王 莉，朱翼雋

(1. 宿遷學(xué)院 數(shù)學(xué)系，江蘇 宿遷 223800; 2. 江蘇大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

帶負(fù)顧客、中途退出及反饋的M/M/1/N工作休假排隊(duì)

王 莉1，朱翼雋2

(1. 宿遷學(xué)院 數(shù)學(xué)系，江蘇 宿遷 223800; 2. 江蘇大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

本文在帶有負(fù)顧客的M/M/1/N多重工作休假排隊(duì)系統(tǒng)的背景下，同時(shí)引入了不耐煩和反饋策略后進(jìn)行了研究。首先利用馬爾可夫過程方法給出了穩(wěn)態(tài)下概率滿足的方程組，接著利用矩陣?yán)碚撉蟪隽朔€(wěn)態(tài)下矩陣形式的概率解,并得到了穩(wěn)態(tài)下的隊(duì)長均值、等待隊(duì)長均值等一些性能指標(biāo)。最后，利用數(shù)值模擬分析了系統(tǒng)參數(shù)對平均隊(duì)長的影響。

負(fù)顧客；中途退出；反饋；多重工作休假；矩陣幾何解法

0 引言

以往所研究的休假排隊(duì)系統(tǒng)，服務(wù)員在休假期不工作，這類休假系統(tǒng)稱為經(jīng)典休假排隊(duì)，已經(jīng)得到了較完善的的研究和發(fā)展。然而，在很多實(shí)際休假模型中，為提高服務(wù)效率往往規(guī)定休假時(shí)服務(wù)員不完全停止工作，而是以低于正常的服務(wù)率工作。比如在醫(yī)院，休假時(shí)不會都休息，有部分工作人員仍繼續(xù)值班，這是一種半休假策略稱為工作休假，Liu Wengyuan等[1],Wu De’an等[2]和Tian N等[3]分別研究了這類工作休假排隊(duì)模型。當(dāng)工作休假期服務(wù)員的服務(wù)率降為零時(shí)，就變成經(jīng)典休假排隊(duì)模型。目前，工作休假排隊(duì)在國內(nèi)外成為專家研究的熱點(diǎn)。在此類模型中也會常遇到服務(wù)系統(tǒng)中出現(xiàn)對服務(wù)臺的外來援助，我們稱之為負(fù)顧客，它的到來會抵消掉在被服務(wù)的顧客，當(dāng)負(fù)顧客到達(dá)系統(tǒng)時(shí)無顧客，它會自行離開，徐祖潤等[4]，Krishna Kumar B等[5]和郭小瓊等[6]分別研究了三類不同的帶負(fù)顧客的工作休假排隊(duì)模型，從中求出了穩(wěn)態(tài)時(shí)的隊(duì)長分布和隨機(jī)分解結(jié)果及平均隊(duì)長等一些重要的性能指標(biāo)，為繼續(xù)深入研究此類模型奠定了理論和數(shù)據(jù)基礎(chǔ)?，F(xiàn)如今，帶有中途退出這種不耐煩策略的排隊(duì)系統(tǒng)也成為許多學(xué)者研究的又一課題。其中Haight[7]對帶有中途退出的M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)做了詳細(xì)地研究。周宗好等[8]討論了帶有止步和中途退出策略的Mx/M/1/N單重工作休假排隊(duì)系統(tǒng)。他們都將帶中途退出策略的這些模型利用馬氏理論和矩陣方法給出了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)隊(duì)長分布或穩(wěn)態(tài)概率及一些均值指標(biāo)。此外，反饋機(jī)制也是當(dāng)今排隊(duì)論研究中的又一熱點(diǎn)，以Bernoulli反饋為典型，其在計(jì)算機(jī)分時(shí)操作體系和無線電通訊網(wǎng)絡(luò)體系中有著普遍應(yīng)用。加入反饋的各類模型已被廣泛研究，顧慶鳳等[9]和劉紅丹等[10]分別在單服務(wù)臺和多服務(wù)臺休假系統(tǒng)中加入了負(fù)顧客和Bernoulli反饋策略，通過研究得到了穩(wěn)態(tài)下應(yīng)滿足的條件和分布的向量形式等指標(biāo)。綜合目前的各類研究，將負(fù)顧客、中途退出及反饋和工作休假各特點(diǎn)都結(jié)合的文章還不多，本文首次將其結(jié)合在一起研究了帶有負(fù)顧客和中途退出及反饋的M/M/1/N多重工作休假排隊(duì)系統(tǒng)。

1 模型描述

現(xiàn)對本模型做如下規(guī)定：

(1)假定系統(tǒng)中含有正、負(fù)兩類顧客且為單服務(wù)臺系統(tǒng)，一次只服務(wù)一位顧客，系統(tǒng)中最多可容納顧客數(shù)為N,即一旦正顧客量達(dá)到N個(gè)，再到達(dá)的正顧客就將消失。正、負(fù)顧客均按參數(shù)各為λ和ε的泊松流到達(dá)。負(fù)顧客會按一比一消除排在首位的正顧客，在無正顧客時(shí)，到來的負(fù)顧客自行移除。

