☉江蘇省宜興市官林中學(xué) 蔣 敏

☉江蘇省宜興市官林中學(xué) 吳燕江

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，同時(shí)也是每年高考的一個(gè)熱點(diǎn)問題.我們?cè)趫A錐曲線的解題過程中，應(yīng)盡量做到定義、方程、圖形、性質(zhì)的有機(jī)聯(lián)系和對(duì)比，在聯(lián)系和對(duì)比中掌握重點(diǎn)，突破難點(diǎn).下文舉例說明.

一、圍繞定義作文章

打開課本，我們發(fā)現(xiàn)教材都是從日常生活及實(shí)際應(yīng)用出發(fā)，結(jié)合圖形給出了橢圓、雙曲線、拋物線的第一定義；同時(shí)又用動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比為常數(shù)根據(jù)e與1的大小關(guān)系給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義.因此解題過程中應(yīng)緊扣定義，利用好第一定義和統(tǒng)一定義，許多疑難問題則可迎刃而解！

點(diǎn)評(píng)：此題是雙曲線中有關(guān)焦點(diǎn)三角形的問題，解題時(shí)應(yīng)充分利用雙曲線的定義及三角形的特征.除上述解法外，還可以先設(shè)出雙曲線的方程，再利用條件=2求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后通過將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入雙曲線方程，從而求出a2.

二、巧思妙想求方程

平面解析幾何研究的一個(gè)主要問題是：根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程.高考中經(jīng)?？疾檐壽E方程這一知識(shí)點(diǎn)，這就要求同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的訓(xùn)練中，不僅要熟練掌握定義法、直譯法、相關(guān)點(diǎn)法、待定系數(shù)法等常用方法，更應(yīng)積極思考，巧妙利用平面向量，注意解題思維的優(yōu)化創(chuàng)新.

例2 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1與該橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，|PQ|=求橢圓的方程.

點(diǎn)評(píng)：本題中若直接利用根與系數(shù)的關(guān)系將x1+x2和x1x2代入弦長(zhǎng)公式，則可預(yù)見運(yùn)算量較大，不代先算，既體現(xiàn)思維的整體性，又體現(xiàn)運(yùn)算的合理性、策略性、簡(jiǎn)捷性.本題也可先利用根與系數(shù)的關(guān)系將x1+x2和x1x2代入（*），化簡(jiǎn)得m+n=2，再分別化簡(jiǎn)根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式，這樣的運(yùn)算順序也可達(dá)到簡(jiǎn)捷的目的.

三、優(yōu)化思維導(dǎo)性質(zhì)

平面解析幾何研究的另一個(gè)主要問題是：通過方程，研究平面曲線的性質(zhì).每年高考中涉及焦點(diǎn)、離心率、準(zhǔn)線、漸近線等性質(zhì)的選擇、填空題還真不少！這就要求同學(xué)們?cè)谡莆栈編缀涡再|(zhì)的基礎(chǔ)上，更應(yīng)該發(fā)散思維、優(yōu)化思維，既要保證正確率，又要節(jié)省時(shí)間.

例3若雙曲線（a>0，b>0）的兩條漸近線互相垂直，則其離心率e=（ ）.

解析：因?yàn)榈容S雙曲線的離心率且兩條漸近線y=±x互相垂直，反之亦成立.所以選C.

四、數(shù)形結(jié)合探思路

大家知道，解析幾何是運(yùn)用代數(shù)方法來探究幾何問題，在探究幾何圖形時(shí)，往往運(yùn)用了坐標(biāo)法，但由于幾何研究的對(duì)象是圖形，而圖形的直觀呈現(xiàn)性會(huì)幫助我們發(fā)現(xiàn)問題，啟發(fā)我們探尋解題的思路，找到解決問題的有效方法，所以，在解決解析幾何問題時(shí)，要注意觀察、分析圖形的特征，將形與數(shù)結(jié)合起來.

圖1

例4已知橢圓C的方程為的兩條漸近線方程為l1，l2，過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l，使l與l2交于點(diǎn)P，設(shè)l與橢圓C的兩交點(diǎn)從上至下依次為A，B（如圖1），求的最大值，以及取得最大值時(shí)橢圓C的離心率e的值.

解析：這道題的幾何條件關(guān)系雖然已經(jīng)很明確了，但相對(duì)而言還是比較繁雜，如直接運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來構(gòu)建比值求最大值，不難發(fā)現(xiàn)，非常煩瑣.應(yīng)先將目標(biāo)比值通過化歸思想等價(jià)轉(zhuǎn)換為與點(diǎn)F相關(guān)的比值，再運(yùn)用“降維”的理念，把條件轉(zhuǎn)化為求y軸上的坐標(biāo)關(guān)系.而這些都建立在數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)上.

點(diǎn)評(píng)：解析幾何是用代數(shù)的方法來研究并解決幾何問題，自然離不開計(jì)算，更離不開圖形.故應(yīng)充分利用圖形，將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系.

當(dāng)然，圓錐曲線的解題策略遠(yuǎn)不止以上提及的四點(diǎn)，但無論采用何種策略，將圖形關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，并進(jìn)行合理的計(jì)算，是永遠(yuǎn)不變的“策略”.