岳寶增 于嘉瑞 吳文軍

?(北京理工大學宇航學院力學系，北京100081)

?(廣西科技大學汽車與交通學院，廣西柳州545006)

多儲液腔航天器剛液耦合動力學與復合控制1)

岳寶增?,2)于嘉瑞?吳文軍?

?(北京理工大學宇航學院力學系，北京100081)

?(廣西科技大學汽車與交通學院，廣西柳州545006)

采用復合控制方法對充液航天器的姿態(tài)和軌道機動進行高精度控制.通過傅里葉--貝塞爾級數(shù)展開法,將低重力環(huán)境下液體的彎曲自由表面的動態(tài)邊界條件轉化為簡單的微分方程，其中耦合液體晃動方程的狀態(tài)向量由相對勢函數(shù)的模態(tài)坐標和波高的模態(tài)坐標組成.通過廣義準坐標下的拉格朗日方程得到航天器剛體部分運動和液體燃料晃動的耦合動力學方程,提出了自適應快速終端滑模策略和輸入整形技術相結合的復合控制器,并分別用于控制攜帶有一個燃料腔和四個燃料腔航天器的軌道機動和姿態(tài)機動.通過數(shù)值模擬來驗證控制器的效率和精度.結果表明，對于多儲液腔航天器，如果在設計航天器的姿態(tài)和軌道控制器時沒有充分考慮燃料晃動效應，那么在受控航天器系統(tǒng)中將會出現(xiàn)剛--液--控耦合問題并導致航天器姿態(tài)不穩(wěn)定.而本研究中的復合自適應終端滑?？刂破骺梢詫崿F(xiàn)航天器機動的高精度控制并有效抑制液體燃料晃動.

液體晃動，多儲液腔航天器，低重力環(huán)境，剛液控耦合動力學，終端自適應滑?？刂破?/p>

引言

現(xiàn)代航天器通常需要攜帶大量的液體燃料和液體氧化劑[1-20].為了儲存這些液體，航天器內(nèi)部應攜帶多個儲液腔[21].攜帶多個儲液腔提高了液體晃動的第一固有頻率，并且避免了液體晃動和大型柔性附件振動之間產(chǎn)生的共振.然而，隨著儲液腔的增多，系統(tǒng)狀態(tài)變量、自由度和系數(shù)矩陣規(guī)模也隨之增加，航天器系統(tǒng)的控制方程也將更加復雜且更難通過傳統(tǒng)方法建立.

滑?？刂剖且环N廣為人知的航天器魯棒控制方法.Zhu等[22]研究了具有慣性不確定性和外部干擾的航天器的姿態(tài)穩(wěn)定問題，并提出了一種自適應快速終端滑模 (AFTSM)控制器.Tiwari等[23]為剛體航天器設計了一種具有全局魯棒性和全局有限時間收斂的姿態(tài)控制器，并提出了二階滑?？刂评碚?Yue等[24]基于動態(tài)反演方法和輸入整形技術提出了一種用于充液航天器大角度機動的復合控制方法.雖然這些研究取得了一些成果，但其中航天器被簡化為剛體，并且通過引入等效力學模型來考慮液體晃動.需要指出的是將基于等效力學模型得到的晃動動力學與航天器剛體動力學簡單疊加并不能真實反映液體--航天器實際耦合系統(tǒng)的動力學特性[25].

本文將對由航天器主剛體和多個儲液腔構成的耦合航天器系統(tǒng)建立數(shù)學模型，研究具有多個部分充液儲液腔的航天器剛--液--控耦合動力學，設計了一種將輸入整形技術與自適應快速終端滑?？刂撇呗韵嘟Y合的復合控制器，以減少液體晃動對航天器軌道和姿態(tài)機動的影響，結果表明本文所提出的控制器不僅可以確保充液航天器的位置和姿態(tài)漸近趨向目標同時還可有效抑制航天器內(nèi)的燃料晃動.

