任志英， 林有希， 黃健萌， 肖維軍， 高誠(chéng)輝

(1.福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院 福州，350108) (2.福建福光股份有限公司 福州， 350015)

一種光學(xué)元件表面中頻誤差提取的新方法*

任志英1， 林有希1， 黃健萌1， 肖維軍2， 高誠(chéng)輝1

(1.福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院 福州，350108) (2.福建福光股份有限公司 福州， 350015)

光學(xué)元件表面面形誤差屬于非平穩(wěn)空間信號(hào)，為了在分離光學(xué)元件表面各頻段面形誤差的同時(shí)盡可能保留原始信號(hào)各頻段的細(xì)節(jié)特征，結(jié)合超精密拋光的球面光學(xué)元件表面特點(diǎn)，提出一種基于雙樹(shù)復(fù)小波變換(dual tree complex wavelet transform，簡(jiǎn)稱(chēng)DT-CWT)的自適應(yīng)分離法。利用DT-CWT的多分辨分析、方向性好和良好的時(shí)頻局部化分析能力等特點(diǎn)，對(duì)實(shí)測(cè)的拋光光學(xué)元件表面進(jìn)行DT-CWT的多尺度分解，并在重構(gòu)時(shí)加入自適應(yīng)影響因子，成功分離了各頻段的面形誤差。通過(guò)對(duì)經(jīng)DT-CWT直接分離法與DT-CWT自適應(yīng)分離法得到的高、中、低頻面形誤差進(jìn)行參數(shù)表征， 實(shí)驗(yàn)證明基于DT-CWT自適應(yīng)分離法更為有效地分離光學(xué)元件各個(gè)頻段的面形誤差及誤差特征，便于后續(xù)的識(shí)別與評(píng)定工作。

光學(xué)元件； 面形誤差； 雙樹(shù)復(fù)小波變換； 自適應(yīng)分離； 參數(shù)表征

引 言

光學(xué)元件在紫外和x射線光學(xué)以及高功率激光損傷閾值等領(lǐng)域的應(yīng)用越加廣泛與頻繁[1]，因此對(duì)于光學(xué)元件表面質(zhì)量也提出了更高的要求。表面質(zhì)量影響因素除了光學(xué)元件自身材料外，主要是光學(xué)元件在機(jī)加工過(guò)程中殘留的面形誤差，它分為3種，即屬于高頻段面形誤差的表面粗糙度、屬于中頻段面形誤差的表面波紋度和屬于低頻段面形誤差的幾何輪廓形位誤差。這些面形誤差對(duì)光束的調(diào)制作用會(huì)嚴(yán)重影響光束質(zhì)量。因此在光學(xué)元件表面質(zhì)量評(píng)定中對(duì)各頻段面形誤差的正確提取是一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)，其目標(biāo)是在保持原有信號(hào)細(xì)節(jié)的基礎(chǔ)上最大限度地分離開(kāi)高、中、低頻信號(hào)。目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了不少研究。文獻(xiàn)[2]從光學(xué)元件表面屬于非平穩(wěn)空間信號(hào)的角度出發(fā)，提出了基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的精密光學(xué)表面中頻誤差提取和識(shí)別方法。文獻(xiàn)[3]通過(guò)理論分析Winger分布函數(shù)與功率譜密度之間的關(guān)系，得到了局部波前畸變的評(píng)價(jià)方法和指標(biāo)。這些方法對(duì)高、中、低頻段分離沒(méi)有嚴(yán)格區(qū)分，導(dǎo)致各個(gè)頻段范圍內(nèi)的成分不能完全分離，特別是中頻信號(hào)的分離，一些屬于中頻段的重要信息隱藏到其他頻段中，最終使中頻的細(xì)節(jié)特征變得模糊。這將為后續(xù)的評(píng)價(jià)帶來(lái)誤差，甚至可能得到錯(cuò)誤的結(jié)論。另一方面，中頻信號(hào)是數(shù)控小刀具在拋光過(guò)程中留下的一些波紋，其受到加工溫度、刀具及拋光液等影響，屬于非平穩(wěn)空間信號(hào)。

