張 璇，沈 雪，田于逵，孫海浪，謝 華，張 楠

（中國船舶科學(xué)研究中心水動力學(xué)國防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇無錫 214082）

平板邊界層參數(shù)水槽測量與仿真分析研究

張 璇，沈 雪，田于逵＊，孫海浪，謝 華，張 楠

（中國船舶科學(xué)研究中心水動力學(xué)國防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇無錫 214082）

利用LDV測試技術(shù)，在小型水槽中對零壓力梯度的光滑平板邊界層進(jìn)行了平均速度剖面測量。利用測得的速度數(shù)據(jù)進(jìn)行從壁面到對數(shù)律層尾區(qū)全壁面律的擬合求解獲得壁面摩擦速度和其他邊界層流動參數(shù)。在實(shí)驗(yàn)測量之外還開展了平板繞流CFD仿真分析，并將實(shí)驗(yàn)結(jié)果、仿真計(jì)算結(jié)果和平板經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。結(jié)果表明，基于LDV的全壁面律擬合求解平板表面邊界層流動參數(shù)具有較高精度，結(jié)合仿真分析，可為利用平板開展水中MEMS壁面剪應(yīng)力傳感器標(biāo)定提供理想的輸入。

LDV；邊界層參數(shù)；CFD；水下平板

0 引 言

邊界層是自然界和工程界中典型的流動形態(tài)之一，工程技術(shù)中大量的流動問題（如失速、減阻等）和邊界層密切相關(guān)［1］，而邊界層流動參數(shù)的準(zhǔn)確測量是對邊界層進(jìn)行機(jī)理研究的基礎(chǔ)。

對于水下平板湍流邊界層而言，壁面摩擦速度的測量一直是一個難點(diǎn)，早期測量水下壁面摩擦速度主要使用Preston管法，該方法是將Preston管固定在湍流邊界層的壁面上依據(jù)壁面律測量壁面的剪應(yīng)力［2］，但由于需要在壁面上插管，破壞了原有的流場結(jié)構(gòu)，從而影響測量的真實(shí)性和可靠性。后來隨著熱線測速技術(shù)（HWA）、激光測速技術(shù)（LDV）和粒子圖像測速技術(shù)（PIV）的成熟與發(fā)展［1］，邊界層速度剖面法成為了測量壁面摩擦速度新的選項(xiàng)。熱線測速法的時空分辨率高，信號連續(xù)，在測量微觀流場方面具有較大的優(yōu)越性，但熱線儀對環(huán)境溫度敏感，多用在空氣介質(zhì)中，具體在測量水下平板邊界層近壁區(qū)速度剖面時，熱線儀與平板壁面之間還存在熱傳導(dǎo)效應(yīng)，測量精度受到影響。LDV［3］測量技術(shù)為單點(diǎn)無接觸式，具有測速精度高、動態(tài)響應(yīng)快、無需標(biāo)定等優(yōu)勢，不存在熱線法所面臨的導(dǎo)熱問題。相比HWA和LDV的單點(diǎn)測量，PIV［4-6］則能夠在瞬間測出成千上萬點(diǎn)的速度，并具有流場動態(tài)顯示的能力。但PIV的分辨率相對不高（在幀率提高的情況下其分辨率還會降低），同時PIV測得的數(shù)據(jù)還存在噪聲問題。因此對于水下平板邊界層參數(shù)的測量使用LDV能獲得更好的精度。LDV測量法［7］通常是測得近壁區(qū)的平均速度剖面，再將測得的數(shù)據(jù)進(jìn)行對數(shù)律層的非線性迭代擬合求得壁面摩擦速度，但該方法存在的問題是需要在測得的數(shù)據(jù)中選取對數(shù)律層的起始點(diǎn)和最終點(diǎn)，這會給測量結(jié)果帶來主觀誤差。Niederschulte M.A.等人［8］通過LDV測得了近壁區(qū)深入到粘性底層的速度剖面數(shù)據(jù)，并基于在粘性底層速度沿法線方向呈線性分布的假設(shè)求出速度梯度和壁面摩擦速度。但此方法需要激光控制體完全貼近壁面，以獲得y＋＜2.5區(qū)域的速度數(shù)據(jù)，且對粘性底層速度測量的精度提出了很高的要求，而實(shí)際上由于粘性底層貼近壁面速度梯度很大，示蹤粒子少，粒子在剪切層中不均勻的分布也可能會引起信號的不連續(xù)及偏差［9］。這給水下平板近壁區(qū)的速度測量帶來了很大的挑戰(zhàn)。

