劉驍驍, 任興民, 陳 虎, 楊永峰, 鄧旺群, 任建亭

(1.西北工業(yè)大學(xué)力學(xué)與土木建筑學(xué)院 西安,710129) (2.中國航空動力機械研究所 株洲,412002)

恒速狀態(tài)移動質(zhì)量作用的柔性梁最優(yōu)振動控制*

劉驍驍1, 任興民1, 陳 虎1, 楊永峰1, 鄧旺群2, 任建亭1

(1.西北工業(yè)大學(xué)力學(xué)與土木建筑學(xué)院 西安,710129) (2.中國航空動力機械研究所 株洲,412002)

針對恒速狀態(tài)移動質(zhì)量作用下柔性梁的最優(yōu)振動控制方案進行研究分析。根據(jù)柔性梁振動理論，考慮移動質(zhì)量與柔性梁彈性振動之間的耦合作用，建立移動質(zhì)量-柔性梁時變系統(tǒng)的振動方程。當(dāng)移動質(zhì)量剛好離開梁時給出終端時刻點，超越終端時刻的梁作自動振動，建立時不變系統(tǒng)的振動方程。若將以往適用時不變系統(tǒng)的最優(yōu)控制方法應(yīng)用于時變系統(tǒng)，會導(dǎo)致次優(yōu)化效果。為此，采用多種控制設(shè)計方法對系統(tǒng)的振動響應(yīng)進行抑制，討論不同控制方案的優(yōu)缺性。數(shù)值結(jié)果表明：對于特定的作動器位置，有必要采用具有時變特征的控制方法替代時不變控制方法；相比時變控制方法，采用狀態(tài)相關(guān)的黎卡提方程(state-dependent riccati equation, 簡稱SDRE)控制方法得到的性能指標(biāo)最優(yōu)；基于增廣矩陣的線性二次型調(diào)節(jié)器(linear quadratic regulator,簡稱LQR)邊界控制效果優(yōu)于bang-bang控制，前者控制策略得到的性能指標(biāo)最優(yōu)。

移動質(zhì)量； 柔性梁； 振動； 最優(yōu)控制； 時變系統(tǒng)； 終端時刻

引 言

隨著尺寸和重量限制的加強，舒適性和安全性又難以同時達到滿足要求的情況下，柔性結(jié)構(gòu)的振動控制受到越來越多的關(guān)注?？刂圃O(shè)計方法通常希望能夠表征特定加載條件下結(jié)構(gòu)的動態(tài)行為。已有大量工作針對柔性結(jié)構(gòu)的不同控制方法及控制方案的可行性進行了研究[1-3]。常見的有模態(tài)控制方法[4]、基于線性二次型控制方法[5]、適用于對稱和非對稱系統(tǒng)的極點重置和極點相消算法[6-7]以及考慮系統(tǒng)不確定性的魯棒控制[8]。Deng等[9]提出將基于在線識別的模態(tài)控制方法運用于時變系統(tǒng)，并將已識別模態(tài)用于控制器的設(shè)計。

基于設(shè)計的線性二次型控制方法應(yīng)用較為普遍， 文獻[10]指出該方法容易降低對峰值響應(yīng)的抑制效果，研究了bang-bang控制器的適用性。Bang-bang開關(guān)控制只需提供極值控制力，相比隨著狀態(tài)變化的線性二次型控制器，該方法更具速效性。實際上，修正的線性二次型控制準(zhǔn)則有利于諸多目標(biāo)的控制。Kim等[11]提出基于設(shè)計的二次型性能指標(biāo)。針對最優(yōu)控制問題，文獻[12]提出了非二次型性能指標(biāo)。