雙樹(shù)復(fù)小波變換因具有多分辨分析、近似平移不變性和方向性好等優(yōu)點(diǎn)，是分析非平穩(wěn)信號(hào)強(qiáng)有力的工具，目前已在圖像去噪[4]、圖像紋理提取[5]和圖像加強(qiáng)[6]等方面取得了成功應(yīng)用。因此，筆者利用DT-CWT對(duì)光學(xué)元件表面形貌進(jìn)行多尺度分解，同時(shí)通過(guò)引入自適應(yīng)系數(shù)對(duì)各個(gè)尺度下的高中低頻進(jìn)行分解與重構(gòu)得到各頻段面形誤差。并對(duì)各頻段面形誤差進(jìn)行參數(shù)表征，證實(shí)了該方法可以有效分離出高、中、低各頻段成分。

1 光學(xué)元件表面形貌測(cè)量與表征

1.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)備

實(shí)驗(yàn)采用美國(guó) KLA-Tencor公司的MicroXam -100型光學(xué)輪廓儀對(duì)拋光球面光學(xué)元件表面進(jìn)行掃描。MicroXam-100型光學(xué)輪廓儀是一種全功能非接觸白光移相干涉儀，最小采樣間距為0.078 μm，測(cè)量最大量程為100 mm，分辨率為0.01 nm。實(shí)驗(yàn)設(shè)備示意圖及實(shí)驗(yàn)光學(xué)元件樣品如圖1和圖2所示。

圖1 實(shí)驗(yàn)設(shè)備示意圖Fig.1 The schematic diagram of experimental equipment

圖2 光學(xué)元件樣品Fig.2 The optical components sample

1.2 實(shí)驗(yàn)規(guī)則與實(shí)際檢測(cè)曲線

球面光學(xué)元件常采用子午線來(lái)確定光學(xué)元件的面形，子午線影響鏡片的焦斑、像散以及屈光度等光學(xué)性能[2]。對(duì)拋光光學(xué)元件的子午線進(jìn)行測(cè)量，其中測(cè)量參數(shù)如表1所示，測(cè)量得到的曲線如圖3所示。

表1 測(cè)量參數(shù)

圖3 拋光光學(xué)元件子午線測(cè)量曲線Fig.3 Meridian measurement curve of the polishing optical element

1.3 各頻段面形誤差數(shù)學(xué)建模及參數(shù)表征

光學(xué)元件表面信號(hào)f(xi)分為低頻、中頻和高頻面形誤差，建立以下數(shù)學(xué)模型

f(xi)=h1(xi)+h2(xi)+h3(xi)

(1)

其中：h3(xi)為低頻分量；h2(xi)為中頻分量；h1(xi)為高頻分量。

目前，光學(xué)元件表面質(zhì)量各波段評(píng)價(jià)分析受到足夠的重視，對(duì)于低頻段面形誤差的評(píng)價(jià)主要采用波前梯度均方根(gradient root mean square，簡(jiǎn)稱(chēng)GRMS)值作為指標(biāo)來(lái)表征低頻相位畸變的大小[7]。張穎等[8]通過(guò)理論分析，對(duì)GRMS值的求解提出修正并推導(dǎo)修正后GRMS值與焦斑尺寸的解析式。文獻(xiàn)[9-10]利用功率譜密度(power spectral density，簡(jiǎn)稱(chēng)PSD)與焦斑旁瓣具有非常好的相似性，仿真分析設(shè)計(jì)具有焦斑旁瓣要求的光學(xué)元件對(duì)中頻段波前面形指標(biāo)。萬(wàn)敏等[11]定量分析了光學(xué)元件面形誤差各參數(shù)(幅度、類(lèi)型、空間尺度和空間分布等)對(duì)光束質(zhì)量的影響，得出在初始設(shè)計(jì)中需要對(duì)高頻誤差規(guī)定更嚴(yán)格的容差。文獻(xiàn)[12]基于經(jīng)典標(biāo)量衍射理論分析了中高頻誤差對(duì)環(huán)圍能量比的影響，得出了環(huán)圍能量比隨著中高頻誤差GRMS的增加近似呈指數(shù)規(guī)律衰減，并且隨著中高頻誤差的增大，能量轉(zhuǎn)移曲線出現(xiàn)反復(fù)振蕩。

