嵇紹春， 錢樹華

(淮陰工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 淮安 223003)

一類脈沖積分微分包含的Lipschitz擾動(dòng)

嵇紹春， 錢樹華

(淮陰工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 淮安 223003)

利用Nadler不動(dòng)點(diǎn)定理，討論了一類具有積分條件和非局部條件的脈沖微分包含問題。本文主要使用多值分析和多值映射不動(dòng)點(diǎn)定理，在Lipschitz條件下給出微分包含系統(tǒng)解的存在性結(jié)論，改進(jìn)了相關(guān)結(jié)果。

微分包含；脈沖條件；解的存在性

0 引言

微分方程一般用來描述確定性系統(tǒng)，但在一些經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象和控制理論中總會(huì)存在不確定現(xiàn)象，此時(shí)微分包含(也稱為多值微分方程)成為研究這類問題的有效模型，見文獻(xiàn)[1,2]。近些年，微分包含已發(fā)展成多種類型，如發(fā)展型微分包含、脈沖型微分包含和中立型微分包含等[3-5]，其中文獻(xiàn)[5]以非緊性測(cè)度為工具，研究了非緊半群條件下脈沖微分包含解的存在性。本文通過多值映射不動(dòng)點(diǎn)定理，討論一類具有脈沖條件和非局部條件的積分微分包含在Lipschitz條件下解的存在性。

具體地,在實(shí)Banach空間中X討論如下脈沖微分包含的初值問題:

u'(t)∈A(t)u(t)+F(t,u(t),Gu(t)),t∈[0,b],t≠tk,

△u(tk)=u(tk+0)-u(tk)=Ik(u(tk)),

(1)

u(0)=g(u),

K∈C(D,R+)(從集合D=(t,s)∈R2:0≤s≤t到正實(shí)數(shù)集R+的連續(xù)函數(shù)全體)。

1 預(yù)備知識(shí)

SF(u)={f∈L1([0,b];X):f(t)∈F(t,u(t),Gu(t)),a.e.t∈[0,b]}。

令X,Y是拓?fù)淇臻g，記P(Y)={A?Y:A是非空的}，Pkv(Y)={A?Y:A是非空的凸閉集}。若算子F的F圖graph(F)={(x,y):y∈F(x)}是X×Y的閉子集,則稱F是閉算子。

定義1[6]一個(gè)雙參數(shù)算子族{U(t,s),t,s∈△}，△={(t,s)∈[0,b]×[0,b]:0≤s≤t≤b}，U(t,s):X→X是有界線性算子，如果滿足以下兩條：

(1)U(s,s)=I,U(t,r)∪(r,s)=U(t,s)，其中0≤s≤r≤t≤b；

(2)(t,s)→U(t,s)在△上是強(qiáng)連續(xù)的。

則稱{U(t,s),t,s∈△}是一個(gè)發(fā)展系統(tǒng)。

定義2 若函數(shù)u∈PC([0,b];X)，且滿足積分方程

其中f∈SF(u),t∈[0,b],則稱u是方程的適度解。

2 主要結(jié)果

在算子F,g,Ik是Lipschitz連續(xù)的條件下討論系統(tǒng)(1)的適度解。回顧集合A,B間的Hausdorff距離：

dH(A,B):=max{supa∈Ad(a,B),supb∈Bd(A,b)}。

其中d(a,B)=inf{d(a,b):b∈B},d(A,b)=inf{d(a,b):a∈A}。

作出以下假設(shè):

(H1) 算子A(t)生成一個(gè)發(fā)展系統(tǒng){U(t,s),t,s∈△}，且supt,s∈△U(t,s)=M。

(H2)F:[0,b]×X×X→Pkv(X)滿足

(i)F是Caratheodory上半連續(xù)的,即?x,y∈X,映射F(x,y):[0,b]→Pkv(X)決定一個(gè)強(qiáng)可測(cè)選擇;對(duì)a.e.t∈[0,b],集值映射F(t,·,·):X×X→Pkv(X)是上半連續(xù)的。且對(duì)任意的u,SF(u)是非空的。

(ii) 存在常數(shù)l1,l2>0，使得

dH(F(t,x1,y1)),F(t,x2,y2))≤l1‖x1-x2‖+l2‖y1-y2‖。

(H4)Ik:X→X是連續(xù)函數(shù)且存在常數(shù)l3>0,使得對(duì)任意x,y∈X,k=1,…,m,有‖Ik(x)-Ik(y)‖≤l3‖x-y‖;

(H5)g:PC([0,b];X)連續(xù)，且存在l4>0,使得‖g(u)-g(v)‖≤l4‖u-v‖∞,u,v∈PC([0,b];X)。

引理1[7]令X是Banach空間，F(xiàn)是多值映射且滿足條件(H2)(i)。設(shè)算子Γ:L1([0,b];X)→C([0,b];X)是線性且連續(xù)的，則