1 耦合航天器系統(tǒng)的基本方程

1.1 航天器的物理模型與狀態(tài)方程

考慮如圖1所示的攜帶圓柱形儲液腔的航天器.儲液腔視為剛體，固定在航天器的主剛體上.液體視為不可壓縮、無黏且無旋.正交坐標系A=B+C是慣性參考坐標系.正交坐標系A是本體坐標系，坐標軸平行于航天器的慣性主軸.其中x,y,z分別表示滾轉、俯仰和偏航控制軸.滾轉軸與航天器在軌飛行方向相同，俯仰軸垂直于軌道平面，偏航軸指向地球.圓柱坐標系oiriθizi和正交坐標oixiyizi的共同原點oi位于儲液腔i內(nèi)彎曲自由液面的中心.假設坐標系oixiyizi與坐標系oxyz平行.向量roi=[rxi,ryi,rzi]T用來表示oi在本體坐標系oxyz中的位置.未受干擾軸對稱自由液面高度fi(ri)和總波高ζi(ri,θi,ti)從zi=0平面開始測量，波高ηi(ri,θi,t)從自由液面開始測量.用Wi表示儲液腔i的側壁邊界條件(ri=Ri，Ri是儲液腔的半徑)，Bi表示儲液腔的底部邊界條件(zi=hi，hi是儲液腔中液體的高度)，Si表示自由液面邊界條件(zi=-ζi)，Li表示自由液面和壁面接觸線邊界條件(ri=Ri且zi=-ζi).假設R=[Rx,Ry,Rz]T和分別代表航天器主剛體相對于坐標系OXYZ的位置矢量和姿態(tài)矢量，和分別為航天器主剛體相對于坐標系oxyz的速度矢量和角速度矢量.

圖1 充液航天器模型Fig.1 Physical model for spacecraft with propellant tank

用方向余弦矩陣和歐拉角來定義航天器相對于參考系的姿態(tài).定義歐拉角θx,θy,θz為航天器繞本體坐標系x,y,z軸的旋轉角度.方便起見，定義坐標變換矩陣按照ox→oy→oz的順序求得，因此坐標系OXYZ和坐標系oxyz之間的坐標變換矩陣為

其中，sk=sinθk，ck=cosθk(k=x,y,z).因此，可獲得以下變換關系

其中ω是航天器的角速度，可認為其分量是準坐標對時間的導數(shù).

1.2 儲液腔中液體晃動方程

儲液腔i中某點Pi的速度矢量為

其中vpi是點Pi相對于坐標系oxyz的位置矢量，符號()×表示相關矢量所對應的斜對稱矩陣.對方程(5)引入直角坐標和圓柱坐標之間的轉換關系，點Pi關于坐標系oiriθizi的速度可以寫成如下形式

根據(jù)疊加的原理，可以將液體晃動的總速度勢能函數(shù)Φ分解成擾動勢函數(shù)(或相對勢函數(shù))Φr和載流子速度勢Φe[2].無量綱函數(shù)Φe應滿足拉普拉斯方程和儲液腔側壁和底部的非均勻邊界條件

將式(10)代入式(8)和式(9)，得到

方便起見，上述方程省略了θ的下標.根據(jù)式(7)、式(11)和式(12)，假設函數(shù)Φe2為如下形式

其中λn1是的根.將式(12)中的變量R用傅里葉--貝塞爾級數(shù)展開，然后與式(13)比較，展開后得到的系數(shù)An和Bn為

將式(14)和式(15)代入式(13)，再與式(10)合并，得到勢函數(shù)Φe為

相對勢函數(shù)Φr必須滿足式(7)～式(9)，也應該滿足自由液面上的運動學和動力學條件[26]

此外，無量綱波高應滿足自由接觸角條件，即

為了精確地滿足式(7)和式(8),式(9)中的所有齊次邊界條件，相對勢函數(shù)Φr假定為

波高Ψ假定為

晃動力和晃動力矩是航天器穩(wěn)定性和控制分析的重要晃動特性.儲液腔i中的耦合晃動力屬于由擾動勢函數(shù)引起的擾動壓力，主要包括沿著接觸線作用在罐壁上的界面張力，通過圖1模型推導，可以表示為