結(jié)合當(dāng)前國(guó)內(nèi)外光學(xué)元件面形參數(shù)的表征狀況，筆者選取不同參數(shù)對(duì)光學(xué)元件各波段面形誤差進(jìn)行表征。對(duì)于低頻段面形誤差的幾何輪廓形位誤差，波前位相梯度被認(rèn)為是與系統(tǒng)聚焦能力聯(lián)系最密切的參數(shù)，其值越小，焦斑尺寸越集中，說(shuō)明光學(xué)元件低頻面形精度越高。因此采用GRMS值作為指標(biāo)來(lái)表征低頻相位畸變的大小[7]，其公式為

(2)

其中：h3(x)為采樣點(diǎn)低頻段面形誤差高度值。

對(duì)中頻段面形誤差的表面波紋度，采用采樣長(zhǎng)度的偏斜度(Sk)參數(shù)進(jìn)行表征，Sk反映了在采樣長(zhǎng)度內(nèi)面形誤差曲線對(duì)于基準(zhǔn)線的對(duì)稱(chēng)性。當(dāng)Sk接近于0時(shí)，說(shuō)明曲線高度存在對(duì)稱(chēng)分布，間接反映了拋光加工工藝情況。偏斜度公式為

(3)

其中：Ra為中頻段面形誤差的粗糙度均方根；h2(x)為中頻段面形誤差的高度值。

對(duì)高頻段面形誤差的粗糙度，采用均方根(root mean square，簡(jiǎn)稱(chēng)RMS)參數(shù)進(jìn)行表征。隨著粗糙度RMS值的減少，其表面散射傳遞函數(shù)曲線所圍的面積越大，光學(xué)零件信息容量越大，成像效果越好[13]。RMS公式為

(4)

其中：h1(x)為采樣點(diǎn)高頻段面形誤差高度值。

2 DT-CWT自適應(yīng)誤差分離理論

2.1 DT-CWT自適應(yīng)基本理論

DT-CWT理論由Kingsbury首次提出[14]，Selesnick等[15]進(jìn)一步提出了DT-CWT的分解與重構(gòu)算法，其分解與重構(gòu)所設(shè)計(jì)的濾波器滿(mǎn)足有限支撐、完全重構(gòu)條件、近似的半幀移以及對(duì)稱(chēng)性等條件，較好地解決了實(shí)離散小波變換的平移改變性以及方向性有限的缺點(diǎn)，并且DT-CWT保持著實(shí)離散小波變換多分辨分析和良好時(shí)頻局部化分析能力等優(yōu)點(diǎn)。DT-CWT完全可以對(duì)非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)進(jìn)行分解，其函數(shù)公式[14]為

(5)

其中：s=(s1,s2),aJ,L和dJ,L分別為信號(hào)的光滑與細(xì)節(jié)部分；B= {±15°，±45°，±75°}；J為最粗糙的分解層；L為細(xì)節(jié)的分解層；φJ(rèn),L為尺度函數(shù)；ψJ,L為小波函數(shù)。

DT-CWT對(duì)任意非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)進(jìn)行分解，得到多尺度下高低頻小波系數(shù)。根據(jù)目前傳統(tǒng)小波理論，主要針對(duì)各尺度進(jìn)行系數(shù)重構(gòu)最終得到目標(biāo)信號(hào)；然而目標(biāo)信號(hào)不一定完全符合理想的目標(biāo)信號(hào)，可能存在一些信息在另一個(gè)頻段信號(hào)中。為改善這一情況，筆者通過(guò)在各層尺度重構(gòu)中加入一個(gè)自適應(yīng)影響因子tj,j=1,2,…,n進(jìn)行自適應(yīng)處理，即當(dāng)處于不同頻段界限時(shí)，通過(guò)自適應(yīng)調(diào)整，保證重構(gòu)得到的信號(hào)接近于理想目標(biāo)信號(hào)。

2.2 光學(xué)元件表面面形誤差分類(lèi)

美國(guó)勞倫斯·利弗莫爾實(shí)驗(yàn)室在研制國(guó)家點(diǎn)火設(shè)施(national ignition facility project，簡(jiǎn)稱(chēng)NIF)[16-17]過(guò)程中對(duì)空間波長(zhǎng)進(jìn)行光學(xué)表面面形誤差分類(lèi)，并得到了認(rèn)可，如表2所示。