移動質(zhì)量/荷載作用于梁是柔性結(jié)構(gòu)控制中的一種特殊例子，通常該類問題的研究有據(jù)可循。對于車輛通過橋梁或彈丸離開身管的過程，國內(nèi)學(xué)者將其簡化為移動質(zhì)量-梁模型進行分析[13-14]。在支撐結(jié)構(gòu)的特定方面，提出的某些減振方案是被動的[15-16]，但理論模型要求具有廣泛的實際應(yīng)用。一般基礎(chǔ)性的移動-載荷問題可參見文獻[17]。Sung[18]采用兩個壓電作動器對移動質(zhì)量作用下梁的振動進行控制，最優(yōu)二次型指標(biāo)泛函的最小值決定兩作動器的不同位置?；诙涡托阅苤笜?biāo)的梁-移動質(zhì)量控制問題參見文獻[19]，文獻中假定位移-速度反饋控制器的狀態(tài)變量具有完備信息，并基于時變矩陣的代數(shù)黎卡提方程設(shè)計該控制器。文獻[20]基于相同的性能指標(biāo)，設(shè)計一組恒定增益狀態(tài)反饋控制器，使彈性基礎(chǔ)梁的橫向撓度趨于最小化。文獻[21]采用具有功率流的主動控制器對移動載荷-梁的響應(yīng)進行抑制?；跁r不變黎卡提矩陣，Mofid等[22]研究了帶有壓電-陶瓷作動器的多移動質(zhì)量-梁最優(yōu)控制問題。

對于基礎(chǔ)性的動力系統(tǒng)控制問題可分為兩個子問題：a.當(dāng)移動質(zhì)量在梁上運動時，是與持續(xù)時間對應(yīng)的時變系統(tǒng)；b.移動質(zhì)量離開梁后的時不變系統(tǒng)。相比其他結(jié)構(gòu)控制問題，移動質(zhì)量-梁系統(tǒng)的第1子問題可使最優(yōu)控制理論更容易應(yīng)用。盡管該運動方程具有時變系數(shù)，但仍有線性優(yōu)勢，該方法的另一優(yōu)勢存在著移動質(zhì)量離開梁時的終端時刻。Naidu[23]指出此類最優(yōu)問題可轉(zhuǎn)化為固定的終端時刻問題。由于現(xiàn)有作動裝備的局限性，文獻[24]認為對控制力的幅值應(yīng)考慮約束條件。需要強調(diào)的是，一旦定義最優(yōu)控制問題，則最優(yōu)方案僅關(guān)于性能指標(biāo)最優(yōu)，但也許不是結(jié)構(gòu)工程師尋找的最優(yōu)方案。例如，線性二次型指標(biāo)在輸出理論上強調(diào)控制的重要性，但通常預(yù)先確定恒定增益矩陣，控制過程中可能考慮不到動力解決方案的所有方面；對于移動質(zhì)量-梁問題，若控制工程師對梁中跨響應(yīng)感興趣，當(dāng)移動質(zhì)量接近中跨時，會考慮采用能夠提高控制效果的時變性能指標(biāo)；當(dāng)移動質(zhì)量在作動點上方運動時，可考慮采用降低或增強控制作用的性能指標(biāo)。

對于一般基礎(chǔ)性的移動質(zhì)量-梁問題，普遍考慮時不變控制問題，筆者則針對存在的兩類子問題進行研究?；跁r變系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程，定義最優(yōu)控制問題，將其轉(zhuǎn)化為時變線性二次型問題，給出同時考慮狀態(tài)變量和控制變量的二次型性能指標(biāo)泛函，分析一系列最優(yōu)控制方法。將這些方法應(yīng)用于上述子問題，控制目標(biāo)定義為梁中跨撓度的最小值，通過控制目標(biāo)，對比幾種時變最優(yōu)控制方案的優(yōu)缺性，尋求關(guān)于性能指標(biāo)最優(yōu)的控制策略并盡可能接近最優(yōu)理論解。

1 理論方法

1.1 線性系統(tǒng)的最優(yōu)控制

對于受控的線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，時變狀態(tài)空間方程及給定的初始狀態(tài)為

(1)

其中：F(t)為輸入力向量。

當(dāng)處理移動質(zhì)量作用下柔性梁的控制問題時，控制目標(biāo)定義為特定位置下支承結(jié)構(gòu)的中跨撓度最小值。此外，由于實際的控制解決方案存在局限性，需對控制變量U(t)進行約束，即|U(t)|≤U。若系統(tǒng)輸出為y(t)=C(t)Z(t)，上述最優(yōu)控制問題可轉(zhuǎn)化為時變線性二次型問題，即同時考慮狀態(tài)變量與控制變量的二次型性能指標(biāo)函數(shù)為

(2)

基于極小值原理[25]，采用哈密頓函數(shù)確定最優(yōu)控制問題。最優(yōu)條件為

U(t)BT(t)λ*(t)≥U*(t)BT(t)λ*(t)

(3)

