李海旭 劉君
【摘要】值域是研究函數(shù)的一個(gè)重要環(huán)節(jié),根據(jù)函數(shù)“三要素”可知,值域是由定義域和對(duì)應(yīng)運(yùn)算法則共同決定,所以定義域和運(yùn)算法則的多變性導(dǎo)致計(jì)算值域的方法存在多樣性和靈活性,在高考中經(jīng)常出現(xiàn),占有一定的地位,因此對(duì)于如何準(zhǔn)確、快速求值域需要“具體問題,具體分析”,采取恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法,做到“有效對(duì)應(yīng)”,避繁就簡達(dá)到事半功倍的效果.本文介紹了通過簡單函數(shù)運(yùn)算、值域性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算等最常用的幾種方法,同時(shí)結(jié)合相應(yīng)例題講解,使學(xué)生快速掌握求值域的基本方法.
【關(guān)鍵詞】函數(shù);值域;常用方法
求函數(shù)值域的常用方法有:配方法、分離常數(shù)法、判別式法、反解法、換元法、不等式法、單調(diào)性法、函數(shù)有界性法、數(shù)形結(jié)合法、導(dǎo)數(shù)法.
一、觀察法
有些函數(shù)結(jié)構(gòu)簡單,我們可以通過基本函數(shù)的值域以及不等式直接觀察出函數(shù)的值,這種通過觀察函數(shù)特點(diǎn)做為解題突破口的一類函數(shù)值域的求法,簡潔明了,不失為一種巧法.
二、配方法
配方法是求“二次函數(shù)類”值域的基本方法.F(x)=af 2(x)+bf 2(x)+c的函數(shù)的值域問題,都可使用配方法,解題過程中要特別注意自變量的取值范圍.
三、判別式法
若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無理函數(shù),可用二次方程根的判別式法求函數(shù)的值域.
四、反函數(shù)法
直接求函數(shù)的值域困難時(shí),可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域.也叫反解x法,將y視為變量,利用數(shù)式的性質(zhì)或已知函數(shù)的值域求y,體現(xiàn)了逆向思維的思想,是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一.
五、分離常數(shù)法
形如y=cx+dax+b(a≠0)的函數(shù).思路是用分母表示分子,分離出常數(shù),使得分子不含變量,最后借助基本函數(shù)的值域求解.
六、換元法
以新變量代替函數(shù)式中的某些量,使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式,進(jìn)而求出值域.
形如y=ax+b±cx+d(a,b,c,d均為常數(shù),且a≠0)的函數(shù)常用換元法.令u=cx+d,x=u2-dc且u≥0,使之變形為二次函數(shù),再用配方法;如果函數(shù)中含有a2+x2形式,用三角代換,令x=asinα,α∈-π2,π2或者x=acosα,α∈[0,π],這種方法用到的是多元函數(shù)關(guān)系,一般含有約束條件,將條件轉(zhuǎn)化為比例式,通過設(shè)參數(shù),可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為單函數(shù)的形式,這種解題方法體現(xiàn)諸多思想方法,具有一定的創(chuàng)新意識(shí).
七、不等式法
利用基本不等式a+b≥2ab.用此法求值域時(shí),要注意條件“一正二定三相等”.即① a>0,b>0;② a+b(或ab)為定值;③ 取等號(hào)條件a=b.其題型特征:解析式是和時(shí)要求積為定值,解析式是積時(shí)要求和為定值,不過有時(shí)需要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧.考查函數(shù)自變量的取值范圍構(gòu)造不等式(組)或構(gòu)造重要不等式,求出函數(shù)定義域,進(jìn)而求值域.不等式法是重要的解題工具,它的應(yīng)用非常廣泛,是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一.
八、單調(diào)性法
先確定函數(shù)在定義域(或定義域某個(gè)子集上)的單調(diào)性,再求出函數(shù)的值域的方法為單調(diào)性法.
九、數(shù)形結(jié)合法
若可以畫出函數(shù)圖像時(shí),通過圖像可以求出值域和最值;或者利用函數(shù)所表示的幾何意義,借助于幾何方法求出函數(shù)的值域.利用函數(shù)的圖像求函數(shù)的值域,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想,是解決數(shù)學(xué)問題的重要方法.
十、求導(dǎo)法
若一個(gè)函數(shù)在定義域上可導(dǎo)時(shí),可以根據(jù)導(dǎo)數(shù)求其最值.
總而言之,在具體題中求某個(gè)函數(shù)的值域時(shí),首先要仔細(xì)、認(rèn)真觀察這個(gè)題型特征,然后再選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?,一般做題時(shí)優(yōu)先考慮直接法,函數(shù)的單調(diào)性法和基本不等式法,最后才考慮用其他各種特殊求值域的方法.