李海旭 劉君

【摘要】值域是研究函數(shù)的一個重要環(huán)節(jié)，根據(jù)函數(shù)“三要素”可知，值域是由定義域和對應(yīng)運算法則共同決定，所以定義域和運算法則的多變性導致計算值域的方法存在多樣性和靈活性，在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，占有一定的地位，因此對于如何準確、快速求值域需要“具體問題，具體分析”，采取恰當?shù)挠嬎惴椒?，做到“有效對?yīng)”，避繁就簡達到事半功倍的效果.本文介紹了通過簡單函數(shù)運算、值域性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)的導數(shù)運算等最常用的幾種方法，同時結(jié)合相應(yīng)例題講解，使學生快速掌握求值域的基本方法.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；值域；常用方法

求函數(shù)值域的常用方法有：配方法、分離常數(shù)法、判別式法、反解法、換元法、不等式法、單調(diào)性法、函數(shù)有界性法、數(shù)形結(jié)合法、導數(shù)法.

一、觀察法

有些函數(shù)結(jié)構(gòu)簡單，我們可以通過基本函數(shù)的值域以及不等式直接觀察出函數(shù)的值，這種通過觀察函數(shù)特點做為解題突破口的一類函數(shù)值域的求法，簡潔明了，不失為一種巧法.

二、配方法

配方法是求“二次函數(shù)類”值域的基本方法.F（x）=af 2（x）+bf 2（x）+c的函數(shù)的值域問題，都可使用配方法，解題過程中要特別注意自變量的取值范圍.

三、判別式法

若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無理函數(shù)，可用二次方程根的判別式法求函數(shù)的值域.

四、反函數(shù)法

直接求函數(shù)的值域困難時，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域.也叫反解x法，將y視為變量，利用數(shù)式的性質(zhì)或已知函數(shù)的值域求y，體現(xiàn)了逆向思維的思想，是數(shù)學解題的重要方法之一.

五、分離常數(shù)法

形如y=cx+dax+b（a≠0）的函數(shù).思路是用分母表示分子，分離出常數(shù)，使得分子不含變量，最后借助基本函數(shù)的值域求解.

六、換元法

以新變量代替函數(shù)式中的某些量，使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式，進而求出值域.

形如y=ax+b±cx+d（a，b，c，d均為常數(shù)，且a≠0）的函數(shù)常用換元法.令u=cx+d，x=u2-dc且u≥0，使之變形為二次函數(shù)，再用配方法；如果函數(shù)中含有a2+x2形式，用三角代換，令x=asinα，α∈-π2，π2或者x=acosα，α∈[0，π]，這種方法用到的是多元函數(shù)關(guān)系，一般含有約束條件，將條件轉(zhuǎn)化為比例式，通過設(shè)參數(shù)，可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為單函數(shù)的形式，這種解題方法體現(xiàn)諸多思想方法，具有一定的創(chuàng)新意識.

七、不等式法

利用基本不等式a+b≥2ab.用此法求值域時，要注意條件“一正二定三相等”.即① a>0，b>0；② a+b（或ab）為定值；③ 取等號條件a=b.其題型特征：解析式是和時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時需要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧.考查函數(shù)自變量的取值范圍構(gòu)造不等式（組）或構(gòu)造重要不等式，求出函數(shù)定義域，進而求值域.不等式法是重要的解題工具，它的應(yīng)用非常廣泛，是數(shù)學解題的重要方法之一.

八、單調(diào)性法

先確定函數(shù)在定義域（或定義域某個子集上）的單調(diào)性，再求出函數(shù)的值域的方法為單調(diào)性法.

九、數(shù)形結(jié)合法

若可以畫出函數(shù)圖像時，通過圖像可以求出值域和最值；或者利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于幾何方法求出函數(shù)的值域.利用函數(shù)的圖像求函數(shù)的值域，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，是解決數(shù)學問題的重要方法.

十、求導法

若一個函數(shù)在定義域上可導時，可以根據(jù)導數(shù)求其最值.

總而言之，在具體題中求某個函數(shù)的值域時，首先要仔細、認真觀察這個題型特征，然后再選擇恰當?shù)姆椒ǎ话阕鲱}時優(yōu)先考慮直接法，函數(shù)的單調(diào)性法和基本不等式法，最后才考慮用其他各種特殊求值域的方法.