其中：λ*(t)為共態(tài)變量。

若區(qū)間[0,tf]內(nèi)不存在函數(shù)λ*(t)B(t)=0的子區(qū)間，則對于最優(yōu)控制問題，可尋求m維有界閉集中的最優(yōu)控制u*(t)，滿足不等式約束

|Ui(t)|≤U

(4)

應(yīng)用極小值原理，最優(yōu)控制問題可轉(zhuǎn)化為時間最優(yōu)控制問題，即bang-bang控制函數(shù)為

U*(t) = -Usign(BT(t)λ*(t))

(5)

同時可得極值必要條件及邊界條件為

根據(jù)式(5)～(7)，求得最優(yōu)控制力?U。bang-bang控制的優(yōu)點在于可直接使用被要求的最大控制力，可能會對振動響應(yīng)產(chǎn)生較好的控制效果。

當(dāng)控制變量受Umin≤U≤Umax約束時，可使性能指標(biāo)(2)達到最小控制力的表達式為

(8)

若控制變量無約束，與哈密頓函數(shù)相聯(lián)系的線性系統(tǒng)(1)關(guān)于控制變量逐點可微，最優(yōu)條件為

(9)

1.2 線性二次型調(diào)節(jié)器(LQR算法)

當(dāng)控制變量滿足二次型性能指標(biāo)(2)且無約束條件時，控制力在狀態(tài)變量Z(t)中為線性的

U(t)=-G(t)Z(t)=-R-1BTP(t)Z(t)

(10)

矩陣P(t)可通過黎卡提方程獲得

(11)

給定邊界條件為P(tf)=S。該方法的優(yōu)點允許控制通過狀態(tài)反饋函數(shù)表示，并將系統(tǒng)從開環(huán)控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)向閉環(huán)控制系統(tǒng)。狀態(tài)系統(tǒng)空間方程(8)可表示為

(12)

其中:F(t)包含了輸入擾動或外部作用力。

黎卡提方程可進行離線求解。采用該方法可考慮時變模態(tài)力，并計算隨時間變化的狀態(tài)變量Z(t)。

若控制變量U(t)受不等式|U(t)|≤U約束時，式(8)中λ(t)=P(t)Z(t)，進而基于LQR算法求解具有控制變量約束的狀態(tài)空間方程。

1.3 狀態(tài)相關(guān)的黎卡提方程

狀態(tài)相關(guān)的黎卡提方程是一種在線計算控制函數(shù)的方法[19]，可應(yīng)用在擬線性形式下的非線性系統(tǒng)

式(13)通過狀態(tài)反饋控制法則確定，每一時間步ti的控制函數(shù)為

U(ti)=-G(ti)Z(t)=-R-1BT(ti)P(ti)Z(t) (14)

P(ti)可通過狀態(tài)相關(guān)的黎卡提方程在每一時間步ti上求解并不斷在線更新

PA(ti)+A(ti)TP-PB(ti)R-1BT(ti)P+Q=0

(15)

2 移動質(zhì)量-梁系統(tǒng)的最優(yōu)振動控制

考慮移動質(zhì)量-梁系統(tǒng)的最優(yōu)振動控制問題時，系統(tǒng)的動力相互作用可在模態(tài)坐標(biāo)中進行，其中動力系統(tǒng)為時變系統(tǒng)。應(yīng)用以往時不變控制方法將會得到次優(yōu)化控制效果，盡管控制效果有所提高。該情況下采用適當(dāng)?shù)男阅苤笜?biāo)合成時變最優(yōu)方案體現(xiàn)出一定的優(yōu)勢，可讓控制工程師了解何種方案接近最優(yōu)。文中給定終端時間tf=L/v，提出解決時變最優(yōu)控制問題的方案。外部激勵函數(shù)與移動質(zhì)量m和移動速度v相關(guān)，通過狀態(tài)空間方程體現(xiàn)。

2.1 移動質(zhì)量-梁耦合系統(tǒng)的運動微分方程

假設(shè)任意時間t內(nèi)(t∈[0,tf])有一移動質(zhì)量m以恒等速度v在長度為L的梁上從左至右運行。假定無接觸耗損，采用歐拉-伯努利理論獲得耦合系統(tǒng)的運動微分方程為

(16)