表2 光學(xué)元件表面面形誤差分類(lèi)

將采集信號(hào)經(jīng)DT-CWT分解，重構(gòu)得到多尺度下高頻誤差信號(hào)。重構(gòu)得到的信號(hào)瞬時(shí)頻率具有重要的實(shí)際物理意義[18]，高頻誤差信號(hào)h1(x)瞬時(shí)頻率為

(6)

其離散形式為

(7)

其中：Δx為采樣間距。

瞬時(shí)頻率的平均值為

(8)

多尺度下重構(gòu)得到高頻誤差平均波長(zhǎng)為

(9)

2.3 DT-CWT自適應(yīng)分離光學(xué)元件表面面形誤差

任意采集光學(xué)元件表面信號(hào)，對(duì)其進(jìn)行DT-CWT自適應(yīng)分解高、中、低頻面形誤差基本流程如圖4所示，具體步驟如下。

圖4 DT-CWT自適應(yīng)分離光學(xué)表面面形誤差流程圖Fig.4 DT-CWT adaptive optical surfaces separating surface error chart

1) 設(shè)定高頻系數(shù)自適應(yīng)影響因子tj,j=1,2,…,n并將其全部置“1”處理；

2) 將原始表面信號(hào)f(xi)進(jìn)行DT-CWT的n層分解，得到最底層的低頻系數(shù)dn(xi)以及各層的高頻系數(shù)cj(xi),j=1,2,…,n；

3) 對(duì)分解得到具有細(xì)節(jié)信號(hào)的高頻系數(shù)cj(x)進(jìn)行重構(gòu)得到

(10)

4) 將具有細(xì)節(jié)信號(hào)的高頻系數(shù)cj(x)全部置零處理，并對(duì)低頻系數(shù)進(jìn)行信號(hào)的重構(gòu)h3(x)，記作

h3(xi)=IDTCWTdn(xi)

(11)

5) 對(duì)得到的信號(hào)h1(x)進(jìn)行瞬時(shí)頻率計(jì)算與平均波長(zhǎng)λi計(jì)算，如果λi<0.12 mm，改變第n層高頻系數(shù)自適應(yīng)影響因子tj，重復(fù)上面的步驟2～4，直到λi=0.12 mm結(jié)束循環(huán)。

6) 分離中頻面形誤差，公式為

h2(xi)=f(xi)-h1(xi)-h3(xi)

(12)

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1DT-CWT自適應(yīng)分離光學(xué)元件表面面形誤差

對(duì)圖3測(cè)量的拋光球面光學(xué)元件子午線數(shù)據(jù)進(jìn)行DT-CWT多尺度分解，得到多尺度分解下高頻系數(shù)與低頻系數(shù)重構(gòu)后的面形誤差，如圖5所示。同時(shí)分別對(duì)高頻系數(shù)面形誤差進(jìn)行瞬時(shí)頻率與平均波長(zhǎng)的計(jì)算，得到多尺度分解下高頻系數(shù)重構(gòu)面形誤差平均波長(zhǎng)，如表3所示。

圖5 高頻系數(shù)與低頻系數(shù)重構(gòu)得到的面形誤差Fig.5 The surface shape error obtained by reconstructing the high-frequency and low-frequency coefficients

表3 多尺度分解下高頻系數(shù)重構(gòu)面形誤差平均波長(zhǎng)

Tab.3 Mean wavelength of the surface shape error obtained by reconstructing the high-frequency coefficients under multi-scale decomposition mm