(2)系統(tǒng)分為工作休假和忙期兩個(gè)階段。當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)無顧客時(shí)，服務(wù)臺會進(jìn)入一個(gè)休假時(shí)間V服從參數(shù)為θ負(fù)指數(shù)分布的工作休假期，此時(shí)顧客被以較低的服務(wù)率μv服務(wù)。如果某次假期結(jié)束時(shí)系統(tǒng)內(nèi)仍為空，則按相同的方式繼續(xù)休假；否則服務(wù)臺將停止工作休假轉(zhuǎn)為忙期，并以正常效率μb(μb>μv)服務(wù)正顧客，直到系統(tǒng)再次為空。服務(wù)臺在兩個(gè)階段的服務(wù)時(shí)間均服從負(fù)指數(shù)分布。服務(wù)完的顧客按概率p(0

(3)顧客進(jìn)入系統(tǒng)由于排隊(duì)等待，根據(jù)隊(duì)長的大小而產(chǎn)生不同程度的厭煩情緒常會在未接受服務(wù)的情況下中途退出。系統(tǒng)忙時(shí)顧客的中途退出率

r(n)=(n-1)α,2≤n≤N

休假時(shí)顧客的中途退出率

r(n)=nα,1≤n≤N

其中，α規(guī)定為中途退出前顧客在系統(tǒng)中等待時(shí)間所服從的負(fù)指數(shù)分布的參數(shù)。

(4)假定服務(wù)過程與到達(dá)過程且以上各隨機(jī)變量間均相互獨(dú)立，按到達(dá)的先后順序服務(wù)。

2 穩(wěn)態(tài)概率方程組的建立

令N(t)表示時(shí)刻t系統(tǒng)中的顧客數(shù)，J(t)表示時(shí)刻t服務(wù)員的工作狀態(tài)，定義：

則{N(t),J(t),t≥0}為二維馬爾可夫過程，狀態(tài)空間為

Ω={(n,0):0≤n≤N∪(n,1):1≤n≤N}

定義系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率：

則其滿足的方程組如下：

(pμv+ε+α)P0(1)+(pμb+ε+α)P1(1)=(λ+θ)P0(0)

(1)

[(1-p)μv+λ]P0(n-1)+[pμv+ε+(n+1)α]P0(n+1)=

[μv+ε+θ+nα+λ]P0(n),1≤n≤N-1

(2)

[(1-p)μv+λ]P0(N-1)=(pμv+ε+θ+Nα)P0(N)

(3)

θP0(1)+(pμv+ε+α)P1(2)=(μb+ε+λ)p1(1)

(4)

θP0(n)+[(1-p)μv+λ]P1(n-1)+(pμb+ε+Nα)P1(n+1)=

[μb+ε+(n-1)α+λ]P1(n),2≤n≤N-1

(5)

θP0(N)+[(1-p)μb+λ]P1(N-1)=[pμb+ε+(N-1)α]P1(N)

(6)

上述(1)～(3)式表示顧客在假期進(jìn)入系統(tǒng)時(shí)狀態(tài)的變化，(4)～(6)表示處在正常忙期的狀態(tài)情況。

3 穩(wěn)態(tài)概率的矩陣幾何解

將轉(zhuǎn)移概率矩陣分塊如下：

A1=

A2=

證明 參見北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的《高等代數(shù)》第二版[11]。

證明 記DN=|A2|,將DN的第二列到第N列都加到第一列，再按第一列各元素展開可得DN=-(pμb+ε)D-1,按上述展開降階法依次降階可得

DN-i=-(pμb+ε+iα)DN-i-1,1≤i≤N-2

D1=-[pμb+ε+(N-1)α]

定理3 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率為

P0(0)=δ

(7)

(8)

(9)

注：εn(1≤n≤N)為N維單位列向量,eN+1和eN分別是元素全為1的N+1維、N維列向量，e表示元素全為1的2N+1維列向量。

證明 令穩(wěn)態(tài)向量P0=(P0(0),P0(1),…,P0(N)),P1=(P1(1),…,P1(N))

記P=(P0,P1)，則其滿足

(10)

將(10)式表示成分塊形式

(11)

P0eN+1+P1eN=1

(12)

由(11)式可得

(15)

展開得

由上式可得

(16)

從而

(17)

同理由(14)式和(16)式有

(18)

將(17)和(18)式代入(12)式可得

(19)

將(19)式分別代入(17)式和(18)式整理得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率為

4 系統(tǒng)的一些性能指標(biāo)

3)平均等待隊(duì)長

4)平均隊(duì)長

5)平均中途離去率

6)顧客的消失率

5 數(shù)值例子

下面給出系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)隊(duì)長隨休假率θ和工作休假期服務(wù)率uv變化的情況。