其中:EI為梁的抗彎剛度；ρ為梁的單位長度質(zhì)量密度；A為梁的截面面積；δ為Dirac函數(shù)；g為重力加速度；c為阻尼系數(shù)。

選取梁的振型函數(shù)作為模態(tài)函數(shù)，采用模態(tài)疊加法對式(16)進行坐標(biāo)變換，變換形式為

w(x,t)=ΦT(x)q(t)

(17)

其中：Φ(x)為模態(tài)形狀函數(shù)向量；q(t)為模態(tài)坐標(biāo)向量。

將式(17)代入式(16)進行模態(tài)展開，將得到的等式兩端分別乘以Φ(x)并沿0到L積分，最終的微分方程寫成矩陣形式為

(18)

式(18)表示具有時變矩陣系數(shù)的一種動力耦合系統(tǒng)。其中:M(t)=M+ΔM(t)；C(t)=C+ΔC(t)；K(t)=K+ΔK(t);假定t≤0時系統(tǒng)是靜止的。

M,C和K為時不變矩陣，分別定義為

時變矩陣系數(shù)ΔM(t)，ΔC(t)及ΔK(t)分別為

當(dāng)移動質(zhì)量離開梁末端時，即t>tf，梁作自由振動，其動力系統(tǒng)方程為

(21)

2.2 移動質(zhì)量-梁耦合系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題

移動質(zhì)量作用下梁的最優(yōu)振動控制問題可劃分為兩個子問題：a.當(dāng)質(zhì)量在梁上移動時，控制問題為一時變最優(yōu)問題，用給定的終端時間確定，并采用最優(yōu)控制方法；b.當(dāng)質(zhì)量離開梁末端時，控制問題為一自由振動的時不變最優(yōu)控制問題，亦可采用LQR算法等控制方法解決該類問題。筆者給出的控制目標(biāo)為移動質(zhì)量作用下梁的中跨撓度最小值。若將k個控制器安裝在梁上指定的坐標(biāo)位置xr1,xr2,…,xrk，給定t≤tf條件的受控系統(tǒng)動力方程為

(22)

其中：Φ(xri)Ui可對式(22)起控制作用。

時變矩陣B(t)與作動器的位置相關(guān)，不僅影響設(shè)計過程，同時對系統(tǒng)的可控性產(chǎn)生一定的影響。此外，對撓度響應(yīng)的控制需權(quán)重矩陣Q和R，Q和R的選取有時會影響控制力U(t)，從而影響對振動的控制效果。當(dāng)控制準(zhǔn)則確定，移動質(zhì)量問題的另一特殊性可以考慮激振力mgΦ(vt)，則式(23)可增廣為

3 數(shù)值算例

為評估二次型性能指標(biāo)及其對結(jié)構(gòu)最優(yōu)問題的適用性，將最優(yōu)控制方法應(yīng)用在恒速狀態(tài)移動質(zhì)量作用的單跨簡支梁上，通過理論驗證是否可使撓度響應(yīng)最小化。車-橋系統(tǒng)及彈-炮系統(tǒng)等均可簡化為移動質(zhì)量-梁模型[13-14,26]。幾何尺寸和動力特征為：梁跨度L=1 m，抗彎剛度EI=3.68 Nm2,單位長度質(zhì)量ρA=0.22 kg/m，阻尼系數(shù)c=1.6,移動質(zhì)量m=0.5 kg，恒速v=2 m/s，恒定的終端時刻tf=0.5 s,如圖1所示。對于筆者給出的單跨簡支梁，其第i階模態(tài)為

圖1 具有作動器的單跨簡支梁(安裝在梁的兩端xr1和xr2)Fig.1 A single span simply supported beam with two actuators positioned on both sides of the beam at locations xr1 and xr2

(25)

以下分析取簡支梁的前兩階模態(tài)計算梁的中跨撓度，并通過撓度時程曲線的減小幅度評估不同控制方法的控制效果。例如，采用不同水平的控制力Ui(t)降低同階內(nèi)的撓度振幅，若控制力絕對水平相對較低，則相應(yīng)的設(shè)計方法應(yīng)予以考慮。

3.1 恒速狀態(tài)移動質(zhì)量作用的柔性梁振動響應(yīng)