本文利用激光多普勒測速技術(shù)（LDV）在小型水槽中對光滑平板邊界層平均速度剖面進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測量，通過對測得的速度數(shù)據(jù)進(jìn)行從壁面到對數(shù)律層尾區(qū)的擬合獲得壁面摩擦速度及相關(guān)流動參數(shù)（無需激光控制體完全貼近壁面和對對數(shù)律層的速度數(shù)據(jù)進(jìn)行仔細(xì)挑選），并與經(jīng)驗(yàn)公式和數(shù)值計(jì)算結(jié)果相比較，實(shí)驗(yàn)結(jié)果可用作水中MEMS壁面剪應(yīng)力傳感器標(biāo)定的輸入。

1 水下平板邊界層LDV測量實(shí)驗(yàn)

1.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)備

實(shí)驗(yàn)在中國船舶科學(xué)研究中心（中船重工第702研究所）小型精密水槽完成，該水槽為串聯(lián)回流式，結(jié)構(gòu)如圖1所示。實(shí)驗(yàn)段為矩形槽道，尺寸為2350mm ×250mm×150mm（長×寬×高）。實(shí)驗(yàn)段流速為0.1～1m／s無級可調(diào)，湍流度和均勻度均小于1%。

測速系統(tǒng)包括DANTEC高能版FlowExplorer系統(tǒng)，DANTEC高精度專用坐標(biāo)架，BSA F60信號處理系統(tǒng)等。LDV鏡頭焦距為500mm，為了保證良好的光學(xué)特性和跟隨性，選用示蹤粒子為5μm的PSP粒子。實(shí)驗(yàn)過程中采用標(biāo)準(zhǔn)鉑電阻溫度計(jì)監(jiān)測溫度變化，保證其波動不超過0.5℃。

圖1 精密水槽結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Precision water flume structural diagram

1.2 實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ团c方法

實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑橐粔K光滑的抗銹鋁平板（板面噴有黑色亞光漆），板長1000mm，寬度150mm，厚度為20mm。平板模型的進(jìn)流段設(shè)計(jì)成半橢圓狀，其長短軸比為10∶1，去流段設(shè)計(jì)成對稱斜面，尖削比為10∶1，平板模型尺寸如圖2所示。

圖2 平板模型示意圖Fig.2 Flat plate model diagram

平板模型垂直安裝在水槽實(shí)驗(yàn)段中，在進(jìn)行平板速度剖面測量之前需要先進(jìn)行平板沿程流速測量以檢測平板的零壓力梯度。沿程流速測量如圖3所示。

圖3 沿程流速測量實(shí)驗(yàn)照片F(xiàn)ig.3 Measurement of velocity along flowing direction

本文分別沿3條槽道中線Line1，Line2，Line3測量了外流速度（U＝0.6m／s）沿流向的發(fā)展情況，這3條槽道中線距平板表面分別為65，55和45mm，每條線上相鄰2個測點(diǎn)之間相距20mm，測量結(jié)果如圖4所示，圖中橫坐標(biāo)表示測點(diǎn)距前緣的距離。

其中同一條流線上流速相對差異都在1.3%以內(nèi)，不同流線差異在2%以內(nèi)，表明外流速度沿流向基本沒有變化，可以認(rèn)為是零壓力梯度。

LDV在測量流速時參數(shù)設(shè)置如下：數(shù)據(jù)率（Date Rate）為1000Hz以上，數(shù)據(jù)有效率（Validation）為90%以上，采樣樣本數(shù)（Samples）N為20000個。LDV的測點(diǎn)距離平板前緣800mm，測量速度剖面時平板外流速度為0.2～0.7m／s，間隔為0.1m／s，速度剖面測量采用LDV結(jié)合DANTEC高精度坐標(biāo)架進(jìn)行，測量實(shí)驗(yàn)照片如圖5所示。

