吳建強(qiáng)

【摘要】利用概率的加法公式和乘法公式，給出了二項(xiàng)式定理的一種新的證明方法；通過一些例子，說明如何應(yīng)用數(shù)學(xué)期望及方差的性質(zhì)求某些數(shù)列與級(jí)數(shù)的和，如∑nk=2k（k-1）Ckn3n-k與∑∞k=1k6k（k-1）！等.借此介紹一種特殊的發(fā)散思維形式，說明它在數(shù)學(xué)教學(xué)與創(chuàng)新能力培養(yǎng)中的重要性，以及如何培養(yǎng)這種特殊形式的發(fā)散思維能力.

【關(guān)鍵詞】概率的性質(zhì)；二項(xiàng)式定理；級(jí)數(shù)的和；發(fā)散思維能力

【基金項(xiàng)目】廣東省高等數(shù)學(xué)精品資源共享課立項(xiàng)項(xiàng)目（2013）

一、利用概率的性質(zhì)推導(dǎo)二項(xiàng)式定理

設(shè)一個(gè)系統(tǒng)由n個(gè)元件并聯(lián)而成，每個(gè)元件的可靠度（元件正常工作的概率）均為p（0

再把p=ab代入（1）式，同樣可以得到（2）式.如果以b替換（2）式中的-b，（2）式將變?yōu)榫哂幸话阈问降亩?xiàng)式定理.

上述推導(dǎo)的依據(jù)是概率的加法公式及乘法公式，而概率的加法公式及乘法公式又可以由概率的公理化定義推導(dǎo)出來(lái)，那么從這個(gè)意義上講，二項(xiàng)式定理可以看作是概率公理化定義的一個(gè)推論.因此，這是二項(xiàng)式定理的一種有新意的推導(dǎo)方法.

二、利用數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)求和舉例

數(shù)列前n項(xiàng)和的求法有多種，如裂項(xiàng)求和法、“q倍減”求和法、“倒序加”求和法等，數(shù)列前n項(xiàng)和也可以利用差分方程計(jì)算.級(jí)數(shù)的和有時(shí)可用冪級(jí)數(shù)的可導(dǎo)性與可積性求出來(lái).有別于這些常見的求和方法，下面通過例子說明如何應(yīng)用數(shù)學(xué)期望及方差的性質(zhì)求某些數(shù)列與級(jí)數(shù)的和.

例題計(jì)算：

（1）∑nk=2k（k-1）Ckn3n-k；（2）∑∞k=1k6k（k-1）！.

解（1）設(shè)隨機(jī)變量X～Bn，14，則

E（X）=n4，D（X）=316n.

從而由方差的簡(jiǎn)算公式得

E（X2）=D（X）+E2（X）=316n+116n2=116n（n+3）.

相應(yīng)地

E[X（X-1）]=E（X2-X）=E（X2）-E（X）

=116n（n+3）-n4=116n（n-1）.

但是，按照離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式，則有三、對(duì)二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)及上述例子中一種特殊的發(fā)散思維形式的說明

本文中二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)，和∑nk=2k（k-1）Ckn3n-k與∑∞k=1k6k（k-1）！的計(jì)算，它們的思路是相同的：對(duì)于某個(gè)數(shù)量A，用兩種不同的方法計(jì)算，分別有A=B與A=C，從而得到所要的B=C.它是一種特殊形式的發(fā)散性思維，須打破思維定式，積極展開聯(lián)想，并從兩個(gè)不同的方向進(jìn)行創(chuàng)造性思考.數(shù)學(xué)中的很多定理、公式都是利用這種方法得到的，如平面幾何中的勾股定理、微積分學(xué)中的二重積分的計(jì)算公式與格林公式、三角學(xué)中的和角公式、概率統(tǒng)計(jì)中常用的概率計(jì)算公式p{a

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)概率統(tǒng)計(jì)教研組.概率統(tǒng)計(jì)[M].第4版.上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2009.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）[M].第6版.北京：高等教育出版社，2007.