湖北省房縣二中 (442100) 姚家成

對阿波羅尼斯圓的探究和應(yīng)用

湖北省房縣二中 (442100) 姚家成

對典型問題的探究能夠更進一步揭示問題的本質(zhì)，使我們獲得更好的解決問題的方法.例如高中數(shù)學(xué)人教A版必修2有這樣兩道相關(guān)習(xí)題：

2.(第144頁B組第2題)已知點M與兩個定點M1,M2的距離的比是一個正數(shù)m,求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形(考慮m=1和m≠1兩種情形).

這兩個問題是從特殊到一般進行探究，可以得到一個結(jié)論：平面內(nèi)與兩個定點的距離之比為不等于1的正數(shù)的點的軌跡是一個圓.這樣的圓被稱為阿波羅尼斯圓(以下簡稱阿圓或定圓)，有很多高考題是以它為背景命制的，在教學(xué)中進行一些相關(guān)的探究是很有必要的.

一、對一般情況的簡解

(1)當(dāng)m=1時，圖形為直線x=0；

二、從幾何的角度進一步探究

這個問題值得探究的魅力就在確定性與任意性的辨證統(tǒng)一，定點和比值是確定的，圓的存在性是確定的，而圓上點的位置是任意的.定點、比值和圓是相伴共生，互為依存的，它們之間必有聯(lián)系.因為在通常情況下我們看到一個圓，只是關(guān)注到它的圓心和半徑，這兩個定點和比值是隱藏著的.從變化中尋找出不變的性質(zhì)，得到事物變化的規(guī)律，是我們思維的一種愛好.這里可能會想到下面的幾個問題.

1.這兩個定點和圓在位置上有什么關(guān)系，比值有沒有幾何意義？

2.當(dāng)圓和定點確定后，圓上的任意一點對于給定的兩個點所成的線段有沒有一個確定的比值？

3.當(dāng)圓和比值正常數(shù)確定后，能不能找到相應(yīng)的兩個定點？

∠MM1C=∠CMN.同理可得∠CM1N=∠CNM,所以

三、總結(jié)得出以下幾條結(jié)論

為了便于區(qū)分，我們不妨把阿波羅尼圓稱為定圓，可以理解為它是確定存在的；把M、C、N、M1這四個點所在的圓叫做伴生圓，可以理解為它是相對于定圓所生成的.因為M、N兩點具有任意性，所以伴生圓是以阿圓外的那個定點和阿圓的圓心為弦的無數(shù)個圓.

(1)兩定點和阿圓的圓心三點共線；

(2)兩定點必為一個在阿圓內(nèi)，另一個在阿圓外；

(3)過阿圓內(nèi)的那個定點任意作一條弦，弦的兩端點和阿圓的圓心以及阿圓外的那個定點這四個點共圓.

(4)以阿圓外的一個定點和阿圓的圓心為弦的圓與阿圓形成的公共弦必過在阿圓內(nèi)的那個定點.

四、結(jié)論的應(yīng)用

圖2

1.(2015年高考數(shù)學(xué)湖北卷理科第14題)如圖2，圓C與x軸相切于點T(1,0)，與y軸的正半軸交于兩點A、B(B在A的上方)，且|AB|=2.

(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ;

2.(2014年高考數(shù)學(xué)湖北卷文科第17題)已知圓O：x2+y2=1和點A(-2，0)，若定點B(b，0)(b≠-2)和常數(shù)λ滿足：對圓O上任意一點M，都有|MB|=λ|MA|，則(1)b= ；(2)λ= ．

圖3

(1)求橢圓E的方程；

圖4

以上探究了阿波羅尼斯圓中的兩個定點與動點的位置關(guān)系，特別是指出了定比值的一個幾何意義，給我們解決與此相關(guān)的問題帶來了很大的方便.這種利用課本中的題目進行探究得到一般性結(jié)論，進而解決高考中的較復(fù)雜的題目的方法，學(xué)生也是很感興趣的.