當(dāng)移動質(zhì)量以恒等速度在梁上運行時，可通過式(18)求解梁中跨撓度響應(yīng)，此時為時變動力響應(yīng)問題。當(dāng)移動質(zhì)量離開梁后(t>tf)，梁作自由振動，由式(21)可求解時不變動力響應(yīng)問題。文中柔性梁的一階固有頻率為40 rad/s，二階、三階與四階頻率分別為160,360和640 rad/s。圖2為移動質(zhì)量作用在梁上和離開梁后的中跨撓度響應(yīng)時程曲線。可以看出，超過前兩階模態(tài)不足以增加柔性梁撓度響應(yīng)的精度，取一階和二階模態(tài)時，梁的撓度響應(yīng)基本一致，從而驗證了筆者取前兩階模態(tài)的合理性。圖2顯示終端時刻tf=0.5 s，當(dāng)t≤tf時，即移動質(zhì)量作用在梁上時可使梁產(chǎn)生最大撓度響應(yīng)振幅為0.096 cm，當(dāng)超過終端時刻tf時，即移動質(zhì)量離開梁后，依然存在自由振動，最大響應(yīng)振幅不斷衰減。

圖2 無控狀態(tài)下的梁中跨撓度響應(yīng)Fig.2 Mid-span deflection of the beam at uncontrolled condition

3.2 無約束的控制變量

應(yīng)用所提控制方法求解式(22)在給定t≤tf條件時的撓度響應(yīng)；當(dāng)t>tf時梁作自由振動，可采用基于線性二次型控制問題的控制函數(shù)求解時不變部分?？刂坪瘮?shù)u(t)=-GZ(t)，恒定增益控制矩陣G可通過時不變矩陣系數(shù)得到

通過式(26)控制梁自由振動時的撓度響應(yīng)，梁自由振動時刻為tf～2L/v。將兩個作動器分別安裝在梁上指定位置xr1=0.16 m和xr2=0.78 m，如圖1所示，筆者考慮所設(shè)控制器對梁中跨位置x=L/2時的撓度響應(yīng)產(chǎn)生影響。根據(jù)實際建造的必要性，兩作動器有時可安裝在梁的同一端xr1=0.10 m和xr2=0.153m或梁末端xr1=0.70 m和xr2=0.81 m處。

定義二次型性能指標(biāo)中的誤差和控制權(quán)重矩陣Q=diag(1 000,100,10,10) 和R=diag(0.9,0.9)，計算恒定增益控制矩陣G(xr1,xr2)，采用時不變線性二次型公式求解式(22)。對于時變系統(tǒng)，增益矩陣G(xr1,xr2,t)=-R-1BT(xr1,xr2)P(t)具有時變性，可以反解黎卡提方程求解P(t)。此外，求解P(t)時給定的邊界條件P(tf)=S可采用李雅普諾夫方程獲得。圖3為基于時不變線性二次型控制和無控系統(tǒng)的中跨撓度響應(yīng)時程曲線，設(shè)計的控制器在梁上指定的位置xr1=0.16 m和xr2=0.78 m?？梢钥闯觯?dāng)移動質(zhì)量作用在梁上時，采用時不變控制對梁撓度響應(yīng)進行控制后的最大響應(yīng)振幅為0.040 5 cm，控制效果為57.81%；移動質(zhì)量離開梁后作自由振動時的響應(yīng)控制效果依然顯著。以上結(jié)果表明，時不變控制方法對梁撓度響應(yīng)的抑制具有一定的效果。

圖3 時不變控制與無控狀態(tài)下的中跨撓度Fig.3 Mid-span deflection of the beam under time- invariant control and uncontrolled condition

圖4為不考慮移動質(zhì)量的時變控制、考慮移動質(zhì)量的時變控制與時不變控制方法獲得的中跨撓度曲線。可以看出：采用式(23)的時變控制方法得到的撓度振幅峰值為0.036 3 cm，控制效果為62.19%；采用時不變控制方法得到的撓度振幅峰值為0.040 5 cm，控制效果為57.81%；采用式(24)的時變控制方法得到的撓度振幅峰值為0.020 6 cm，控制效果為78.54%。結(jié)果表明：當(dāng)作動器在梁的兩端時，時變控制方法的整體優(yōu)勢不明顯；采用考慮移動質(zhì)量的時變控制方法可以使控制目標(biāo)效果最佳，此時該最優(yōu)方案關(guān)于性能指標(biāo)是最優(yōu)的。