圖4 外流速度0.6m／s時的沿程流速分布Fig.4 Velocity distribution along flowing direction（freestream velocity＝0.6m／s）

圖5 速度剖面測量實(shí)驗(yàn)照片F(xiàn)ig.5 Mean velocity profile measurement

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析比較

2.1 速度剖面

本文選取的測點(diǎn)為后期測量實(shí)驗(yàn)貼MEMS傳感器區(qū)域的中間點(diǎn)（距平板前緣800mm），通過LDV測速系統(tǒng)測量不同來流速度下測點(diǎn)處的平均速度剖面，測量結(jié)果如圖6所示。

圖6 不同外流速度下的速度剖面Fig.6 Mean velocity profile of different freestream velocities

為了方便比較，圖中分別對橫縱坐標(biāo)進(jìn)行了無量綱化處理（橫坐標(biāo)為無量綱的高度參數(shù)η＝y(tǒng)，縱坐標(biāo)為無量綱的速度參數(shù)u／U）。從圖6中可以看出，0.2m／s速度剖面和Blasius理論解十分吻合為層流狀態(tài)，此時邊界層內(nèi)部與外界主流的相互作用主要集中在邊界層的外層，所以在這一階段，邊界層外層的速度剖面比較飽滿。隨著來流速度的持續(xù)上升，平均速度剖面逐漸偏離Blasius解，流態(tài)由層流向湍流轉(zhuǎn)變。而邊界層內(nèi)部與外界主流的相互作用逐漸深入到邊界層內(nèi)部，導(dǎo)致邊界層內(nèi)部區(qū)域的速度剖面開始變得飽滿。與此同時，邊界層內(nèi)層與外層的相互作用又使得外層出現(xiàn)了速度虧損，如圖6中所示，來流速度高的速度剖面在邊界層外層不如來流速度低的速度剖面飽滿［10］。

2.2 流動狀態(tài)的判別

由流體力學(xué)相關(guān)理論可知，邊界層厚度通常取流速由0逐漸增至自由來流速度的99%的位置處與壁面間的距離。因此邊界層厚度可由速度剖面獲得，相關(guān)邊界層流動特性參數(shù)計(jì)算結(jié)果如表1所示。其中δ、δ＊和θ分別表示邊界層厚度、位移厚度和動量厚度，H＝δ＊／θ為形狀因子。從形狀因子來看，0.2m／s的形狀因子為2.58，與理想的Blasius解的形狀因子2.59很接近，0.3和0.4m／s的形狀因子介于層流湍流之間，0.5～0.7m／s的形狀因子接近湍流的形狀因子。因此可判斷0.2m／s時邊界層流動為層流狀態(tài)，0.3和0.4m／s時邊界層流動為轉(zhuǎn)捩狀態(tài)，0.5～0.7m／s時邊界層流動為湍流狀態(tài)。

表1 平板邊界層流動參數(shù)Table 1 Flat plate boundary layer parameters

2.3 摩擦速度u＊與虛擬原點(diǎn)的確定

當(dāng)不可壓縮粘性流體在零壓力梯度條件下沿板面方向作湍流運(yùn)動時，根據(jù)Clauser的湍流邊界層理論［11］，湍流邊界層內(nèi)的速度分布是：

壁面附近的粘性底層（0＜y＋＜5），粘性力起主要作用，速度沿壁面法線方向呈線性分布。

對數(shù)律層（30＜y＋＜300），湍流切應(yīng)力起主要作用，速度沿壁面法向方向呈對數(shù)律分布，湍流邊界層近壁區(qū)域的對數(shù)律平均速度剖面表達(dá)式為：

此外中間還有一個過渡層，在此層中，粘性力和湍流作用力相當(dāng)，流動較復(fù)雜，很難用定律來表述，在實(shí)際應(yīng)用中，因過渡層厚度極小，可直接用對數(shù)律方法處理。

