羅 哉,王 艷,王嵐晶,劉 暉

(中國(guó)計(jì)量大學(xué)，杭州 310018)

基于三參數(shù)威布爾分布的自動(dòng)調(diào)整臂服役可靠性研究

羅 哉,王 艷,王嵐晶,劉 暉

(中國(guó)計(jì)量大學(xué)，杭州 310018)

作為汽車(chē)制動(dòng)系統(tǒng)關(guān)鍵部件的自動(dòng)調(diào)整臂,其服役可靠性關(guān)系到汽車(chē)行駛的安全;通過(guò)疲勞試驗(yàn)分析自動(dòng)調(diào)整臂零部件失效的可能性，試驗(yàn)結(jié)果表明：矩形壓簧及螺旋壓縮彈簧是影響自動(dòng)調(diào)整臂失效的關(guān)鍵部分;利用MATLAB分析試驗(yàn)數(shù)據(jù)，可知自動(dòng)調(diào)整臂疲勞壽命服從三參數(shù)的威布爾分布，文中結(jié)合競(jìng)爭(zhēng)性故障模型對(duì)自動(dòng)調(diào)整臂的服役可靠性進(jìn)行分析，基于該模型采用最小二乘法及最大相關(guān)系數(shù)法對(duì)試驗(yàn)中的壽命數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)；實(shí)例分析表明,該法的原理簡(jiǎn)單，方便實(shí)用，結(jié)合競(jìng)爭(zhēng)性故障模型的威布爾分布能準(zhǔn)確真實(shí)地反映自動(dòng)調(diào)整臂疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特性，具有較好的工程應(yīng)用價(jià)值。

自動(dòng)調(diào)整臂；威布爾分布；競(jìng)爭(zhēng)性故障模型；最小二乘法

0 引言

自動(dòng)調(diào)整臂長(zhǎng)期工作在頻繁制動(dòng)、高載荷和復(fù)雜工況等環(huán)境下，其本身的失效是難以避免的，這也是汽車(chē)制動(dòng)性能長(zhǎng)期穩(wěn)定的嚴(yán)重威脅[1]。因此，對(duì)自動(dòng)調(diào)整臂的服役可靠性進(jìn)行研究，將有利于產(chǎn)品檢驗(yàn)員提前杜絕制動(dòng)系統(tǒng)發(fā)生失效的可能性，對(duì)提高車(chē)輛行車(chē)制動(dòng)的安全性和可靠性具有重要的意義。自動(dòng)調(diào)整臂的結(jié)構(gòu)爆炸圖和實(shí)物圖如圖1和圖2。

圖1 自動(dòng)調(diào)整臂結(jié)構(gòu)爆炸圖

圖2 自動(dòng)調(diào)整臂實(shí)物圖

機(jī)械產(chǎn)品可靠性分析主要是運(yùn)用各種統(tǒng)計(jì)分布，現(xiàn)有研究中通常采用正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布來(lái)描述疲勞壽命,但在許多情況下，威布爾分布已被證明是能夠更好地描述疲勞壽命的分布。正態(tài)分布一般適用于中等壽命區(qū)，疲勞壽命大致在104～106循環(huán)，威布爾分布并不局限于這個(gè)范圍。對(duì)于疲勞壽命大于104循環(huán)的長(zhǎng)壽命區(qū),有些試驗(yàn)結(jié)果也近似符合威布爾分布[2]。正態(tài)分布在零件失效概率很小時(shí)，其疲勞壽命趨近于零，這與實(shí)際情況不符。而三參數(shù)威布爾分布有個(gè)位置參數(shù)，可以彌補(bǔ)正態(tài)分布理論在疲勞壽命試驗(yàn)中的不足[3-4]。只要是因?yàn)槟骋痪植科谑Щ蛘吖收隙l(fā)系統(tǒng)失效的元器件或系統(tǒng)的強(qiáng)度和疲勞壽命均服從威布爾分布[5]。