分解層平均波長(zhǎng)第1層0.0031第2層0.0088第3層0.0228第4層0.0484第5層0.1152第6層0.2488

由圖5看出，隨著分解尺度的增加，低頻系數(shù)重構(gòu)面形誤差變化微小，而高頻系數(shù)重構(gòu)面形誤差變化較大。結(jié)合表3可知，當(dāng)分解尺度在第5層時(shí)，其波長(zhǎng)在界定范圍的邊緣波長(zhǎng)區(qū)域。當(dāng)分解尺度到達(dá)第6層時(shí)，第6層高頻系數(shù)重構(gòu)的面形誤差已出現(xiàn)了實(shí)際屬于中頻波紋度面形誤差，說(shuō)明其高頻系數(shù)包含一定的中頻波紋度誤差成分，采用DT-CWT直接分離法存在分離不徹底現(xiàn)象，對(duì)于后續(xù)的表征將存在影響?，F(xiàn)在通過(guò)改變多尺度下第5層及后面層數(shù)的自適應(yīng)系數(shù)，調(diào)整DT-CWT分解尺度下的系數(shù)比例，得到經(jīng)過(guò)自適應(yīng)多尺度分解高頻系數(shù)重構(gòu)面形誤差的平均波長(zhǎng)，如表4所示。

表4 自適應(yīng)多尺度分解高頻系數(shù)重構(gòu)面形平均波長(zhǎng)

Tab.4 Mean wavelength of the surface shape error obtained by reconstructing the high-frequency coefficients under multi-scale decomposition mm

分解層平均波長(zhǎng)第1層0.0031第2層0.0088第3層0.0228第4層0.0484第5層0.1152第6層(自適應(yīng)處理)0.1200第7層0.3621

從表4可看出，經(jīng)過(guò)自適應(yīng)處理完第6層高頻系數(shù)重構(gòu)面形誤差平均波長(zhǎng)恰好等于0.12mm。故將前5層高頻系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)得到高頻段面形誤差，對(duì)第6層及以上高頻系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)得到中頻段面形誤差，同時(shí)用DT-CWT提取低頻系數(shù)并重構(gòu)得到低頻段面形誤差，最后得到各頻段面形誤差，如圖6所示。為能更好地說(shuō)明該方法的優(yōu)越性，將DT-CWT直接分離法與DT-CWT自適應(yīng)分離法分別計(jì)算各頻段面形誤差平均波長(zhǎng)，如表5所示。拋光光學(xué)表面DT-CWT自適應(yīng)分離各頻段面形誤差如圖6所示。用DT-CWT直接分離法對(duì)高、中、低頻面形誤差進(jìn)行重構(gòu)，如圖7所示。

表5 拋光光學(xué)表面各頻段實(shí)際面形誤差平均波長(zhǎng)

圖6 拋光光學(xué)表面DT-CWT自適應(yīng)分離各頻段面形誤差Fig.6 The surface shape error of the polishing optical surface by DT-CWT adaptive separation

圖7 拋光光學(xué)表面DT-CWT直接分離各頻段面形誤差Fig.7 The surface shape error of the polishing optical surface by DT-CWT direct separation

從表5看出，基于DT-CWT自適應(yīng)分離法得到的中頻面形誤差平均波長(zhǎng)剛好為0.12 mm，實(shí)現(xiàn)了將光學(xué)元件表面的高頻與中頻面形誤差完全分離。對(duì)比圖7，發(fā)現(xiàn)圖6中得到的中頻面形誤差曲線包含的信息較多，能最大限度反映原始信號(hào)本身的性質(zhì)，有利于加工特征識(shí)別及表面參數(shù)評(píng)定。

3.2 拋光光學(xué)元件面形誤差的參數(shù)評(píng)定

若不能完全將面形誤差進(jìn)行分離，將造成本屬于該頻段的信息缺失，給后續(xù)表征結(jié)果帶來(lái)一定的誤差，甚至給出錯(cuò)誤的評(píng)價(jià)結(jié)論。分別對(duì)DT-CWT直接分離法與DT- CWT自適應(yīng)分離法獲得的各頻段面形誤差進(jìn)行參數(shù)表征，如表6所示。