1.3 耦合系統(tǒng)的方程

對具有多個儲液腔的航天器，運用準坐標下的拉格朗日方程來建立航天器系統(tǒng)的耦合方程，從而進行模塊化建模[27].由儲液腔中的液體晃動引起的耦合力和力矩可認為是外部非保守力和力矩，因此耦合方程組可表示為

式(27)和式(28)可以重寫為

其中m0和J0分別是航天器主剛體的質(zhì)量和轉動慣量，f和 τ分別是控制力和控制力矩，F(xiàn)i和Mi分別是儲液腔i中的晃動力和晃動力矩，Ntank是儲液腔的數(shù)量，v和ω分別是航天器主剛體相對于坐標軸oxyz的速度和角速度.式 (29)和式 (30)都是耦合方程.如果定義Z作為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，并且Z=[Rx,Ry,Rz,θx,θy,θz,vx,vy,vz,ωx,ωy,ωz]T.

2 耦合系統(tǒng)控制方案設計

2.1 航天器位置和姿態(tài)的自適應快速終端滑?？刂品桨?/p>

對于考慮慣性不確定性和外部干擾的航天器的姿態(tài)控制，這里直接給出自適應快速終端滑模(AFTSM)控制器為[22]

對于航天器的軌道控制，這里給出航天器軌道的終端滑動面

其中κ1＞0，κ2＞0，0＜r＜1.

根據(jù)參考文獻[22]，自適應滑模控制器中的軌道控制器可以推導為

其中e=[e1,e2,e3]表示振動邊界，符號函數(shù)被定義為

2.2 輸入整形技術

輸入整形技術采用前饋控制策略.因為不需要傳感器反饋，前饋控制策略具有簡單和有效的優(yōu)點[28-29].為了增加輸入整形過程的魯棒性，Singhose[30]對整形器施加了一個使系統(tǒng)響應對頻率的導數(shù)為零的約束，稱為零振動零導數(shù)(ZVD)輸入整形器.其包含如下3個脈沖

其中Ai和ti分別是脈沖i的幅值和施加時間.并且

其中ξ是阻尼比，ω0是無阻尼系統(tǒng)的固有頻率.本文提出了一種混合控制方法，通過將輸入整形技術整合到自適應滑?？刂品椒ㄖ?，來減弱充液航天器軌道和姿態(tài)機動過程中液體晃動的動力學效應.

3 數(shù)值模擬

分別考慮攜帶有一個和四個部分充液的儲液腔的航天器來說明本文所設計控制器的有效性，分別如圖2和圖3所示.假設R1=0.3m，d1=0.5m，d2=0.2m，R2=0.18m并且不同儲液腔中的液體深度相同.在兩種情況下，航天器內(nèi)液體的總質(zhì)量相同，都為m1=180kg.航天器主剛體的參數(shù)選擇為：m0=200kg，Jx=400kg·m2，Jy=300kg·m2，Jz=300kg·m2.假設航天器初始姿態(tài)θ=[π/12,π/12, -π/36]T，目標位置R(0)=[10,2,3]Tm.

圖2 單個儲液腔的模型圖Fig.2 Model illustration for single propellant tank

圖3 4個儲液腔的模型圖Fig.3 Model illustration for the four propellant tanks

在數(shù)值模擬中，控制器參數(shù)的初始值選擇如下：k1=0.2，k2=0.01，p=0.6，σ=0.06J0，ζ=0，Td=6.35433s.模擬結果如圖4～圖6所示.

圖4 歐拉角隨時間的變化(單儲液腔)Fig.4 Time histories of Euler angles(one tank case)

圖5 歐拉角隨時間的變化(四儲液腔)Fig.5 Time histories of Euler angles(four tanks case)

圖6 使用輸入整形技術后歐拉角隨時間的變化(四儲液腔)Fig.6 Time histories of Euler angles after input shaping (four tanks case)

