陳志堅(jiān)

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂。近幾年的立體幾何高考試題，在堅(jiān)持考查“三基”和“四個(gè)能力”的同時(shí)，還把數(shù)學(xué)基本思想方法作為一個(gè)重要內(nèi)容進(jìn)行考查。立體幾何常用的數(shù)學(xué)思想有化歸思想、分類思想、基本量思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、整體思想、類比與轉(zhuǎn)換思想等，教學(xué)中應(yīng)著重培養(yǎng)這些數(shù)學(xué)基本思想，特別是在基本概念、定理公式及例題示范中，一定要講思想、講方法。

一、化歸思想

化歸思想是立幾中最重要的思想，它的一個(gè)具體體現(xiàn)是立體幾何問(wèn)題平面化。實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化的常用途徑是兩點(diǎn)直線法、平行線法、垂直射影法、截面法、展開圖法等。

例1 如圖，已知A1B1C1-ABC是正三棱柱，D是AC中點(diǎn)。

（1）證明AB1//平面DBC1；

（2）假設(shè)AB⊥BC1，BC=2，求線段AB1在側(cè)面B1BCC1上的射影長(zhǎng)。

分析：（1）欲證AB1//平面DBC1，轉(zhuǎn)化為線與線（面DBC1）平行；或者面（含AB1的平面）與面BDC1平行，即圖中證DE平行于AB1，或證面AGB1//平面DBC1（G為A1C1的中點(diǎn)）即可。

（2）先截出AB1在面B1BCC1內(nèi)的射影B1F，轉(zhuǎn)化為在面B1BCC1內(nèi)研究而求B1F。一種是△B1BF與△C1BC相似而得；一種是過(guò)F作FH//BC1交C1C于H，則△B1FH為Rt△。設(shè)B1B為x，由Rt△B1FH的邊長(zhǎng)關(guān)系而得，另外也可通過(guò)△B1BF與△C1CD相等

求得。

二、分類思想

分類思想是一切科學(xué)研究的基本思想。一般來(lái)說(shuō)，立體幾何分類有兩類：一是點(diǎn)、線、面的相互位置關(guān)系；二是線段及角度的量變引起分類。

三、基本量思想

基本量思想在立體幾何問(wèn)題中對(duì)確定位置、大小關(guān)系具有十分重要的意義。

例2 在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA1=，M是C1C的中點(diǎn)，求證：AB1⊥A1M。

分析：在化歸思想指導(dǎo)下，根據(jù)題設(shè)與結(jié)論，易將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明AB1在平面AA1C1C上的射影AC1與A1M垂直。再根據(jù)基本量思想，此兩線的交角應(yīng)由矩形AA1C1C的邊長(zhǎng)決定，因而AA1=，AC=是決定AC1與A1M垂直與否的基本量。這樣，我們就能在這個(gè)特定的矩形AA1C1C中用不同的方法證明AC1與A1M垂直。另外也可在化歸思想的指導(dǎo)下，AB1與A1M垂直，即兩異面直線所成的角為90°，轉(zhuǎn)化為作AB1與A1M的平行線，從而在原三棱柱的上方或下方補(bǔ)一個(gè)同樣大小的三棱柱，再運(yùn)用基本量思想驗(yàn)證所求的角。

四、函數(shù)與方程思想

函數(shù)與方程均為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，同時(shí)也是解決一類數(shù)學(xué)問(wèn)題中經(jīng)常用到的基本數(shù)學(xué)思想。

例3 如果圓柱軸截面的周長(zhǎng)l為定值，那么圓柱體積的最大值是多少？

解：設(shè)圓柱的底面半徑為r，則圓柱高h(yuǎn)=

∴V圓柱=πr2·=lr2-2πr3

令V′=（2lr-12r2）=0，則r=或r=0（舍）

∴當(dāng)l-4r=2r，即r=時(shí)，V圓柱最大=πl(wèi)3

與函數(shù)概念密切聯(lián)系的是方程，因此，方程的思想與函數(shù)的思想也是密切相關(guān)的。

五、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合，即是“形”中覓“數(shù)”“數(shù)”中思“形”，把要研究問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系與空間圖形結(jié)合起來(lái)。華羅庚說(shuō)：“數(shù)”缺“形”少直觀，“形”離“數(shù)”難入微。如根據(jù)問(wèn)題的需要，可把數(shù)量關(guān)系問(wèn)題化為圖形性質(zhì)去求解；或把圖形性質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系來(lái)研究。

例4 球面上有P、A、B、C四點(diǎn)，如果PA、PB、PC兩兩互相垂

直，且PA=PB=PC，那么這個(gè)球面的面積是多少？

分析：可據(jù)題構(gòu)想一個(gè)棱長(zhǎng)為a的正方體內(nèi)接于半徑為R的球，由對(duì)稱性知識(shí)R=a/2，故S球=3πa2。

六、整體思想

整體思想是一種從全局總體出發(fā)著眼處理問(wèn)題的思想方法。常用的有整體代換、圓形的補(bǔ)形與分割、等面積體積求距離等。

七、類比與轉(zhuǎn)換思想

類比即是先從一個(gè)類似的平面幾何問(wèn)題出發(fā)，去探求立體幾何問(wèn)題。而轉(zhuǎn)換就是把立體幾何問(wèn)題的基本元素轉(zhuǎn)換到某一個(gè)或幾個(gè)平面中，然后用平面幾何知識(shí)來(lái)解決。

在教學(xué)中，立體幾何中許多重要概念，如異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的大小都是用兩相交直線所成的角來(lái)定義。它們都是通過(guò)把空間圖形中許多基本元素的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)換成平面圖形問(wèn)題來(lái)解決。常用的方法有構(gòu)造含有空間圖形基本元素的平面圖形，利用多面體和旋轉(zhuǎn)體的截面，或多面體和旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖等，這里就不再一一舉例。

總之，一定要掌握好各種基本數(shù)學(xué)思想，善于融會(huì)貫通、舉一反三，這樣就會(huì)逐步提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。