廣東省惠州市第一中學(xué) (516007) 方志平

例談平面向量中幾種解題技巧

廣東省惠州市第一中學(xué) (516007) 方志平

由于平面向量融數(shù)、形于一體，它既有一套良好的代數(shù)運(yùn)算法則，又有直觀形象的圖形特征，因而使得平面向量成為研究數(shù)與形的一種有效工具，其思想方法獨(dú)樹(shù)一幟，內(nèi)涵深邃.又因?yàn)槠矫嫦蛄繂?wèn)題的靈活多變，所以很多中學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)覺(jué)得困難較大，甚至感到無(wú)從下手.基于這些本文借用一些典例淺談平面向量中幾種解題技巧，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考.

1.利用向量的分解與合成解題

A. 直角三角形B. 等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

2.引用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題

A．13B．15C．19D．21

圖1

點(diǎn)評(píng)：這里引用了向量的坐標(biāo)思想，即用向量的坐標(biāo)來(lái)揭示二維平面上幾何元素的屬性和彼此間的關(guān)系，將條件和結(jié)論有機(jī)的聯(lián)系起來(lái).向量的坐標(biāo)是將幾何問(wèn)題用代數(shù)手段來(lái)解決的重要工具，同時(shí)，坐標(biāo)的運(yùn)用極大地方便了計(jì)算和論證.

3.巧用向量的一組基底解題

圖2

4.使用三點(diǎn)共線解題

圖3

5.妙用向量實(shí)數(shù)化解題

圖4

6.構(gòu)造圖形解題

圖5

點(diǎn)評(píng)：由于向量兼具代數(shù)和幾何的諸多特性,使之成為溝通數(shù)與形的樞紐,本題正是根據(jù)這一特點(diǎn)，結(jié)合題設(shè)條件構(gòu)造特殊圖形進(jìn)行求解.

7.活用向量的數(shù)量積變形公式解題

8.運(yùn)用向量的平行關(guān)系解題

圖6

9.采用向量的垂直關(guān)系解題

點(diǎn)評(píng)：由于本題是一道填空題，故也可使用特殊值法求解，即ΔABC可視為等腰直角三角形，則O是斜邊AB的中點(diǎn)，垂心H是直角頂點(diǎn).也很容易得出答案.另外，一般處理涉及向量垂直問(wèn)題的常用方法是利用向量數(shù)量積等于零或建立直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.

綜上，平面向量是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一個(gè)新生內(nèi)容，它的引入給中學(xué)數(shù)學(xué)帶來(lái)了無(wú)限的生機(jī)，也給中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)帶來(lái)了挑戰(zhàn).近些年來(lái)高中各類考試出現(xiàn)了不少以平面向量為載體的選擇題或填空題，這類問(wèn)題“小巧玲瓏”，內(nèi)容豐富，方法靈活，具有一定的綜合性.上述例析的僅是平面向量解題技巧中的冰山一角，本文旨在起拋磚引玉作用，期望讀者能夠觸類旁通.