以往對(duì)機(jī)械產(chǎn)品進(jìn)行可靠性分析都是直接分析其發(fā)生故障或者失效時(shí)壽命，并沒(méi)有具體考慮是由機(jī)械產(chǎn)品的哪個(gè)零部件產(chǎn)生的。自動(dòng)調(diào)整臂的失效通常是由于某個(gè)零部件發(fā)生故障損壞產(chǎn)生的，又因?yàn)樽詣?dòng)調(diào)整臂的各個(gè)零部件具有獨(dú)立性[6]，即任何一個(gè)零部件失效都會(huì)使自動(dòng)調(diào)整臂失效，因此必須找到最容易失效的零部件對(duì)其進(jìn)行分析。通過(guò)疲勞實(shí)驗(yàn)得知，螺旋壓縮彈簧和矩形壓簧是自動(dòng)調(diào)整臂失效的主要因素，因此本文結(jié)合競(jìng)爭(zhēng)性故障模型以及威布爾分布對(duì)自動(dòng)調(diào)整臂的可靠性進(jìn)行預(yù)測(cè)。

1 威布爾分布模型

威布爾分布是近年來(lái)在設(shè)備壽命可靠性分析中使用最廣泛的模型之一[7-9]。在自動(dòng)調(diào)整臂的疲勞實(shí)驗(yàn)中，通過(guò)自動(dòng)調(diào)整臂實(shí)驗(yàn)的次數(shù)來(lái)記錄其是否失效。因此將威布爾分布函數(shù)中的產(chǎn)品正常工作時(shí)間t轉(zhuǎn)化為產(chǎn)品應(yīng)力循環(huán)次數(shù)N[10]，則威布爾分布的概率密度函數(shù)為:

(1)

式中，m為形狀參數(shù)；Na為尺度參數(shù)，或稱(chēng)特征參數(shù)；No為位置參數(shù)，或稱(chēng)最小壽命參數(shù)。

其中，失效次數(shù)n≤N的概率，即不可靠度函數(shù)為：

(2)

將式(2)代入式(3),并進(jìn)行積分,得累積失效概率函數(shù)和失效率函數(shù)分別為:

(3)

(4)

由于螺旋壓縮彈簧與矩形壓簧是導(dǎo)致自動(dòng)調(diào)整臂失效的兩個(gè)獨(dú)立因素，因此在數(shù)據(jù)處理上不能采用典型的單一分布進(jìn)行擬合或分析，需要采用競(jìng)爭(zhēng)性故障模型進(jìn)行分析。

2 競(jìng)爭(zhēng)性故障模型

如果系統(tǒng)有K種失效方式，而每一種失效方式都獨(dú)立作用于系統(tǒng)，且都對(duì)應(yīng)一定的失效時(shí)間，其中任何一種失效都會(huì)引起系統(tǒng)的失效即稱(chēng)為競(jìng)爭(zhēng)失效[11]。在所有的失效中所對(duì)應(yīng)的失效產(chǎn)生最早的那種失效出現(xiàn)時(shí)，將導(dǎo)致系統(tǒng)失效，即:

T=min{T1,T2,…,TK}

下面則是競(jìng)爭(zhēng)性模型累積失效分布函數(shù)的通用表達(dá)式，當(dāng)K個(gè)因素同時(shí)起作用時(shí)，系統(tǒng)的可靠度為:

式中,λi(t)是對(duì)應(yīng)第i個(gè)失效因素的失效率。系統(tǒng)的總失效率將是對(duì)應(yīng)時(shí)刻t的K個(gè)獨(dú)立失效率的和，即:

λ(t)=λ1(t)+λ2(t)+…+λK(t)

顯然，對(duì)于K個(gè)常數(shù)失效率，系統(tǒng)為指數(shù)分布。自動(dòng)調(diào)整臂的疲勞失效分布為威布爾分布，由上面的公式(4)可知，其失效率函數(shù)和可靠度函數(shù)分別為:

(5)

(6)