表6 拋光光學(xué)元件表面各頻段實(shí)際面形誤差參數(shù)表征

從表6可以看到，兩種方法最終得到的中頻和高頻面形誤差參數(shù)評(píng)定也存在一定的誤差，與圖6和圖7呈現(xiàn)的區(qū)別保持一致。結(jié)合DT-CWT自適應(yīng)分離法得到的面形誤差圖和表征參數(shù)值進(jìn)行實(shí)測(cè)拋光光學(xué)元件表面質(zhì)量的評(píng)定，發(fā)現(xiàn)：圖6(a)中低頻分量面形誤差的波前梯度均方根趨近于0，焦斑尺寸較為集中；圖6(b)中頻面形誤差分量整理高度值較為對(duì)稱(chēng)，但計(jì)算得出采樣長(zhǎng)度的偏斜度略小于0，說(shuō)明該拋光工藝存在一定缺陷，如拋光液溶度不夠均勻，可以經(jīng)過(guò)一定的改進(jìn)與實(shí)驗(yàn)得到最佳加工工藝，使采樣長(zhǎng)度的偏斜度越加接近于0；高頻分量面形誤差的均方根值較小，且從圖6(c)高頻面形誤差圖可以看出改曲線上的高度值對(duì)稱(chēng)度較高，無(wú)局部缺陷現(xiàn)象出現(xiàn)。

4 結(jié) 論

1) 對(duì)實(shí)際的拋光光學(xué)元件表面子午線進(jìn)行DT-CWT多尺度分解，通過(guò)計(jì)算多尺度分解得到高頻系數(shù)重構(gòu)面形誤差的瞬時(shí)頻率，進(jìn)而得到平均波長(zhǎng)。引入自適應(yīng)系數(shù)，使DT-CWT具有搜索目標(biāo)的能力，最終實(shí)現(xiàn)光學(xué)元件高中低頻面形誤差的精確分離。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，采用DT-CWT自適應(yīng)方法得到的中頻面形誤差所包涵的信息比采用DT-CWT直接分離法得到的中頻誤差所包含的信號(hào)更全面，便于中頻誤差的缺陷識(shí)別，以指導(dǎo)實(shí)際加工工藝。

2) 通過(guò)比較兩種方法得到的面形誤差并進(jìn)行參數(shù)評(píng)定，得出DT-CWT直接分離法與DT-CWT自適應(yīng)分離法所得表征參數(shù)值存在一定區(qū)別，說(shuō)明了在進(jìn)行實(shí)際面形誤差分離時(shí)，能否完全分離高、中、低頻面形誤差將對(duì)后續(xù)的表征與評(píng)價(jià)產(chǎn)生一定的影響。

[1] Tsbben H, Ringel G, Kratz F, et al．The use of power spectral density(PSD)to specify optical surfaces[J]．Proc Spie, 1996, 2775：240-250.

[2] 畢果，郭隱彪，楊峰. 基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的精密光學(xué)表面中頻誤差識(shí)別方法[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2013, 49(1)：164-170.

Bi Guo, Guo Yinbiao, Yang Feng. Mid-spatial frequency error identification of precision optical surface based on empirical mode decomposition[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2013, 49(1): 164-170. (in Chinese)

[3] 徐建程, 李海波, 范長(zhǎng)江. 基于 Wigner 分布函數(shù)的光學(xué)元件評(píng)價(jià)方法[J]. 強(qiáng)激光與粒子束, 2010, 22(11)：2621-2624.

Xu Jiancheng, Li Haibo, Fan Changjiang. Specification of optical components using Wigner distribution function[J]. High Power Laser and Particle Beams, 2010, 22(11): 2621-2624. (in Chinese)

[4] Kingsbury N. Image processing with complex wavelets[J]. Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 1999, 357: 2543-2560.

[5] Magarey J F A, Kingsbury G. Motion estimation using a complex-valued wavelet transform[J]. IEEE Transcation on Signal Processing, 1998, 46(4):1069-1084.

[6] Kingsbury N G. The dual-tree complex wavelet transform: a new efficient tool for image restoration and enhancement[C]∥European Signal Processing Conference. Rhodes: [s. n.], 1998: 319-322.

[7] 馮友君, 林中校, 張蓉竹. 連續(xù)位相板均方根梯度對(duì)焦斑勻滑特性的影響[J]. 物理學(xué)報(bào), 2011, 60(10):1042021-1042028.

Feng Youjun，Lin Zhongxiao， Zhang Rongzhu. The influence of root mean square phase gradient of continuous phase plate on smoothing focal spot[J]. Acta Physica Sinica, 2011, 60(10): 1042021-1042028. (in Chinese)

[8] 黃晚睛, 張穎, 劉蘭琴, 等. 光學(xué)元件波前梯度均方根與焦斑尺寸的關(guān)系[J]. 光學(xué)學(xué)報(bào), 2012, 12: s1l40031-s1140034.

