李睿思

在平面向量內(nèi)容的學習中，我們學到了一個重要定理叫平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ，μ，使a=λe1+μe2.定理說明了平面內(nèi)任一向量都可以由這個平面內(nèi)兩個不共線的向量表示出來，這為我們運用向量方法研究問題帶來了極大的方便.定理的一些基本應用在教材及習題中都有體現(xiàn)，同時在課外資料的學習中也了解到定理還可作一些拓展，而且拓展的結論也有很好的應用性.

推論1當向量OP與不共線的向量OA，OB的終點A，B位于同一直線上時，有OP=λOA+μOB（λ+μ=1）.

證明因為A，P，B三點共線，所以AP=mPB，

由AP=OP-OA，PB=OB-OP，

得OP-OA=m（OB-OP），

整理得（1+m）OP=OA+mOB，

于是有OP=11+mOA+m1+mOB.

令11+m=λ，m1+m=μ，

即得OP=λOA+μOB（λ+μ=1）.

特別地，當P為A，B中點時，則OP=OA+OB2.

例1△ABC中，D，E分別是AB，AC上兩點，AD∶DB=1∶3，AE∶EC=2∶1，連接BE，CD，線段BE，CD交于點P，連AP并延長與邊BC交于點F，求BF∶FC.

解設AB=a，AC=b，

由B，P，E三點共線，可設AP=xAB+（1-x）AE=xa+23（1-x）b，

由D，P，C三點共線，可設AP=yAD+（1-y）AC=14ya+（1-y）b，

可求得x=110，所以有AP=110a+35b.

又因為A，P，F(xiàn)在一直線上，

設AF=kAP=110ka+35kb，

而F是線段BC上的點，故可設AF=ma+（1-m）b，

從而可求得m=17，即AF=17a+67b，

因此BF∶FC=6∶1.

從例1的解答可以看到平面向量定理及其推論1在解決平面幾何線段相交問題時帶來很大的方便，擁有強大的解題功能和重要的應用價值，值得我們研究學習并掌握一些基本的運用.

在平面向量基本定理及其推論1的學習與研究中，除了得到，當P為AB中點時，則OP=OA+OB2這樣的特殊結論外，我們還發(fā)現(xiàn)其他一些特殊的結論.比如，若點P在線段AB上，且AP∶PB=2∶1，則OP=13OA+23OB；若點P在線段AB延長線上，且AP∶PB=2∶1，則OP=-OA+2OB.這種變化中的不變規(guī)律讓我想到幾個新的問題.

例4（2010年高考天津卷理）在△ABC中，AD⊥AB，BC=3BD，|AD|=1，則AC·AD=.

解∵|CD||BC|=3-13，

∴由推論2，得AC=（1-3）AB+3AD，

∴AC·AD=[（1-3）AB+3AD]·AD=3AD2=3.

例5已知△ABC，AB=2，AC=3，∠A的平分線AD與AB邊上的中線CM交于O，若AO=xAB+yAC，則x+y=.

解∵MOAC=13，

∴AO=34AM+14AC=38AB+14AC，

∴x+y=58.

例6△ABC中，M為AB邊上一點，P為CM上一點，CP=CAbcosA+CBacosB，|CM|=c2，a2+b2=22ab，求角C.

解設CP=xCA+yCB，則xy=BMAM=acosBbcosA，

∴CM⊥AB，∴S=12AB·CM=14c2=14（a2+b2-2abcosC）=12absinC，

∴sinC+cosC=2，∴C=π4.

從上述過程我們看到，從課本的定理出發(fā)，分析研究定理條件或結論的相關性，適當改變條件或結論的形態(tài)，研究是否存在值得探究的新問題，這是數(shù)學研究性學習的一個切入點與途徑，通過這種學習與研究，我們收獲的不只是推廣后的一些重要結論，更重要的是在學習經(jīng)歷觀察事物、發(fā)現(xiàn)問題、探究問題、總結并歸納結論的過程中能力得到了提高，值得我們平時學習時關注與重視.

【參考文獻】

[1]楊曉青.平面向量分解定理及其應用[J].數(shù)學教學，2008（5）.

[2]謝星恩，林世中.平面向量定理的一個推論的應用[J].福建中學數(shù)學，2009（5）.