其中:N為自動(dòng)調(diào)整臂失效時(shí)的實(shí)驗(yàn)次數(shù)，形狀參數(shù)mi、尺度參數(shù)Nai和位置參數(shù)N0需要通過(guò)參數(shù)估計(jì)來(lái)擬合。

3 三參數(shù)威布爾分布的參數(shù)估計(jì)

威布爾分布參數(shù)估計(jì)的常用方法是極大似然方法和最小二乘法，可適用于完全樣本和截尾樣本[12]。威布爾分布極大似然方法需要在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，搜索求解極大似然超程方程，求解時(shí)間長(zhǎng)，又因?yàn)樽詣?dòng)調(diào)整臂的失效數(shù)據(jù)比較大，具有較大難度。最小二乘法求解相對(duì)比較簡(jiǎn)單，可簡(jiǎn)便地求得未知的數(shù)據(jù)，使這些求得數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和最小。為了精確評(píng)估三參數(shù)威布爾分布的3個(gè)參數(shù)，本文先假設(shè)位置參數(shù)N0已知，利用最小二乘法及平均秩的增量公式求出形狀參數(shù)m和尺度參數(shù)Na，然后利用最大相關(guān)系數(shù)優(yōu)化法算出位置參數(shù)N0。

3.1 最小二乘法

最小二乘估計(jì)[13]是估計(jì)線(xiàn)性函數(shù)中的未知參數(shù),是威布爾分布參數(shù)估計(jì)的一種較好的方法。

對(duì)于式(3),將其左右變形，兩邊取自然對(duì)數(shù)得:

(7)

則A=m，B=-mln(Na-No)

則式(7)化為Y=AX+B

在威布爾分布的最小二乘估計(jì)中,為求得一條偏差最小的回歸直線(xiàn)和符合實(shí)際最好的回歸系數(shù)估計(jì)值,關(guān)鍵的是要提高經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的精度。

3.2 平均秩增量法

經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)在可靠性數(shù)據(jù)分析中占有重要地位,以往的計(jì)算方法是通過(guò)近似中位秩公式或直接查中位秩表得到,誤差較大。因此，統(tǒng)計(jì)學(xué)家經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的實(shí)踐總結(jié)出如下的計(jì)算平均秩的增量公式:

(8)

式中,n為樣本量；k為所有設(shè)備的排列順序號(hào),按故障時(shí)間和刪除時(shí)間的大小排列；i為故障設(shè)備的順序號(hào)；Ai為故障設(shè)備的平均秩次;Ai-1為前一個(gè)故障設(shè)備的平均秩次Ai。有了新的平均秩次,則:

(9)

3.3 最大相關(guān)系數(shù)優(yōu)化法

x與y間的相關(guān)系數(shù)R(x,y)為:

(10)

利用最小二乘參數(shù)估計(jì)法和最大相關(guān)系數(shù)優(yōu)化法,擬合出三參數(shù)威布爾分布模型的回歸直線(xiàn),利用MATLAB計(jì)算得到威布爾分布的3個(gè)參數(shù)。

4 實(shí)驗(yàn)分析

本文選取25只同種型號(hào)的瀚德自動(dòng)調(diào)整臂(出廠(chǎng)壽命值為50萬(wàn)次)，分別進(jìn)行60萬(wàn)次的疲勞破壞性試驗(yàn)，試驗(yàn)裝置圖如圖3所示。疲勞試驗(yàn)的實(shí)施嚴(yán)格按照城市客車(chē)外置式制動(dòng)間隙自調(diào)臂國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)CJT 242-2007進(jìn)行，加載額定輸入力矩為1020 N·m。自動(dòng)調(diào)整臂疲勞試驗(yàn)臺(tái)的模擬制動(dòng)系統(tǒng)加載裝置是完全按1:1的比例關(guān)系仿照公交客車(chē)制動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)而成，用于模擬汽車(chē)制動(dòng)的真實(shí)環(huán)境，可減小實(shí)驗(yàn)環(huán)境的各項(xiàng)誤差。疲勞試驗(yàn)裝置結(jié)構(gòu)圖和實(shí)物圖如下。在規(guī)定應(yīng)力下，制動(dòng)氣室產(chǎn)生推力，推動(dòng)自調(diào)臂的臂體轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，使制動(dòng)力以力矩的形式傳遞給 S 型凸輪軸，控制制動(dòng)襯片作平面內(nèi)的正弦往復(fù)運(yùn)動(dòng)，與制動(dòng)鼓共同起到制動(dòng)的作用。

