☉廣東省云浮市云浮中學(xué) 趙 華

變式訓(xùn)練是提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的有效途徑

☉廣東省云浮市云浮中學(xué) 趙 華

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中寫(xiě)到“培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是發(fā)展智力、全面培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的主要途徑，因此高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注意提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這也是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一”.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》把提高數(shù)學(xué)思維能力作為十條基本理念之一.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，變式訓(xùn)練是一種傳統(tǒng)的、典型的提高學(xué)生思維能力的數(shù)學(xué)教學(xué)策略，是廣大數(shù)學(xué)教師在長(zhǎng)期的教學(xué)工作中總結(jié)出來(lái)的一種行之有效的教學(xué)手段.所謂數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練，是在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中對(duì)概念、公式、定理及問(wèn)題等從不同角度、不同情形、不同層次做出有效的變化，使其條件或形式發(fā)生變化，本質(zhì)特征卻保持不變.利用變式訓(xùn)練，可以把一個(gè)孤立的問(wèn)題從不同角度向外擴(kuò)散，并形成一個(gè)有規(guī)律可尋的系列，幫助學(xué)生在問(wèn)題的解答過(guò)程中去尋找解決類似問(wèn)題的方法、思路，培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力，從而提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力.從知識(shí)類型上區(qū)分，數(shù)學(xué)變式可分為概念定義變式、定理公式變式、習(xí)題變式三類，習(xí)題變式主要包括一題多用變式、一題多變變式、一題多解（證）變式和多題歸一（一法多用）變式.下面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐談?wù)勗跀?shù)學(xué)教學(xué)中如何運(yùn)用變式訓(xùn)練，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力做一些探討.

一、變式訓(xùn)練可以增強(qiáng)學(xué)生的直覺(jué)思維能力

數(shù)學(xué)直覺(jué)思維是非邏輯思維的一類，它沒(méi)有完整的邏輯思維過(guò)程，迅速地對(duì)問(wèn)題的答案作出直接設(shè)想、猜測(cè)或頓然領(lǐng)悟.著名數(shù)學(xué)家徐利治教授說(shuō)過(guò)：數(shù)學(xué)直覺(jué)是達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)真正理解的重要途徑.只有這樣，才能使相應(yīng)的內(nèi)容在頭腦中成為“非常直接淺顯的”和“非常透徹明白的”，從而真正達(dá)到“真懂”或“徹悟”的境界.同時(shí)指出“數(shù)學(xué)直覺(jué)是于后天培養(yǎng)的，實(shí)際上每個(gè)人的數(shù)學(xué)直覺(jué)也是不斷提高的”，也就是說(shuō)數(shù)學(xué)直覺(jué)思維是可以通過(guò)訓(xùn)練提高的.實(shí)踐證明，有效的變式訓(xùn)練能夠培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維能力.

例1求證：等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于腰上的高.

已知：如圖1，在△ABC中，AB= AC，CD是AB邊上的高，P是BC邊上的一點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F.

圖1

求證：PE+PF=CD.

對(duì)上題進(jìn)行如下變式：

變式1求證：等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和為定值.

變式2求證：等邊三角形邊上的任意一點(diǎn)到另外兩邊的距離之和為定值.

變式3求證：等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)到三邊的距離之和為一定值.

變式4求證：等腰三角形底邊的延長(zhǎng)線的一點(diǎn)到兩腰的距離之差是一定值.

幾何中的“定值”證明題具有較大的難度.依據(jù)例1的原型啟發(fā)、聯(lián)想，

運(yùn)用直覺(jué)思維，猜測(cè)出變式1、2、3、4題中的“定值”可能是“腰上的高”，即使猜測(cè)得不對(duì)，還可以把“定值”的猜想范圍放寬到腰長(zhǎng)、周長(zhǎng)、底邊上的高等概念上，使證明具有了方向性和目的性.在以上各變式題中，基本圖形仍是等腰三角形，只是點(diǎn)的位置的變化.