由于本實(shí)驗(yàn)中LDV的激光控制體是一個橢球狀的光斑，激光控制體無法移到平板壁面上，即不能恰好位于壁面的原點(diǎn)，虛擬原點(diǎn)y0未知。在實(shí)際的測量中由于測得的速度信息所處的無量綱位置并不能提前知道（這取決于流動雷諾數(shù)），其可能處在粘性底層、對數(shù)律層和過渡層中的任意位置上。因此不能直接將測得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與經(jīng)典的邊界層各子層表達(dá)式對應(yīng)比較。目前確定虛擬原點(diǎn)和摩擦速度的方法通常是用速度剖面的對數(shù)律層公式（2）來擬合求解，但該方法的缺點(diǎn)是對數(shù)律層的數(shù)據(jù)起始點(diǎn)和最終點(diǎn)選擇存在主觀誤差，同時國內(nèi)外對公式（2）在低雷諾數(shù)湍流邊界層下是否有效也存在爭議［12］，而且由于目前水槽性能所限也不能通過提高雷諾數(shù)使其達(dá)到無可爭議地滿足公式（2）的使用條件，因此本文采用全壁面律公式來求解虛擬原點(diǎn)和摩擦速度。

湍流邊界層各個子層都有各自獨(dú)立的表達(dá)式，對此，Spalding經(jīng)過研究給出了一個全壁面律的速度分布式，見式（3）：

該公式0≤y＋≤40的范圍內(nèi)與Spalding公式及經(jīng)典實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)符合較好，但隨著y＋繼續(xù)增大誤差增加很快，達(dá)到5%以上。國內(nèi)學(xué)者崔杰［14］在前人的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出了Spalding公式的顯式，見式（5）：

式（5）與Spalding公式（3）在0≤y＋≤350誤差小于0.5%，從應(yīng)用角度來說，能很好地替代Spalding公式，所以本文使用式（5）來求取u＊和y0。

對上面的公式（5）進(jìn)行整理，可以得函數(shù)關(guān)系式

u為Spalding公式擬合得到的平均速度，y為測量點(diǎn)垂直方向的坐標(biāo)，ν為水的運(yùn)動粘性系數(shù)，y0和u＊為待求參數(shù)。

壁面摩擦速度與剪應(yīng)力的關(guān)系：

設(shè)置偏差函數(shù)［15］：

偏差函數(shù)中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為湍流邊界層內(nèi)層（取y＋≤300，從壁面到對數(shù)律層尾區(qū)）的測量數(shù)據(jù)，將其代入偏差函數(shù)中，通過求解偏差函數(shù)φ的最小二乘解得到y(tǒng)0和u＊值。最后用求得的壁面摩擦速度u＊求解出壁面剪應(yīng)力τw。

2.4 結(jié)果分析比較

由于外流速度為0.5～0.7m／s時，平板測點(diǎn)處處于湍流流動狀態(tài)，因此本文選取0.5～0.7m／s的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行湍流速度剖面Spalding公式擬合求解得到τw。為了驗(yàn)證LDV測量邊界層參數(shù)的準(zhǔn)確性，本文將由速度剖面得到的剪切應(yīng)力與經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較。結(jié)果如表2所示。

表2 不同外流速度下的壁面剪切應(yīng)力值Table 2 Wall shear stress of different freestream velocities

在進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算時，由于本文的平板模型存在橢圓頭前端，當(dāng)?shù)乩字Z數(shù)Rex中的下游距離x較難確定，因此這里使用基于邊界層厚度的雷諾數(shù)Reδ來代替Rex。在湍流邊界層中Reδ和Rex有如下關(guān)系［16］：

Prandtl摩擦阻力系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式：

式中，Reδ＝U×δx／ν，δx為測點(diǎn)處的邊界層厚度（m），見表1中0.5～0.7m／s對應(yīng)的δ，U為外流速度（m／s），ν為運(yùn)動粘性系數(shù)（m2／s）。

剪切應(yīng)力與摩擦阻力系數(shù)的關(guān)系：

利用求得的虛擬原點(diǎn)及壁面摩擦速度u＊，可以將測量數(shù)據(jù)無量綱化。圖7為0.5～0.7m／s無量綱化后與Spalding經(jīng)驗(yàn)公式的比較圖。