圖3 疲勞試驗(yàn)裝置結(jié)構(gòu)圖

自動(dòng)調(diào)整臂出現(xiàn)損壞情況時(shí)，現(xiàn)場(chǎng)記錄其出現(xiàn)失效時(shí)候的實(shí)驗(yàn)次數(shù)即壽命值，并將試驗(yàn)完成的自動(dòng)調(diào)整臂拆除，統(tǒng)計(jì)自動(dòng)調(diào)整臂各零部件的損壞情況。部件失效表1按故障發(fā)生時(shí)的應(yīng)力次數(shù)的大小排序。

表1 部件失效次數(shù)表

注:F1表示矩形壓簧故障數(shù)據(jù); F2表示螺旋壓縮彈簧故障數(shù)據(jù); S表示刪除數(shù)據(jù)

表1中的數(shù)據(jù)包括故障數(shù)據(jù)和刪除數(shù)據(jù),其中,刪除數(shù)據(jù)包括未發(fā)生故障數(shù)據(jù)或由于某種原因中途撤離的自動(dòng)調(diào)整臂的數(shù)據(jù)。本文先去掉刪除數(shù)據(jù),之后將發(fā)生故障的自動(dòng)調(diào)整臂重新按照故障發(fā)生時(shí)的次數(shù)排序,建立威布爾分布模型,通過(guò)平均秩增量法,由式(8)、(9),分別計(jì)算故障調(diào)整臂的平均秩增量和經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)值,如表2中的第4列和第5列所示。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，矩形壓簧和螺旋壓縮彈簧是影響自動(dòng)調(diào)整臂失效的主要因素。當(dāng)對(duì)矩形壓簧進(jìn)行分析時(shí)，由螺旋壓縮彈簧引起的故障可作為中斷信息。同理，對(duì)螺旋壓縮彈簧進(jìn)行分析的時(shí)候也是如此。

疲勞試驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，自動(dòng)調(diào)整臂的一些零部件發(fā)生不同程度的失效。其中，矩形壓簧的失效表現(xiàn)為表面點(diǎn)蝕、塑性變形、疲勞斷裂等現(xiàn)象，而螺旋壓縮彈簧則出現(xiàn)彈力不足、恢復(fù)不到位、卡牢等塑性變形失效現(xiàn)象，其余零部件的失效現(xiàn)象不明顯，文中暫時(shí)不考慮。各個(gè)零部件的失效與否具有相對(duì)獨(dú)立的特征，屬于競(jìng)爭(zhēng)失效的范疇。根據(jù)平均秩增量法，可分別計(jì)算矩形壓簧及螺旋壓縮彈簧的壽命分布關(guān)系，壽命分布表如表2，表3。

表2 矩形壓簧壽命分布計(jì)算表

表2中的第6列和第7列是根據(jù)平均秩增量法及矩形壓簧的疲勞壽命計(jì)算得到的坐標(biāo)值,通過(guò)最小二乘估計(jì)法擬合出回歸直線(xiàn),如圖4所示。

圖4 最小二乘擬合圖

表3 螺旋壓縮彈簧壽命分布計(jì)算表

圖5為最小二乘估計(jì)法擬合出的回歸直線(xiàn),其x和y的坐標(biāo)為表3中的第6列和第7列。

圖5 最小二乘擬合圖

根據(jù)圖4、圖5可以看出，試驗(yàn)值均勻分布在直線(xiàn)兩側(cè)，曲線(xiàn)的擬合精度高，利用最小二乘法評(píng)估威布爾分布的參數(shù)值的方法合理可行。