數(shù)值模擬表明，文中自適應快速終端滑?？刂破髂芎芎玫乜刂坪教炱鞯奈恢?如圖4所示，在航天器只攜帶一個儲液腔的情況下，使用自適應快速終端滑模控制器可以很好地控制航天器的姿態(tài)使其滿足預期要求，并且精度較高.如圖5所示，在航天器攜帶四個儲液腔的情況下，航天器俯仰自旋和液體晃動之間的耦合導致持續(xù)不斷的俯仰運動.圖6表明，對自適應快速終端滑模控制器引入ZVD輸入整形技術后，剛--液--控耦合問題已被有效地抑制，并且證明本文提出的結合輸入整形技術的自適應快速終端滑模控制器的效率和可行性.對于多儲液腔航天器，儲液腔布局不同必然會對控制器的控制效果產(chǎn)生影響.通過對比，可以認為對于其他儲液腔布局的航天器，自適應快速終端滑模控制器結合輸入整形技術也可以改進控制效果.

4 結論和注釋

本文設計了自適應快速終端滑模策略和輸入整形技術相結合的復合控制器來控制航天器軌道和姿態(tài)機動.數(shù)值模擬結果表明，如果在設計攜帶多個儲液腔航天器的姿態(tài)和軌道控制器時沒有充分考慮液體晃動效應，則有可能誘導剛--液--控耦合問題并且導致航天器姿態(tài)不穩(wěn)定.本文提出的輸入整形自適應快速終端滑?？刂破骺梢杂行б种贫喑湟呵缓教炱黢詈舷到y(tǒng)中的俯仰殘余振動現(xiàn)象.

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RIGID AND LIQUID COUPLING DYNAMICS AND HYBRID CONTROL OF SPACECRAFT WITH MULTIPLE PROPELLANT TANKS1)

Yue Baozeng?,2)Yu Jiarui?Wu Wenjun?

?(Department of Mechanics，School of Aerospace Engineering，Beijing Institute of Technology，Beijing100081，China)

?(Department of Automotive Engineering，Guangxi University of Science and Technology，Liuzhou545006，Guangxi，China)

The compound control methods are widely used to control the orbit translation and attitude maneuver of liquidfille spacecraft with high accuracy.The dynamic boundary conditions on curved liquid free surface under low-gravity environment are transformed to general simple di ff erential equations by using Fourier-Bessel series expansion method and the state vectors of coupled liquid sloshing equations are composed by the modal coordinates of relative potential function and the modal coordinates of wave height.The coupled dynamic equations for the rigid platform motion and liquid fuel sloshing are obtained by means of Lagrange equations in terms of general quasi-coordinates.The expressions of the sloshing forces and moments are obtained by analyzing the liquid model.An adaptive fast terminal sliding mode controller and a composite controller that combines the adaptive fast terminal sliding mode strategy and the input shaping technology are respectively designed to control spacecraft orbit translation and attitude maneuver for two cases.In the firs case,the spacecraft carries one partially liquid-fille propellant tank.In the second,the spacecraft carries fourpartially liquid-fille propellant tanks.The efficiency and the accuracy of the controllers are examined through numerical simulations.The results indicate that liquid-control-spacecraft coupled resonance can appear in the controlled spacecraft system if the sloshing e ff ects have not been sufficiently taken accounted of during designing attitude and orbit controller for spacecraft with multiple propellant tanks,and this resonance will result in the instability of the spacecraft attitude. Nevertheless,such disadvantages have been efficiently inhibited by using presented composite adaptive terminal sliding mode controller.

liquid sloshing,multiple propellant tanks,low-gravity environment,rigid-liquid-control coupled dynamics, adaptive terminal sliding mode controller

V448

A

10.6052/0459-1879-16-342

2016–11–24收稿，2017–01–21錄用,2017–01–23網(wǎng)絡版發(fā)表.

1)國家自然科學基金(11472041，11532002)、中國高等教育的博士點基金(20131101110002)及廣西自然科學基金(2015GXNSFBA139013)資助項目.

2)岳寶增，教授，主要研究方向：非線性動力學與控制.E-mail:bzyue@bit.edu.cn

岳寶增,于嘉瑞,吳文軍.多儲液腔航天器剛液耦合動力學與復合控制.力學學報,2017,49(2):390-396

Yue Baozeng,Yu Jiarui,Wu Wenjun.Rigid and liquid coupling dynamics and hybrid control of spacecraft with multiple propellant tanks.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(2):390-396