圖7 實(shí)驗(yàn)值與Spalding經(jīng)驗(yàn)公式結(jié)果對比Fig.7 Comparison of Spalding empirical formula and measured results

從圖7中可以看出，0.5～0.7m／s的速度剖面與Spalding公式吻合較好（在y＋＜10的區(qū)域，由于靠近壁面區(qū)粒子較少且分布會不均勻，與Spalding公式的偏差稍大，但落在此區(qū)域的數(shù)據(jù)點(diǎn)非常少，對全壁面律擬合的結(jié)果影響很小，可以忽略），進(jìn)一步證實(shí)其為充分發(fā)展的湍流狀態(tài)。從表2和圖7中可以看出使用LDV測速度剖面求壁面剪應(yīng)力具有較好的精度，可以為MEMS傳感器標(biāo)定提供理想的輸入。

3 數(shù)值計(jì)算

3.1 控制方程

不可壓縮流動控制方程包括連續(xù)性方程和雷諾平均N-S方程：

式中：v是速度矢量，p、g、ρ、μ分別為壓強(qiáng)、重力加速度、密度、動力粘性系數(shù)。

3.2 湍流模型

湍流模型選用RNGk-ε模型，在RNGk-ε模型中，通過大尺度運(yùn)動和粘性項(xiàng)修正來體現(xiàn)小尺度的影響，從而使這些小尺度運(yùn)動有系統(tǒng)地從控制方程中去除。RNGk-ε模型通過修正湍動粘度，考慮了平均流動中的旋轉(zhuǎn)及旋流流動情況，可以更好地處理高應(yīng)變率及流線彎曲程度較大的流動［17］。

3.3 邊界條件和求解參數(shù)設(shè)置

（1）進(jìn)口和出口分別為速度入口和壓力出口邊界條件，壁面采用無滑移邊界條件，流動對稱面設(shè)置為對稱邊界條件。殘差設(shè)置為1e-6以下不再變化為收斂。

（2）動量方程采用二階迎風(fēng)差分格式，壓力速度耦合方法選用SIMPLE算法。

3.4 物理模型與網(wǎng)格劃分

（1）物理模型

計(jì)算模擬的物理模型為圖8中所示的水下平板繞流模型，考慮到節(jié)省計(jì)算資源和繞流平板流場的對稱性，本文僅對平板繞流流場的一半進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，計(jì)算域?qū)挾葹閷?shí)驗(yàn)段寬度的一半，計(jì)算域長度和高度與實(shí)驗(yàn)段保持一致。

圖8 物理模型示意圖Fig.8 Computational model diagram

（2）網(wǎng)格劃分

本次數(shù)值計(jì)算網(wǎng)格為結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，總網(wǎng)格數(shù)為40萬左右，計(jì)算網(wǎng)格及邊界條件設(shè)置如圖9所示。計(jì)算時y＋取30，第1層網(wǎng)格由經(jīng)驗(yàn)公式［18］估算可得：

式中，l為平板長度（m）；Re＝U×l／ν，U為來流速度（m／s），ν為運(yùn)動粘性系數(shù)（m2／s）。

圖9 計(jì)算網(wǎng)格與邊界條件類型Fig.9 Computation mesh and boundary condition

3.5 計(jì)算結(jié)果分析

對外流速度為0.7m／s的平板流動進(jìn)行數(shù)值仿真，計(jì)算得到的平均速度剖面圖和平板表面剪應(yīng)力云圖如圖10和11所示。從圖10可以看出，CFD計(jì)算速度剖面與LDV實(shí)驗(yàn)速度剖面曲線符合較好，說明CFD計(jì)算結(jié)果可對流動參數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)估。從圖11可以看出，平板壁面剪應(yīng)力由前端往后不斷降低。在平板的去流段，截面沿流動方向持續(xù)變大，造成流動與邊界分離。相應(yīng)地，引起平板去流段壁面剪應(yīng)力發(fā)生不規(guī)則變化。

圖10v＝0.7m／s平板平均速度剖面圖Fig.10 Dimensionless velocity profile（v＝0.7m／s）

圖11v＝0.7m／s平板壁面剪應(yīng)力云圖Fig.11 Contours of wall shear stress distribution（v＝0.7m／s）

