動機器人

n維系統(tǒng)狀態(tài)并受m維約束的非完整移動機器人的動力學方程可以表示為:

B(q)τ-AT(q)λ

(1)

其中:m表示移動機器人的質(zhì)量，I表示轉(zhuǎn)動慣量，τr和τl分別表示移動機器人右輪和左輪的力矩。

移動機器人非完整約束可以表示為：

(2)

選擇一個n-m維矩陣S(q)為A(q)零空間的一組基，所以有：

A(q)S(q)=0

(3)

由式(2)和式(3)可以得到ν(t)作為控制輸入的系統(tǒng)狀態(tài)與其的導數(shù)非線性關(guān)系：

(4)

其中:νp和ωp分別為機器人線速度和角速度。

機器人的線速度和角速度與其驅(qū)動輪的角速度之間存在如下關(guān)系：

(5)

其中:ωr和ωl分別為機器人驅(qū)動輪右輪和左輪的角速度，所以運動學方程又可以表示為：

(6)

(7)

其中參數(shù)矩陣為：

式(7)可以重新表示為：

(8)

(9)

2 控制器設(shè)計

分別從運動學和動力學的角度分析移動機器人的軌跡跟蹤控制問題，圖2是機器人控制結(jié)構(gòu)框圖，采用基于單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應控制器設(shè)計方法，這樣可以使機器人的實際速度可以平滑地跟蹤參考控制輸入。

圖2 移動機器人控制結(jié)構(gòu)框圖

其中，q=[xyθ]T表示機器人實際運動軌跡，用qr=[xryrθr]T表示參考運動軌跡。

2.1 運動學模型的自適應控制器設(shè)計

(10)

位姿誤差變化率可以表示為：

(11)

根據(jù)及誤差公式(9)選擇用于跟蹤的控制輸入：

(12)

其中，k1和k2均為正數(shù)。

(13)

位姿誤差變化率式(10)又可以表示為：

(14)

定義Lyapunov函數(shù):

(15)

其中，γ1和γ2為正數(shù)，對式(15)求導得到：

(16)

取未知參數(shù)自適應率：

(17)

將式(17)代入式(16)得：

2.2 動力學模型的神經(jīng)網(wǎng)路控制器設(shè)計

由于在實際情況下，移動機器人不能實現(xiàn)對于速度控制率完美假設(shè)，所以必須設(shè)計動力學模型控制器以保證其速度達到預期速度控制率的要求，在考慮系統(tǒng)外界擾動和本身不確定性的基礎(chǔ)上，設(shè)計動力學模型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器。

定義速度誤差：

(19)

其中，νc表示理論角速度，ν表示實際角速度。設(shè)計動力學模型控制器的目的是使速度跟蹤誤差ec趨近于零。

對式(19)求導，可以得到：

(20)

(21)

(22)

其中:τNN是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出力矩，k3是正定對角增益矩陣，φ用于補償系統(tǒng)未知擾動量。從機器人控制結(jié)構(gòu)框圖可知，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出可以表示為：

(23)

將式(22)代入式(21)，同時結(jié)合式(23)可以得到：

(24)

φ=kdecsign(ec)

(25)

其中:kd是正定增益矩陣，并且滿足min(diag(kd))>bd。

2.3 穩(wěn)定性分析

采用李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，選取李雅普諾夫函數(shù)如下：

L=L1+L2

(26)

(27)

(28)

(29)

其中:k3min，kdmin分別是k3和kd的最小奇異值。

(30)

式(27)可以化簡為：

(31)

綜上所述，在李雅普諾夫理論的基礎(chǔ)上構(gòu)造的上述控制器可以實現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定控制。

3 仿真研究

為了驗證本文算法的有效性，在MATLAB環(huán)境下，通過系統(tǒng)跟蹤期望直線軌跡，對本文算法做出了仿真研究，選取機器人參數(shù)為：

m=10 kg，I=5 kg·m2，R=0.75，r=0.15，d=0.3。

仿真效果圖如圖3～圖8所示：

圖3 移動機器人軌跡跟蹤

圖4 軌跡跟蹤位姿誤差

圖5 運動學模型參數(shù)估計

圖6 單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值

圖7 驅(qū)動輪角速度

圖8 驅(qū)動輪角速度跟蹤誤差

仿真結(jié)果表明：系統(tǒng)對未知運動學參數(shù)進行了快速識別，在存在初始位姿誤差的基礎(chǔ)上，在0.5 s時間內(nèi)，控制器能夠使系統(tǒng)實現(xiàn)對目標軌跡的快速、穩(wěn)定跟蹤控制，軌跡跟蹤過程中，軌跡跟蹤發(fā)誤差和驅(qū)動輪角速度跟蹤誤差都較小，實現(xiàn)了預期的控制要求，在存在外界擾動和系統(tǒng)本身參數(shù)變化的基礎(chǔ)上，體現(xiàn)了控制器本身的魯棒性和穩(wěn)定性。

4 結(jié)論

針對移動機器人軌跡跟蹤控制問題，提出了一種簡單有效的控制算法，集中解決了系統(tǒng)未知參數(shù)和外界擾動對控制效果影響較大的問題，通過Lyapunov理論分析其穩(wěn)定性，并對直線軌跡進行了實時跟蹤。仿真結(jié)果表明：該控制方法具有良好的控制效果，后續(xù)還將進一步研究，考慮更多地外界因素，如軌跡跟蹤目標的變化以及地形因素等，同時考慮在工程實踐中進一步進行驗證，以增加該控制器的實用性。

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Trajectory Tracking Control of Mobile Robot with Nonholonomic Constraints

Ma Jianwei，Shi Jiayu

(Department of Information Engineering, Henan University of Science & Technology,Luoyang 471023, China)

For kinematics and dynamic model of nonholonomic mobile robot, according to the need of trajectory tracking control target, this paper designs a simple controller, which includes a kinematics controller and a dynamic controller. For the kinematics model, this paper uses the adaptive algorithm to estimate the unknown parameters. For the dynamic model, this paper uses the monolayer neural network algorithm to overcome the effect of unknown disturbance for system stability as far as possible and reduce the velocity error. On the basis of theory of Lyapunov stability, the convergence and stability of system are proved. The algorithm is simple and effective, and it is easy to implement。 The simulation results show that the control method can achieve the stable tracking for the desired trajectory of the mobile robot and demonstrate the effectiveness of the algorithm.

mobile robot; adaptive control; network; trajectory tracking

2016-10-12；

2016-11-21。

馬建偉(1965-)，男，河南省鞏義市人，教授，博士研究生導師，主要從事精確制導、控制與組合導航技術(shù)方向的研究。

1671-4598(2017)03-0077-04

10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2017.03.022

TP242

A