根據(jù)螺旋壓縮彈簧和矩形壓簧的壽命值，通過(guò)平均秩增量公式、最小二乘法以及最大相關(guān)系數(shù)法可計(jì)算出矩形壓簧的壽命分布形狀參數(shù)m=2.115 6，尺寸參數(shù)Na=600 113，位置參數(shù)N0=65 369。螺旋壓縮彈簧的壽命分布形狀參數(shù)m=2.387 6，尺寸參數(shù)Na=585 015，位置參數(shù)N0=133 069。自動(dòng)調(diào)整臂的威布爾分布參數(shù)已求出,根據(jù)公式(5)，公式(6)可知自動(dòng)調(diào)整臂的失效率函數(shù)和可靠度函數(shù)分別是:

(11)

(12)

根據(jù)所求的形狀參數(shù)m，可知其都大于1，所以調(diào)整臂符合威布爾分布的耗損故障期,計(jì)算調(diào)整臂出廠(chǎng)次數(shù)的可靠性，即N=5×105次時(shí)調(diào)整臂的可靠度。

根據(jù)調(diào)整臂的可靠度函數(shù)，公式(12)可得:

R(N)=11.76%

由計(jì)算得到的可靠度,可以預(yù)測(cè)出當(dāng)自動(dòng)調(diào)整臂工作5×105次時(shí),可靠度很低,安全性差，因此自動(dòng)調(diào)整臂在使用達(dá)到其規(guī)定的次數(shù)后要及時(shí)檢修或者替換，方可保證汽車(chē)行車(chē)過(guò)程的安全可靠。

5 結(jié)論

本文結(jié)合競(jìng)爭(zhēng)性故障模型對(duì)自動(dòng)調(diào)整臂的服役可靠性進(jìn)行分析，通過(guò)三參數(shù)威布爾分布函數(shù)以及最小二乘法的參數(shù)估計(jì)可知，自動(dòng)調(diào)整臂的壽命服從威布爾分布的損耗故障期。結(jié)果表明，自動(dòng)調(diào)整臂的失效主要是由于螺旋壓縮彈簧以及矩形壓簧的累積損傷造成的。從擬合的回歸直線(xiàn)可看出,通過(guò)平均秩增量法得到了精確的參數(shù)估計(jì)值，評(píng)估方法具有合理性。

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Service Reliability Research of Automatic Brake Adjuster Based on Weibull Distribution of Three Parameters

Luo Zai, Wang Yan, Wang Lanjing, Liu Hui

(China Jiliang University, Hangzhou 310018, China)

As a key component of the auto-brake system, the automatic brake adjuster is related to the safety of vehicle driving. The possibility of failure of the automatic brake adjuster is analyzed by fatigue test. The results show that the rectangular compression spring and the helical compression spring are the key factors affecting the failure of the automatic brake adjuster. By using MATLAB, it can be seen that the fatigue life of the automatic brake adjuster obeys the Weibull distribution of three parameters, combining with competitive fault model to analyze the reliability of the automatic brake adjusters. Based on the model, the least squares method and the maximum correlation coefficient method are used to analyze the reliability of the automatic brake adjuster. The life data in the experiment were used to estimate the parameters. The example shows that the method is simple, convenient and practical, and the Weibull distribution of the competitive fault model can accurately reflect the statistical properties of the data of the automatic brake adjuster fatigue test, which is of good engineering application value.

automatic brake adjuster; Weibull distribution; competitive fault model; least square method

2016-10-08；

2016-11-11。

浙江省自然科學(xué)基金(Y15E050053)。

羅 哉(1979-)，男，四川遂寧人，教授，碩士研究生導(dǎo)師，主要從事汽車(chē)零部件檢測(cè)與精密測(cè)試技術(shù)方向的研究。

1671-4598(2017)03-0234-03DOI：10.16526/j.cnki.11-4762/tp

TH

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