表3為不同外流速度下，測點(diǎn)處（距平板前緣800mm處）壁面剪應(yīng)力數(shù)值計(jì)算與經(jīng)驗(yàn)公式和速度剖面結(jié)果比較?？梢钥闯霾煌魉傧聹y點(diǎn)處數(shù)值計(jì)算結(jié)果與經(jīng)驗(yàn)公式和速度剖面結(jié)果符合都較好。

表3 不同外流速度下數(shù)值計(jì)算與速度剖面計(jì)算結(jié)果比較Table 3 Shear stress obtained from CFD simulation and mean profiles of different freestream velocities

4 結(jié) 論

本文采用LDV技術(shù)測量平板邊界層速度剖面的方法，在一小型精密水槽中獲取零壓力梯度光滑平板邊界層的流動參數(shù)，并與數(shù)值仿真和經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算結(jié)果分析比較，研究結(jié)果表明：

（1）激光多普勒測速（LDV）技術(shù)能高精度地測量平板近壁面邊界層的速度剖面，利用測得的速度數(shù)據(jù)進(jìn)行從壁面到對數(shù)律層尾區(qū)全壁面律的擬合求解，獲得壁面摩擦速度和其他邊界層流動參數(shù)。速度剖面測得值與數(shù)值計(jì)算和經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算結(jié)果符合較好，表明LDV測量結(jié)果可為水中MEMS壁面剪應(yīng)力傳感器標(biāo)定提供理想的輸入。

（2）采用RANS方法、結(jié)合RNGk-ε湍流模型能較好地對水下平板繞流問題進(jìn)行數(shù)值仿真，數(shù)值模擬結(jié)果與經(jīng)驗(yàn)公式和速度剖面計(jì)算結(jié)果吻合較好，可以實(shí)現(xiàn)對平板邊界層流動參數(shù)的預(yù)先估計(jì)。

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Experimental and numerical investigations of the boundary layer parameters of an underwater flat plate model

Zhang Xuan，Shen Xue，Tian Yukui＊，Sun Hailang，Xie Hua，Zhang Nan
（National Key Laboratory of Science and Technology on Hydrodynamics，China Ship Scientific Research Center，Wuxi Jiangsu 214082，China）

On the basis of the turbulent boundary layer mean velocity profile over a zero pressure gradient flat plate measured in a water flume using Laser Doppler Velocimetry（LDV），this paper obtains the friction velocity and other boundary layer parameters by using the fit of velocity data to the full boundary layer profile from the wall to the top of the log region.Complementary to the measurements，numerical investigations of the flow field around the flat plate have also been performed.The wall shear stress extrapolated from the profile curve is compared with empirical formula results and CFD results.The data agreement shows that the fit of the LDV measured velocity data to the full boundary layer profile is of high precision for measuring the boundary parameters.Combined with simulation analysis，it can provide the ideal wall shear stress input for the calibration of MEMS wall shear stress sensors.

LDV；boundary layer parameters；CFD；underwater flat plate

O352

A

（編輯：張巧蕓）

2016-06-14；

2016-09-14

國家重大科學(xué)儀器設(shè)備開發(fā)專項(xiàng)（2013YQ040911）

＊通信作者E-mail：tyk702＠sina.com

ZhangX，ShenX，TianYK，etal.Experimentalandnumericalinvestigationsoftheboundarylayerparametersofanunderwaterflat platemodel.JournalofExperimentsinFluidMechanics，2017，31（1）：26-31，46.張 璇，沈 雪，田于逵，等.平板邊界層參數(shù)水槽測量與仿真分析研究.實(shí)驗(yàn)流體力學(xué)，2017，31（1）：26-31，46.

1672-9897（2017）01-0026-07

10.11729／syltlx20160098

張 璇（1987-），男，湖南常德人，助理工程師。研究方向：實(shí)驗(yàn)流體力學(xué)。通信地址：江蘇省無錫市濱湖區(qū)山水東路222號（214082）。E-mail：zhangxuan0302＠126.com