二、變式訓(xùn)練可以提高學(xué)生的抽象概括思維能力

抽象概括是思維的基礎(chǔ)，抽象是有層次的，逐步深入的.數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，如果能根據(jù)學(xué)生思維發(fā)展水平，利用概念的逐級(jí)抽象概括過(guò)程，及時(shí)向?qū)W生提出高一層次的抽象任務(wù)，就能不斷提高學(xué)生的抽象思維能力.變式訓(xùn)練的過(guò)程與抽象概括思維的過(guò)程基本一致，因?yàn)槲覀冊(cè)趯?shí)施變式訓(xùn)練過(guò)程中必須遵循目的性原則和層次性原則，這樣我們才能有目的地逐層推進(jìn)，以保證我們的變式得以順利進(jìn)行.例如，在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)概念時(shí)，學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中沒(méi)有適當(dāng)?shù)挠^念與微分相對(duì)應(yīng)，所以需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)一個(gè)學(xué)生熟悉的實(shí)際情景以引進(jìn)導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而引起對(duì)原有的函數(shù)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的擴(kuò)張，形成導(dǎo)數(shù)的認(rèn)知結(jié)構(gòu).人教版選修2-2教科書(shū)中，通過(guò)兩個(gè)具體的實(shí)例，通過(guò)計(jì)算平均變化率再利用極限而逐步抽象到瞬時(shí)變化率.例如，由平均速度到瞬時(shí)速度，在具體的教學(xué)中，可通過(guò)逐步變換問(wèn)題，區(qū)分平均量與瞬時(shí)量的差異，以抓住導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)特征，達(dá)到建立抽象概念——導(dǎo)數(shù)的目的.這樣可使學(xué)生感到引入導(dǎo)數(shù)概念是自然的、必要的、可行的.該方法既簡(jiǎn)單又實(shí)用，它不僅有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，而且也有助于提高學(xué)生的抽象思維能力.

借助對(duì)問(wèn)題非本質(zhì)特征的變化（甚至改變問(wèn)題的結(jié)構(gòu)）而得到新問(wèn)題的方法，符合數(shù)學(xué)變式教學(xué)的要求.變式的目的就是要讓學(xué)生在不斷變更問(wèn)題情景或者改變思維角度的情況中，學(xué)會(huì)從中抽象出問(wèn)題的本質(zhì)特征，并逐漸理解抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象背后隱藏的深刻思想方法和實(shí)質(zhì).數(shù)學(xué)變式教學(xué)讓學(xué)生對(duì)問(wèn)題解決的過(guò)程及問(wèn)題本身的結(jié)構(gòu)有較清晰的認(rèn)識(shí)，使他們能夠在不斷變化的問(wèn)題情境中積極思考，這些思考的過(guò)程正是學(xué)生形成抽象思維能力的過(guò)程.

三、變式訓(xùn)練可以提高學(xué)生的發(fā)散思維能力

一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)上的新思想、新概念、新方法往往來(lái)源于發(fā)散思維，它是數(shù)學(xué)思維能力的一個(gè)重要方面，是培養(yǎng)創(chuàng)造思維能力的重要環(huán)節(jié).發(fā)散思維需要從不同方面考慮解決問(wèn)題的多種可能性，因而其富于聯(lián)想，思路開(kāi)闊，善于分解、組合和引申推廣，善于采用各種變通方法.因此，變式訓(xùn)練就成為培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的橋梁和紐帶.數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練中，可以通過(guò)一題多變或一題多解（證）變式來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

例2已知拋物線y2=2px，過(guò)其焦點(diǎn)F作斜率為k的直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，求證

題干條件不變，進(jìn)行如下變式：

變式1求證：y1y2=-p2.

四、變式訓(xùn)練可以提高學(xué)生的逆向思維能力

逆向思維，就是按通常思維的相反方向思考問(wèn)題的方法，也稱為反向思維.在思考數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，順推不行時(shí)可以考慮逆推，直接解決不行時(shí)可以考慮間接解決，證明原命題困難時(shí)可以考慮證明它的等價(jià)命題，通常能起到化難為易的作用.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生習(xí)慣于正向思維，往往忽視逆向思維，如習(xí)慣于公式定義、定理的正向運(yùn)用，而拙于它們的逆向運(yùn)用，故在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注重這方面的訓(xùn)練，可通過(guò)一題多變中的逆向變式等方式，來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了幫助學(xué)生從不同的角度理解有關(guān)知識(shí)要點(diǎn)，可以編制一些“反問(wèn)題”來(lái)訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維能力.