Huang Wanqing, Zhang Ying, Liu Lanqin, et al. Relation between the root-mean-squared gradient of optics and the size of focal spot[J]. Acta Optica Sinica, 2012, 12：s1l40031-s1140034. (in Chinese)

[9] 袁靜, 魏曉峰, 粟敬欽, 等. 產(chǎn)生旁瓣的激光波前功率譜密度與焦斑性能分析[J]. 強(qiáng)激光與粒子束, 2000, 12(S1):154-159.

Yuan Jing, Wei Xiaofeng, Li Jingqin, et al. Analysis of the power spectral density of the laser wave-front producing the wings and the performance of focal spot[J]. High Power Laser and Particle Beams, 2000, 12(S1):154-159. (in Chinese)

[10]劉紅婕, 景峰, 左言磊, 等. 激光波前功率譜密度與焦斑旁瓣的關(guān)系[J]. 中國(guó)激光, 2006, 33(4):504-508.

Liu Hongjie, Jing Feng，Zuo Yanlei，et al. Relation between wave front power spectral density and wings of focal spot[J]. Chinese Journal of Lasers, 2006, 33(4): 504-508. (in Chinese)

[11]萬(wàn)敏, 蘇毅, 張衛(wèi), 等. 光學(xué)器件面形誤差對(duì)光束質(zhì)量的影響[J]. 光學(xué)學(xué)報(bào), 2002, 22(4): 495-500.

Wan Min, Su Yi, Zhang Wei, et al. Influence of the surface error of optical elements on beam quality[J]. Acta Optica Sinica, 2002, 22(4): 495-500. (in Chinese)

[12]吳冬良, 戴一帆, 王貴林. 光學(xué)加工中高頻誤差對(duì)環(huán)圍能量比的影響[J]. 光學(xué)精密工程, 2009, 17(11): 2705-2711.

Wu Dongliang, Dai Yifan，Wang Guilin. Influence of mid-and-high frequency errors in optical processing on fractional encircled energy[J]. Optics and Precision Engineering, 2009, 17(11): 2705-2711. (in Chinese)

[13]Harvey J E，Thompson A K. Scattering effects from residual optical fabrication-errors[J]. International Conferences on Optical Fabricatio, 1995, 2576:155-174.

[14]Selesnick I W, Baraniuk R G, Kingsbury N G. Hilbert transform pairs of wavelets bases[J]. IEEE Signal Processing Letter, 2001, 8(6):170-173.

[15]Selesnick I W, Baraniuk R G, Kingsbury N G. The dual-tree complex wavelet transform[J]. IEEE Signal Processing Magazine, 2005, 22(6):123-151.

[16]Schinhaerl M，Rascher R，Stamp R. Utilization of time-variant influence functions on the computer controller polishing[J]. Precision Engineering, 2008, 32(1): 47-54.

[17]Aikens D M， Wolfe C R， Lawson J K. The use of power spectral density(PSD) functions in specifying optics for the national ignition facility[J]. Proceeding of SPIE，1995(2576): 281-292.

[18]Huang N E，Shen Z，Long S R，et al. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis[J]. Proceedings of the Royal Society of London Series A-Mathematical Physical and Engineering Sciences, 1998, 454: 903-995.

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.01.017

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51375094)；福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2015J01195)；清華大學(xué)摩擦學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金資助項(xiàng)目(SKLTKF13B02)；福州市科技局資助項(xiàng)目(2014-G-74)；福州大學(xué)人才基金資助項(xiàng)目(XRC-1576)

2015-07-17；

2015-08-15

TG58； TH161

任志英，女，1980年1月生，博士、副教授。主要研究方向?yàn)槟Σ翆W(xué)中表面表征、信號(hào)特征提取及振動(dòng)測(cè)試等。 E-mail: renzyrose@126.com 通信作者簡(jiǎn)介：高誠(chéng)輝，男，1953年9月生，教授、博士生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)槟Σ翆W(xué)及數(shù)字化制造等。 E-mail: gch@fzu.edu.cn