焦永

摘要：超越函數(shù)計算在高性能微處理器、DSP以及GPU的設(shè)計中均會涉及，對數(shù)是其中比較重要的一種運(yùn)算。目前的做法一般是采用多項(xiàng)式展開或者查表法：采用多項(xiàng)式展開法達(dá)到要求的精度，需要計算的乘法和加法非常多；若采用直接查表法，所需要的ROM資源將非常多。該文提出了一種高效的單精度浮點(diǎn)對數(shù)運(yùn)算的實(shí)現(xiàn)方法，采用展開式和查表相結(jié)合的方法，可以實(shí)現(xiàn)對任意底數(shù)的對數(shù)運(yùn)算，同時在運(yùn)算器數(shù)量和ROM資源數(shù)量間達(dá)到平衡。

關(guān)鍵詞：單精度浮點(diǎn)；對數(shù)；查表

中圖分類號：TP393 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-3044（2017）01-0235-02

Abstract： Transcendental function computing is used in high-performance microprocessors， DSP and GPU， the logarithm is one of the important operations. Most implementation is generally used polynomial expansion or look-up table method： achieving high precision accuracy needs a lot of multiplication and addition operations while using polynomial expansion method； the ROM resources will be very much while using direct look-up table method. This paper presents an efficient single-precision floating-point logarithm algorithm， using the polynomial expansion and look-up table combination， which can achieve any base of the logarithm， while the resources of ALU and ROM are balanced.

Key words： single precision floating-point； logarithm； lookup

1 概述

單精度對數(shù)運(yùn)算在高性能微處理器、DSP和GPU中經(jīng)常使用到。硬件實(shí)現(xiàn)對數(shù)運(yùn)算的方法一般是多項(xiàng)式展開法或者查表法，多項(xiàng)式展開法需要使用的運(yùn)算器（浮點(diǎn)乘法、加法）數(shù)量非常多；查表法需要使用的ROM資源非常多，本文采用一種多項(xiàng)式展開和查表相結(jié)合的算法，實(shí)現(xiàn)了對任意底數(shù)的對數(shù)運(yùn)算，同時在運(yùn)算器數(shù)量和ROM資源數(shù)量間達(dá)到平衡。

2 IEEE 754單精度浮點(diǎn)數(shù)據(jù)格式

IEEE754標(biāo)準(zhǔn)[1]定義了單精度32位和雙精度64位浮點(diǎn)數(shù)的格式。32位IEEE754單精度標(biāo)準(zhǔn)值中，第一位是符號位，其后8位用來存放指數(shù)，最后23位用來存放小數(shù)尾數(shù)，如圖1所示。

在IEEE754單精度浮點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)中，最高位為符號位（0為正，1為負(fù)），階碼共8位，階碼=階碼的真值+7fH，尾數(shù)共23位，進(jìn)行了歸一化，以產(chǎn)生一個1.f格式的數(shù)，f是小數(shù)部分，占用分配的23位。因?yàn)橐?guī)格化的數(shù)最左一位總是1，所以不需要存儲該位，在該格式中它是隱式的。

3 單精度浮點(diǎn)對數(shù)運(yùn)算算法

設(shè)，其中x為單精度浮點(diǎn)數(shù)且x>0，n>0且n≠1，求y。

根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可以將y寫成，n為外部輸入的值，可以將輸入常數(shù)n變?yōu)檩斎氤?shù)，那么問題就轉(zhuǎn)變?yōu)橛嬎?，的計算采用多?xiàng)式展開和查表相結(jié)合的算法。

對于單精度浮點(diǎn)數(shù)（其中），那么：

E為x的指數(shù)部分，容易提取，ln2為常數(shù)，所以問題變?yōu)橛嬎恪?/p>

根據(jù)泰勒展開公式[2]：設(shè)n是一個正整數(shù)，如果定義在一個包含a的區(qū)間上的函數(shù)f在a點(diǎn)處n+1次可導(dǎo)，那么對于這個區(qū)間上的任意x都有，其中的多項(xiàng)式稱為函數(shù)在a處的泰勒展開式，是泰勒公式的余項(xiàng)且是的高階無窮小。

若要使結(jié)果保證單精度浮點(diǎn)數(shù)的精度，即24位小數(shù)，那么需滿足，不妨設(shè)，其中，，此時可保證（此處未考慮浮點(diǎn)乘法和加法的精度損失，實(shí)際結(jié)果的誤差可能會超過），所以原計算可以轉(zhuǎn)換成計算，下面的問題是計算和。

首先計算，由于a只有8位小數(shù)（二進(jìn)制），擬采用查表法，預(yù)先計算好1.00000000～1.11111111的自然對數(shù)值（單精度浮點(diǎn)數(shù)），將其存儲在32×256的ROM中。

再計算，同樣采用查表法，預(yù)先計算好1.00000000～1.11111111的倒數(shù)值（單精度浮點(diǎn)數(shù)），將其存儲在32×256的ROM中，其余的就是浮點(diǎn)加法和乘法運(yùn)算。

4 硬件實(shí)現(xiàn)

根據(jù)前面對算法的描述，將該算法的硬件實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

根據(jù)硬件實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)，計算浮點(diǎn)對數(shù)運(yùn)算的模塊需要的邏輯資源為：3個單精度浮點(diǎn)加法、3個單精度浮點(diǎn)乘法、2個256×32（bit）=1KB的ROM。

將該算法用Verilog語言描述，在（1，2）區(qū)間生成一些隨機(jī)測試激勵（為便于比較，將輸入和輸出的單精度浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制小數(shù)[3]）在Modelsim[4]環(huán)境下進(jìn)行仿真，仿真波形如圖3所示，其中輸入數(shù)據(jù)、實(shí)際結(jié)果、運(yùn)行結(jié)果和誤差見表1所示（以2為底數(shù)）。

單精度浮點(diǎn)數(shù)的精度為2-23=1.19×10-7，由仿真結(jié)果可以看出，在硬件實(shí)現(xiàn)的計算結(jié)果與真實(shí)結(jié)果相比，誤差都不會超過1×2-23，能夠滿足單精度浮點(diǎn)數(shù)的精度要求。

5 結(jié)論

本文針對高性能微處理器、DSP、GPU設(shè)計中用到的單精度浮點(diǎn)對數(shù)運(yùn)算的實(shí)現(xiàn)，提出一種基于多項(xiàng)式展開和查表法相結(jié)合的硬件實(shí)現(xiàn)算法，該算法可以實(shí)現(xiàn)任意底數(shù)的對數(shù)運(yùn)算，將該算法使用Verilog語言描述，并進(jìn)行仿真，在運(yùn)算精度、硬件資源消耗方面均達(dá)到較理想的效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]the Institute of Electrical and Electronics Engineers， EEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic [S]， July 26， 1985

[2] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[3] https：//www.h-schmidt.net/FloatApplet/IEEE754.html [OL]

[4] https：//www.mentor.com/company/higher_ed/modelsim-student-edition [OL]