五、變式訓(xùn)可以提高學(xué)生的空間想象能力

一百多年前，恩格斯給數(shù)學(xué)下的定義是“研究客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”.所謂空間想象能力是人們對(duì)客觀事物的空間形式（空間幾何形體）進(jìn)行觀察、分析、認(rèn)知的抽象思維能力，空間想象能力反映在：一是能否根據(jù)空間幾何形體或根據(jù)表述幾何形體的語(yǔ)言、符號(hào)，在大腦中正確想象其直觀圖.二是能否根據(jù)直觀圖，在大腦中展現(xiàn)出直觀圖表現(xiàn)的幾何形體及其組成部分的形狀、位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而能否不借助幾何直觀，對(duì)頭腦中已有的空間幾何形體進(jìn)行分解、組合，產(chǎn)生新的空間幾何形體，并正確分析其位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)之一.辯證唯物主義認(rèn)為，任何事物的變化發(fā)展都有其內(nèi)在規(guī)律，空間想象能力的提高也是如此，它是逐級(jí)向上的，即有明顯的層次性.數(shù)學(xué)教師只有把握好這一規(guī)律，并將它有機(jī)地滲透到教學(xué)實(shí)踐中去，有針對(duì)性地采取得當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法和措施，才能有效地提高學(xué)生的空間想象能力.

學(xué)生空間想象能力的提高，有不同的途徑.可以采用如歸納、類比等方法，也可通過(guò)變式訓(xùn)練的教學(xué)方式來(lái)實(shí)現(xiàn)，即通過(guò)對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合與變形，并向基本圖形轉(zhuǎn)化，或通過(guò)對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的探究，將其引申，變換為相關(guān)圖形而得到變式問(wèn)題鏈，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用圖形的知識(shí)和空間想象來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.

例4讓學(xué)生根據(jù)圖2正方體（設(shè)棱長(zhǎng)為a），回答問(wèn)題：在圖2中，求證：AC1⊥B1D1，在變式圖3中，A1C和AB1有類似結(jié)論嗎？

圖2

圖3

根據(jù)這兩個(gè)結(jié)論，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

變式1在復(fù)合圖4中，你能分解出幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)（變式）這種基本圖形？并求證：A1C⊥平面AB1D1

變式2在復(fù)合圖4中，連接BD，DC1，BC1，求證：平面AB1D1∥平面C1BD，并求這兩個(gè)平面的距離.

圖4

變式3在復(fù)合圖4中，連接AC和A1C1，求證：對(duì)角面ACC1A1⊥平面AB1D1.

需要指出的是，標(biāo)準(zhǔn)和變式圖形是相對(duì)的，如果把圖3當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)，那么圖2就是變式.但通常是把比較直觀、學(xué)生容易理解的圖形作為標(biāo)準(zhǔn)圖形講授新知識(shí).至于復(fù)合圖形是指前兩者組合，或同以前學(xué)過(guò)的基本圖形的組合.標(biāo)準(zhǔn)和變式圖形是讓學(xué)生掌握基本知識(shí)技能，而復(fù)合圖形則是培養(yǎng)學(xué)生分解基本圖形的能力，為解決復(fù)雜問(wèn)題奠定良好的基礎(chǔ).故三結(jié)合圖形的教學(xué)模式對(duì)任何水平學(xué)校都有指導(dǎo)意義.

綜上所述，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用變式訓(xùn)練教學(xué)手段，可引導(dǎo)學(xué)生多方位、多角度地思考問(wèn)題，深入理解概念本質(zhì)，靈活運(yùn)用定理公式，提高解題的應(yīng)變能力，能有提高養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，同時(shí)有利于促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的不斷發(fā)展.

1.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.劉長(zhǎng)春，張文娣.中學(xué)數(shù)學(xué)變式教學(xué)與能力培養(yǎng)［M］.濟(jì)南：山東教育出版社，2001.

3.趙曉楚，周愛(ài)東.如何在數(shù)學(xué)課堂中實(shí)施變式教學(xué)［J］.中小學(xué)教學(xué)研究.2007（5）.

4.蒲大勇，史可富.如何讓數(shù)學(xué)思想落地生根［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2016（3）.

5.付佑珊，金寶錚.遷移原理與變式教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2016（9）.