圖4 未考慮移動質(zhì)量時變控制、考慮移動質(zhì)量時變控制與時不變控制下的中跨撓度Fig.4 Mid-span deflection of the beam under time-dependent control without considering moving mass, time-dependent control with considering moving and time-invariant control

此外，控制權(quán)重系數(shù)矩陣R對時變控制方法的控制效果起一定的影響作用。圖5為權(quán)重矩陣R不同時的梁中跨撓度響應(yīng)。從圖5看出，相對控制權(quán)重系數(shù)取R=diag(0.9,0.9)時，控制權(quán)重系數(shù)矩陣取R=diag(9,9)會降低控制效果。結(jié)果表明：為考慮控制器的作用效果，權(quán)重系數(shù)R的取值應(yīng)在適當(dāng)范圍內(nèi)足夠小。

圖5 權(quán)重矩陣R不同時的梁中跨撓度響應(yīng)Fig.5 Mid-span deflection of the beam for different R

若兩作動器有時需要安裝在梁的同一側(cè)，時不變增益控制器G(xr1,xr2)與時變增益控制器G(xr1,xr2,t)之間的差異變得更加重要，系統(tǒng)與時間相關(guān)的特性不可忽略，如圖6所示。圖6(a)為作動器全部安裝在梁左側(cè)時不同最優(yōu)控制方法獲得的控制效果。圖6(b)為作動器均安裝在右側(cè)時不同控制方法獲得的控制效果?？梢钥闯?，同時安裝在右側(cè)的控制器能夠使控制目標(biāo)性能最佳，而考慮移動質(zhì)量的時變最優(yōu)控制方案無疑是最佳的。限于篇幅要求，表1僅給出作動器位置對時變控制方法(考慮激振力)的影響?？梢钥闯?，若考慮實際建造的必要性，作動器同時放在右側(cè)位置，控制效果為最佳且作動器出力絕對水平相對穩(wěn)定。

采用SDRE求解時變增益控制器G(xr1,xr2,t)時，需對矩陣P(ti)實時在線更新。圖7為SDRE控制與考慮移動質(zhì)量(激振力)的時變控制獲得的中跨撓度曲線。可以看出，SDRE可以使受控系統(tǒng)的最大振幅響應(yīng)達到最佳控制效果，相比考慮移動質(zhì)量的時變控制方案，該方案性能指標(biāo)最優(yōu)。作動器位置一定時(xr1=0.16,xr2=0.78)，各種控制方法的控制力U1和控制力U2在0～0.5 s內(nèi)的時程曲線如圖8所示。

圖6 兩作動器安裝位置Fig.6 Two actuators position

不同作動器位置最小撓度下限/cm無控有控控制效果/%最小控制力下限/NU1U21-0.0901-0.020876.91-1.3144-1.67812-0.0901-0.028868.04-1.8630-3.93163-0.0901-0.015482.91-0.7437-0.4097

1:xr1=0.16，xr2=0.78;2:xr1=0.1，xr2=0.153;3:xr1=0.7，xr2=0.81

圖7 考慮激振力的時變控制與SDRE控制的中跨撓度響應(yīng)Fig.7 Time-dependent with considering moving force and SDRE control for mid-span deflection

