廈門(mén)大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) (363123) 田富德

看山是山，看山不是山，看山仍是山*
——極值點(diǎn)偏移問(wèn)題再探究

廈門(mén)大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) (363123) 田富德

宋代禪宗大師青原行思提出參禪的三重境界：參禪之初，看山是山，看水是水；禪有悟時(shí)，看山不是山，看水不是水；禪中徹悟，看山仍是山，看水仍是水.

其實(shí)數(shù)學(xué)解題，特別是數(shù)學(xué)壓軸題亦是這三重境界.本文以極值點(diǎn)偏移問(wèn)題為例談解數(shù)學(xué)壓軸題的三重境界.

極值點(diǎn)偏移問(wèn)題近幾年倍受命題者的青睞，在各省市高考題、模擬題頻繁出現(xiàn)，在2016年高考全國(guó)卷壓軸題亦為極值點(diǎn)偏移問(wèn)題.極值點(diǎn)偏移問(wèn)題能成為高考考查的熱點(diǎn)，是因?yàn)檫@類(lèi)問(wèn)題能較好考查學(xué)生的邏輯推理能力、數(shù)據(jù)處理能力、轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)與方程思想等.

例1 已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2，a為常數(shù).

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2，證明：x1x2>e.

只需證g(t)>0，證明略.

以上證明是常見(jiàn)的利用零點(diǎn)消參的換元解法.初看此題第(Ⅱ)問(wèn)，具備了極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的主要特征：其一，條件為雙零點(diǎn)；其二，證明與兩零點(diǎn)有關(guān)的不等式.看山是山，我們卻不好用極值點(diǎn)偏移解題策略解此題.

我們注意到極值點(diǎn)偏移是研究?jī)闪泓c(diǎn)和的有關(guān)不等式，而本題則是研究?jī)闪泓c(diǎn)積的有關(guān)不等式，故我們自然將問(wèn)題“x1x2>e”轉(zhuǎn)化為“l(fā)nx1+lnx2>1”.但此時(shí)已轉(zhuǎn)化為兩零點(diǎn)的對(duì)數(shù)和有關(guān)的不等式，亦不能看作極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，看山不是山！

然而lnx1、lnx2亦可成為另一個(gè)函數(shù)的兩零點(diǎn)，故我們可嘗試換元將此題轉(zhuǎn)化為極值點(diǎn)偏移問(wèn)題.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2，其中a>0，證明：x1+x2<-ln2a.

解：(Ⅰ)略；

g″(x)=-4ae2x單調(diào)遞減.

說(shuō)明:本例解答在構(gòu)造函數(shù)p(x)時(shí)，并未將g(x)的表達(dá)式代入，而是對(duì)函數(shù)p(x)進(jìn)行抽象處理，在一定程度上減少了求導(dǎo)計(jì)算量.此法適用于構(gòu)造函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)較為復(fù)雜，求導(dǎo)不好判斷正負(fù)，但要求g″(x)在定義范圍內(nèi)是單調(diào)的.

我們便可得到如下試題：

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2，其中a>0，證明：1

例3的結(jié)論是通過(guò)放縮而得到的，其中x1+x2>1的證明可以直接利用極值點(diǎn)偏移策略解題，亦為證明x1+x2<-2ln2a-1做好鋪墊作用.

例4 已知函數(shù)f(x)=alnx-x，g(x)=x2-(1-a)x-(2-a)lnx，其中a∈R.

(Ⅰ)若g(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(Ⅱ)若函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的圖像交x軸于A,B兩點(diǎn)，A,B的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0，問(wèn)F(x)的圖像在點(diǎn)(x0,F(x0))處的切線能否平行于x軸？

分析：連續(xù)函數(shù)若有唯一極值點(diǎn)，那僅該極值點(diǎn)上所在位置的切線方能平行于x軸.題問(wèn)點(diǎn)(x0,F(x0))處的切線能否平行于x軸，換句話說(shuō)x0是否為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)是否偏移.設(shè)函數(shù)的極值點(diǎn)為m，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m是否等于x0，若有偏移，則只需證x0>m或x0

解：(Ⅰ)a≥2；

當(dāng)x∈(0,m)時(shí)，F(xiàn)′(x)>0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(m,+∞)時(shí)，F(xiàn)′(x)<0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減.

結(jié)合(*)，知x0不是極值點(diǎn)，故點(diǎn)(x0,F(x0))處的切線不能平行于x軸.

說(shuō)明:本題的其他證法在本文略去，從表面看，本題與極值點(diǎn)偏移無(wú)關(guān)，深入分析亦為極值點(diǎn)偏移問(wèn)題.所謂看山是山，看山不是山，看山還是山.即要對(duì)題設(shè)深入分析其本質(zhì)，便可看山是山，看水是水.

學(xué)數(shù)學(xué)，要在壓軸題上有所突破，必須建立起已知和未知的聯(lián)系，建立起基本題型與創(chuàng)新題型的聯(lián)系，做好基本方法和基本策略在創(chuàng)新試題遷移，弄清試題的多角度本質(zhì)，每一個(gè)角度都可以是一種解題方法.

[1]刑友寶.極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的處理策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2014(7)：19-22.

[2]賴淑明.極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的另一本質(zhì)回歸[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2015(4)：49-51.

[3]田富德.以拐點(diǎn)偏移為背景的函數(shù)導(dǎo)數(shù)試題命制[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西師大)：2016(2)：10-13.

[4]田富德.一道模擬題的加強(qiáng)與改編[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西師大)：2016(4)：12-14.

* 注：本文系2015年度漳州市基礎(chǔ)教育課程教學(xué)研究立項(xiàng)課題《高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)現(xiàn)狀與優(yōu)化》階段性研究成果.