孫思宇，梁秀娟，肖長來，王 添，李寶玉

(吉林大學(xué)地下水資源與環(huán)境教育部重點實驗室，長春 130021)

降水是地下水的主要補(bǔ)給來源，其長期變化特征是地下水動態(tài)的重要表征[1,2]。小波分析最初是法國工程師Morlet為研究地震波局部特性時提出的[3]，后來逐漸應(yīng)用到水文序列分析中。目前小波分析已成為降水序列多時間尺度變化特征分析的有效手段。國外對于小波分析的研究開展較早，1989年Meyer所寫的《小波與算子》是目前較權(quán)威系統(tǒng)的小波理論著作[4-5]，崔錦泰所著的《An introduction to wavelets》是一部小波分析的入門書[6]；在國內(nèi)，小波分析在20世紀(jì)80年代初開始發(fā)展，楊位欽等學(xué)者提出時間序列與動態(tài)數(shù)據(jù)的建模[7]，在1994年研究達(dá)到高潮[8]，王文圣等學(xué)者利用小波分析的方法，對水文序列的周期成分、突變識別等方面進(jìn)行了研究及討論，陳彥光對于地理數(shù)據(jù)的Matlab小波應(yīng)用提出了討論，崔麗、唐小廚、周偉等學(xué)者都對小波分析及應(yīng)用的研究進(jìn)行了討論[9-12,14]。本文以吉林市4個雨量站的降水量資料為例，利用小波變換分析方法，分析其變化周期，預(yù)測其發(fā)展趨勢，為吉林市地下水開發(fā)利用提供科學(xué)依據(jù)。

1 研究區(qū)概況

吉林市位于東經(jīng)125°40′～127°56′，北緯42°31′～44°40′之間，屬于吉林省中部偏東的中低山丘陵區(qū)，東接延邊朝鮮族自治州，西臨長春市、四平市，北與黑龍江省哈爾濱市接壤，南與白山市、通化市、遼源市毗鄰，總面積為27 120 km2。

吉林市的氣候?qū)儆跍貛Т箨懶约撅L(fēng)氣候，多年平均降水量650～750 mm，其中6-9月降水量占全年降水量的70%～80%。多年平均蒸發(fā)量為1 432 mm。吉林市境內(nèi)水系發(fā)達(dá)，水資源量較為豐富，地表水資源165 億m3/a，地下水資源7 億m3/a。

2 研究方法

小波分析是在Fourier變換基礎(chǔ)上發(fā)展起來的另一種重要的信號解析工具。Fourier分析具有很好的全局性，但不能同時兼顧時間域(或空間域)和頻率域(或波數(shù)域)兩方面信息。小波分析的基函數(shù)具有很好的局部性，特別是它可以在時(空)、頻(波)兩域同時給出系統(tǒng)演化的信息[10]。

小波分析在Fourier變化的基礎(chǔ)上引入窗口函數(shù)(小波函數(shù))ψ(t)，從而允許把時間序列分解為時間和頻率的貢獻(xiàn)[11]。

小波函數(shù)ψ(t)=L2(R)滿足：

(1)

通過伸縮和平移，函數(shù)ψ(t)可構(gòu)成一簇函數(shù)系：

(2)

對于給定的時間函數(shù)f(t)∈L2(R)的連續(xù)小波變換可表示為：

(3)

將關(guān)于所有尺度因子的小波變化系數(shù)的平方在時間域積分，即為小波方差：

(4)

小波方差能反映波動能量隨時間尺度的分布，用于確定水文時間序列變化過程中存在的明顯周期[11]。

Morlet小波變換為連續(xù)復(fù)小波變換，小波函數(shù)的實部和虛部位相差為π/2，因此能夠消除用實小波變換系數(shù)作為判據(jù)而產(chǎn)生的虛假振蕩，使分析結(jié)果更為準(zhǔn)確[12]。本文選用Morlet小波對降水量時間序列進(jìn)行時域局部化分析。