圖1 θ對平均隊(duì)長E(L)的影響 圖2 uv對平均隊(duì)長E(L)的影響

觀察圖1知，取μv=0.2，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)平均隊(duì)長E(L)隨休假率θ增大而逐漸變小。當(dāng)取定θ值時(shí)，顯然p值越大，E(L)越小，說明平均顧客數(shù)越少，平均離去率越大。 由圖2可知，取θ=2時(shí)，E(L)隨工作休假期服務(wù)率μv的增加而減小。在取定μv值時(shí)，p取值越大，E(L)越小，而顧客離去率越大，即顧客因不耐煩而離開系統(tǒng)的人數(shù)越多。

通過以上分析，研究此類模型時(shí)可以合理地變化參數(shù)指標(biāo)，取適當(dāng)?shù)闹悼墒瓜到y(tǒng)平均穩(wěn)態(tài)隊(duì)長達(dá)到最小，同時(shí)假期和忙期服務(wù)率較高來節(jié)省顧客的排隊(duì)時(shí)間及系統(tǒng)的服務(wù)成本，使排隊(duì)系統(tǒng)盡可能達(dá)到最優(yōu)化。

6 結(jié)論

本文結(jié)合排隊(duì)系統(tǒng)在實(shí)際中可能出現(xiàn)的情況，在具有有限容量的多重工作休假排隊(duì)系統(tǒng)中同時(shí)引入負(fù)顧客、中途退出不耐煩策略和反饋機(jī)制三個(gè)條件，相比以前文獻(xiàn)中的所研究的模型更復(fù)雜，更具體，對這種新模型采用了擬生滅過程的理論方法進(jìn)行研究，運(yùn)用矩陣幾何解法得到了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率，并由此獲得了本模型的一些重要指標(biāo)，如忙期和休假期的概率、平均隊(duì)長和平均等待隊(duì)長，離去率等，為實(shí)際中出現(xiàn)的此類模型的研究提供了理論數(shù)據(jù)。最后，對本模型又做了具體的數(shù)值模擬，得到了重要指標(biāo)平均隊(duì)長隨參數(shù)的變化情況，為進(jìn)一步優(yōu)化模型提供了數(shù)據(jù)實(shí)例。

[1]LiuWengyuan,XuXiuli,TianNaishuo.Stochasticdecompositionsinthequeuewithworkingvacations[J].OperationsResearchLetters,2007(5):595-600.

[2]WuDe’an,TAKAGIH.M/G/1queuewithmultipleworkingvacations[J].PerforEval,2006(7):654-681.

[3]TianN,ZhangZG.AnalysisoftheM/G/1queuewithexponentiallyworkingvacationsamatrixanalyticapproach[J].QueueingSystems,2009(2):139-166.

[4] 徐祖潤，李敏捷，朱翼雋.帶有負(fù)顧客的M/M/C多重工作休假排隊(duì)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2011(11):91-98.

[5]KrishnaKumarB,ArivudainambiD,KrishnamoorthyA.SomeresultsonageneralizedM/G/1feed-backqueuewithnegativecustomers[J].OperationsResearchLetters,2006(1)：277-296.

[6] 郭小瓊,馬占有.帶負(fù)顧客的GI/Geom/1工作休假排隊(duì)[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版,2011(4):28-32.

[7]HaightFA.Queuingwithreneging[J] .Metrika,1959(2):186-197.

[8] 周宗好,顧慶鳳,余君,等.帶有止步與中途退出策略的單重工作休假排隊(duì)系統(tǒng)[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2014(7):125-133.

[9] 顧慶鳳,朱翼雋. 帶有負(fù)顧客且具有Bernoulli反饋的M/M/1工作休假排隊(duì)[J].運(yùn)籌與管理,2008(3):64-69.

[10] 劉紅丹,呂勝利,李丹丹.有負(fù)顧客且Bernoulli反饋的M/M/c工作休假排隊(duì)系統(tǒng)[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版,2013(2):14-18.

[11] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)(第二版)[M].北京：高等教育出版社,1988.

(責(zé)任編輯：孫文彬)

The M/M/1/N Working Vacation Queuing System with Negative Customers Reneging and Feedback

WANG Li1, ZHU Yi-juan2

(1. Mathematic Department, Suqian College, Suqian Jiangsu 223800, China; 2. Faculty of Science, Jiangsu University, Zhenjang Jiangsu 212013, China)

In this paper, the renege and feedback are introduced to an multiple working vacation queuing system with negative customers. Firstly, equations for steady-state probability are given by the Markov process method. Subsequently, by using matrix theory, the matrix form solution of steady-state probability is derived; some performance indicators of the system such as the steady-state average queue length, waiting queue length in the system are also obtained. Finally, the effects of the system parameters on the expected queue length are investigated by numerical simulation.

negative customers; renege; feedback; multiple working vacations; matrix-geometric solution

2016-09-26

王莉(1980-)，女，山東武城人，講師， 在讀碩士，主要從事排隊(duì)論等研究。

O

A

1009-7961(2017)01-0095-06