?！鉙F:C([0,b];X)→Pkv(C[0,b];X))，

x→?！鉙F(u):=?！?SF(u)),是空間C([0,b];X)×C([0,b];X)中的閉圖算子。

定理1 若假設(shè)H1～H5成立, 則脈沖積分微分包含問題(1)在條件

bl1+bl2k*+ml3+l4<1

(2)

成立時(shí), 一定有適度解。

算子K的不動(dòng)點(diǎn)就是方程(1)的解，下面用Nadler不動(dòng)點(diǎn)定理證明這一結(jié)論。

首先，證明K是閉圖算子，且對(duì)任意的u∈PC([0,b];X),Ku具有凸閉值。設(shè)u∈PC([0,b];X)，對(duì)任意的v1,v2∈Ku存在f1,f2∈SF(u)，使得t∈[0,b]時(shí)，

對(duì)λ∈[0,1]，

由SF(u)是凸集，因此λv1+(1-λ)v2∈Ku,即Ku有凸值。

下面證明K是閉圖算子，即graph(K)是閉集。令

(3)

此時(shí)，考慮廣義的Cauchy算子Γ：L1([0,b];X)→C([0,b];X)，

顯然Γ是線性且連續(xù)的算子。由引理1可知Γ°SF(·)是閉圖算子。因?yàn)?/p>

vn(·)-U(·,0)g(un)-∑0

且un→u,vn→v,由?！鉙F(·)是閉圖算子可得，

v(·)-U(·,0)g(u)-∑0

于是存在f∈SF(u)，使得

下面證明K是壓縮映射。令u1,u2∈PC([0,b];X),v1∈Ku1，則存在h1∈SF(u1)使得

由假設(shè)(H2)，(H3)，

dH(F(t,u1(t),Gu1(t)),F(t,u2(t),Gu2(t)))≤l1‖u1(t)-u2(t)‖+l2‖Gu1(t)-Gu2(t)‖≤(l1l2k*)‖u1-u2‖∞。

再由假設(shè)(H2)和選擇定理可知，存在可積函數(shù)h2∈F(t,u2(t),Gu2(t))，使得

‖h1(t)-h2(t)‖≤(l1l2k*)‖u1-u2‖∞。

≤Ml4‖u1u2‖+Mb(l1+l2k*)‖u1-u2‖+mMl3‖u1-u2‖∞

≤M(bl1bl2k*+ml3+l4)‖u1-u2‖∞

交換v1,v2的位置，可得

dH(Ku1,Ku2)≤M(bl1+bl2k*+ml3+l4)‖u1-u2‖∞。

根據(jù)條件(2)可知K是壓縮映射，于是由著名的Nadler不動(dòng)點(diǎn)定理[8]得到，K有不動(dòng)點(diǎn)，此不動(dòng)點(diǎn)就是微分包含問題(1)的解。證明結(jié)束。

[1]AubinJP,CellinaA.DifferentialInclusions:Set-valuedmapsandViabilityTheory[M].Berlin-Heidelberg-NewYork-Tokyo:Springer-Verlag,1984.

[2]BenchohraM,HendersonJ,NtouyasSK.ImpulsiveDifferentialEquationsandInclusions[M].NewYork:HindawiPublishingCorporation, 2006.

[3]CardinaliT,RubbioniP.Ontheexistenceofmildsolutionsofsemilinearevolutiondifferentialinclusions[J].JMathAnalAppl,2005(2):620-635.

[4]JiSC,LiG.Existenceresultsforimpulsivedifferentialinclusionswithnonlocalconditions[J].ComputMathAppl, 2011(2):1908-1915.

[5] 嵇紹春,李剛.脈沖型算子微分包含解的存在性[J].揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版, 2015(4):24-27.

[6]PazyA.SemigroupsofLinearOperatorsandApplicationstoPartialDifferentialEquations[M].NewYork:Springer-Verlag,1983.

[7]ThiemsH.IntegratedsemigroupandintegralsolutionstoabstractCauchyproblem[J].JMathAnalAppl,1990,152:416-447.

[8]NadlerNB.Multi-valuedcontractionmappings[J].PacificJMath,1969(2):475-488.

(責(zé)任編輯：孫文彬)

A Class of Impulsive Integro-differential Inclusions with Lipschitz Perturbations

JI Shao-chun, QIAN Shu-hua

(Faculty of Mathematics and Physics, Huaiyin Institute of Technology, Huai'an Jiangsu 223003, China)

By using Nadler's fixed point theorem, a class of impulsive differential inclusions with integral conditions and nonlocal conditions is discussed. The main methods are multivalued analysis and multivalued fixed point theorem. Some existing results of differential inclusions are given under Lipschitz conditions, which extend the existing results.

differential inclusions; impulsive conditions; existence of solutions

2016-09-26

江蘇省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(BK20150415)；國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11601178)

嵇紹春 (1981- )，男，江蘇淮安人，副教授，博士，主要從事非線性分析與泛函分析的研究。

O175.15

A

1009-7961(2017)01-0085-04