Daubechies(dbN)小波是由小波分析學(xué)者Inrid Daubechies構(gòu)造的小波函數(shù)，可用于完成一維離散采樣信號的差分運算，即給出與觀測結(jié)果的平均值不相等部分的差值，除了db1(Haar小波)外，其他小波沒有明確的表達(dá)式，提供了比Haar函數(shù)更有效的分析和綜合[13]。本文選用Daubechies(dbN)小波對降水量時間序列進(jìn)行趨勢分析。

3 數(shù)據(jù)分析

3.1 小波系數(shù)分析

Morlet小波變換中小波變換的實部是重要的時頻分布參數(shù)，以參數(shù)的時頻分布圖表示，顯示出不同時間尺度在時間序列上的分布和相位情況。圖中實線為正值，表示年降水量多于多年平均值，為偏豐年份；虛線為負(fù)值，表示年降水量少于多年平均值，為偏枯年份，在實線與虛線交界處為零值，表示年降水量豐枯變化的轉(zhuǎn)折點。

為顯示年降水量的整體變化，首先對吉林市內(nèi)4個雨量站55年(1957-2011年)年降水量進(jìn)行距平處理，之后利用MATLAB軟件對其進(jìn)行Morlet小波變換，分析得出各雨量站年降水量距平小波變化系數(shù)的實部的時頻分布圖，詳見圖1。

圖1中清晰地顯示出各雨量站年降水量時間尺度變化情況，年降水量轉(zhuǎn)折點的分布及其相位結(jié)構(gòu)情況。吉林市年降水量整體上呈現(xiàn)3個時間尺度的變化規(guī)律周期：2～6年，10～13年，20～28年。但在各雨量站變化周期的時間尺度存在差異，在不同的時間尺度上，年降水量也顯示出不同的變化特征。

以城區(qū)雨量站為例。由圖1(d)可知，城區(qū)雨量站存在3個時間尺度的周期：3～7年、10～11年、20～26年。其中，3～7年時間尺度為短周期，小波系數(shù)實部的時頻分布較為密集，年降水量變化表現(xiàn)為強(qiáng)烈震蕩的狀態(tài)，顯示出正負(fù)頻繁交替的狀態(tài)，當(dāng)時間尺度為3年時，年降水量的變化周期與年際變化周期相近；10～12年時間尺度為中長周期，中心尺度為11年左右，小波系數(shù)實部的時頻分布較為緊密，但能明顯看出時頻分布曲線的正負(fù)交替狀態(tài)，年降水量變化同樣表現(xiàn)為震蕩的狀態(tài)，顯示出正負(fù)交替的狀態(tài)； 20～26年時間尺度為長周期，中心尺度為22年左右，此時間尺度上，小波系數(shù)實部的時頻分布較為均勻，時頻分布曲線正負(fù)交替較為規(guī)律，年降水量表現(xiàn)為豐枯交替循環(huán)出現(xiàn)的情況。

圖1 吉林市各雨量站年降水量小波變化系數(shù)實部的時頻分布圖Fig.1 Time-frequency distributions of wavelet transform coefficients of annual precipitation at Jilin City

3.2 小波方差檢驗

利用小波方差可以更加直觀的得出通過小波分析得到的降水系列周期，圖2為吉林市各雨量站年降水量的小波方差圖。

以城區(qū)雨量站為例，由圖2(d)可知，年降水系列方差圖存在3個確定的波峰，時間尺度為5年、11年及22～23年。根據(jù)不同時間尺度所對應(yīng)的波峰值及其波形的完整性分析，22～23年的長時間尺度為主周期，年降水量時間序列周期震蕩最強(qiáng)；5年的短時間尺度為次周期，年降水時間序列在該時間尺度上周期震蕩較為強(qiáng)烈。同時，在圖2(d)中，11年中長時間尺度上存在小型的波動。