圖8 不同控制方法Fig.8 Control forces of different control methods

3.3 具有約束的控制變量

數(shù)值分析結(jié)果均基于控制力無約束情況下獲得，從數(shù)學(xué)角度看，無約束條件可使關(guān)于控制變量的哈密頓函數(shù)逐點可微并允許黎卡提方程的使用，從而對系統(tǒng)產(chǎn)生反饋控制。由于現(xiàn)有作動解決方案的局限性，實際情況下需要對控制作用施加邊界約束條件。根據(jù)控制力最大上限振幅約為2 N(只考慮作動器安裝在梁兩端的情況)，這里尋求一種控制力約束條件，達到類似的控制效果。首先，根據(jù)提出的bang-bang控制方法，給出控制變量的約束條件|Ui(t)|<1.1；其次，基于式(2)，采用含有邊界約束控制力的式(8)計算。上述最優(yōu)控制方法需要解決兩點邊值問題，式(5)的不連續(xù)性使式(1)和(6)雅克比矩陣為非凡的。圖9(a)為控制力約束條件|Ui(t)|<1.1時，bang-bang控制方法和無控下的撓度時程曲線?？梢钥闯觯吔缈刂埔廊痪哂辛己玫目刂菩Ч?。此外，從撓度振幅峰值下限的控制效果角度出發(fā)，基于增廣矩陣的LQR邊界控制方法的控制效果為77.25%，基于bang-bang控制方法的控制效果為77.47%，兩種最優(yōu)方法的控制效果相近，但若是在梁的自由振動階段，基于增廣矩陣的LQR邊界控制效果優(yōu)于bang-bang控制的控制效果，如圖9(b)所示。由此可知：考慮到實際作動器設(shè)備存在局限性，控制工程師選取基于增廣的邊界控制方案可達到最佳控制效果。值得注意的是，邊界控制方法中的共態(tài)變量λ(t)需要進行離線計算后代入系統(tǒng)，但獲得的系統(tǒng)為開環(huán)控制系統(tǒng)。作動器位置一定時(xr1=0.16,xr2=0.78)，這兩種控制方法的控制力U1和U2在0～0.5 s內(nèi)的時程曲線如圖10所示。不同控制方法的控制效果、最大控制力上限和撓度峰值下限如表2所示。

圖9 中跨撓度響應(yīng)Fig.9 Mid-span deflection

圖10 Bang-bang控制和基于增廣矩陣的LQR邊界控制Fig.10 Control forces of bang-bang and bounded LQR control with augmented matrix

控制方案最小撓度下限/cm無控有控控制效果/%最小控制力下限/NU1U21-0.0901-0.039156.601.60622.39362-0.0901-0.037058.931.46582.26273-0.0901-0.020976.801.34071.99874-0.0901-0.020876.911.21941.67245-0.0901-0.020377.471.11.16-0.0901-0.020577.251.11.1

1為時不變控制;2為無增廣時變控制;3為有增廣時變控制;4為SDRE控制;5為bang-bang控制;6為有增廣LQR邊界控制

4 結(jié)束語

基于一般基礎(chǔ)性的移動-載荷問題，研究了恒速狀態(tài)移動質(zhì)量作用的柔性梁最優(yōu)振動控制問題?；跔顟B(tài)變量和控制變量的線性二次型性能指標(biāo)，給出線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程。將最優(yōu)控制問題劃分為時變與時不變最優(yōu)問題，根據(jù)實際要求，通過數(shù)值模擬比較多種最優(yōu)控制方法的優(yōu)缺性。對于特定的作動器位置，應(yīng)當(dāng)考慮采用具有時變特征的控制方法替代時不變控制方法。SDRE求解時變增益矩陣G(xr1,xr2,t)時，可隨著時間步ti不斷對矩陣P(ti)更新，與時變控制方法相比，SDRE控制方案的性能指標(biāo)最優(yōu)。文中較為復(fù)雜的邊界最優(yōu)控制問題需要系統(tǒng)為開環(huán)系統(tǒng)，給定控制變量不等式約束條件，考慮兩點邊界值問題，采用黎卡提方程求解時變系統(tǒng)矩陣。結(jié)果表明：梁作自由振動時，基于增廣的LQR邊界控制效果優(yōu)于bang-bang控制，從實際角度出發(fā)，前者方案不僅關(guān)于性能指標(biāo)最優(yōu)，也是控制工程師感興趣的最佳控制方法。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.01.020

*航空科學(xué)基金資助項目(2013ZB08001)；國家自然科學(xué)基金資助項目(11272257);陜西省自然科學(xué)基金資助項目(2014JM6220)；西北工業(yè)大學(xué)研究生創(chuàng)意創(chuàng)新種子基金資助項目(Z2015084)

2015-10-04；

2016-01-11

TH113; O32; O302

劉驍驍，男，1989年12月生，博士生。主要研究方向為復(fù)雜結(jié)構(gòu)抗震減震及系統(tǒng)確定和不確定性振動控制。曾發(fā)表《基于β-二項分布的結(jié)構(gòu)易損性分析》(《計算力學(xué)學(xué)報》2014年第31卷第6期)等論文。 E-mail: xxliu1989@163.com 通信作者簡介：任興民，男，1960年10生，教授、博士生導(dǎo)師。主要研究方向為轉(zhuǎn)子動力學(xué)、航空發(fā)動機振動及振動主動控制。 E-mail: renxmin@nwpu.edu.cn