由表2可知，吉林市各雨量站年降水量整體上存在一個3～6年時間尺度的短周期；各雨量站均存在10～11年時間尺度的中長期雨量，除搜登站雨量站該時間尺度上小波方差圖的波峰值較小，口前、西陽、城區(qū)雨量站在該時間尺度上均能見明顯的波峰，且該周期的時間尺度與太陽黑子的活動周期(11年)相近，可能是受太陽黑子活動的影響；吉林市整體上存在一個22～25年時間尺度的長周期，均為其主周期。

圖2 吉林市各雨量站年降水量小波方差圖Fig 2.Wavelet variances of precipitation time series of Jilin City

年

表2 吉林市各雨量站年降水序列小波方差周期Tab.2 The periods of wavelet variances of annualprecipitation time series at Jilin City

注：*表示主周期。

3.3 降水變化趨勢分析

年降水量在一個完整水文周期內(nèi)，隨時間呈現(xiàn)豐、平、枯不同的變化趨勢。由于年降水量受到氣候條件、人類活動等多種因素影響，在分析其變化趨勢前，應(yīng)先對資料進(jìn)行小波分解，進(jìn)行降噪處理。實際信號通常表現(xiàn)為低頻信號或者比較平穩(wěn)的信號，而噪聲通常表現(xiàn)為高頻信號[10]。本文利用dbN小波對吉林市各雨量站年降水量進(jìn)行小波分解?；谛〔ǚ纸庠?，最多可以分解至第log2N層，其中N為樣本數(shù)量。本文中樣本數(shù)量為55，最多可以分解至第5層，因此，本文選擇db5小波對年降水量時間序列進(jìn)行小波分解。

圖3為各雨量站年降水量時間序列降噪處理后的趨勢變化曲線圖。圖3中s表示原始信號，a5表示第5層小波分解近似信號，d5～d1為第5層到第1層小波分解細(xì)節(jié)信號[14]。從圖中可知，隨著時間尺度和分解層次的增加，噪聲信號在高頻信號的幅值快速衰減，降水量變化趨勢逐漸趨于明顯。本文中年降水量時間序列經(jīng)過5次小波分解，降噪程度最好，年降水量變化趨勢最為明顯。

圖3 吉林市各雨量站年降水量趨勢變化圖Fig.3 The trend variance of the precipitation series of Jilin City

由圖3中各圖的第5層小波分解近似信號(a5)可知，對于各雨量站年降水量歷史趨勢變化，各雨量站均呈現(xiàn)先逐漸減少，后逐漸增加的趨勢。根據(jù)各圖的第5層小波分解近似信號變化趨勢分析可知，對于各雨量站年降水量未來趨勢變化，各雨量站均呈現(xiàn)近期逐漸增加至最大值，后逐漸減少的趨勢。

4 結(jié) 語

本文利用吉林市內(nèi)4個雨量站55年(1957-2011年)降水資料，應(yīng)用小波方法分析其年降水量時間序列的變化規(guī)律。分析結(jié)果表明：

(1)吉林市年降水量時間序列整體上存在3個時間尺度的周期：2～6年短時間尺度的周期；10～13年中長時間尺度存在一個小型變化周期，其變化尺度與太陽黑子活動周期相近，可能是受太陽黑子的影響；22～26年長時間尺度的周期，且整體上以長時間尺度為主周期；

(2)經(jīng)降噪處理后，在大時間尺度上各雨量站歷史趨勢均呈現(xiàn)先逐漸減少，后逐漸增加的趨勢；根據(jù)對吉林市各雨量站年降水時間序列未來變化趨勢及周期分析，在未來一段時間內(nèi)，吉林市的降水量整體上將呈現(xiàn)近期逐漸增加至最大值，后逐漸減少的趨勢；

(3)本文對于吉林市年降水量分析結(jié)果為年降水時間序列的整體變化規(guī)律，但仍存在突變點，可能是受到特殊的環(huán)境氣候因素和人類活動因素的影響，對于突變點仍需要結(jié)合各種影響因素進(jìn)行綜合分析。

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