張 蘭

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

一類不連續(xù)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步研究*

張 蘭

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

研究了具有不連續(xù)激活函數(shù)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)受非線性干擾通過時滯脈沖和反饋控制達到指數(shù)同步的問題，其中反饋控制和時滯脈沖控制用以克服不連續(xù)的激活函數(shù)對復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)造成的影響；基于Filippov解、微分包含、Lyapunov函數(shù)方法等，提出了幾個充分條件，保證了不連續(xù)的復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)達到指數(shù)同步；研究結(jié)果是對以前結(jié)果的推廣和改進，可直接應(yīng)用于連續(xù)復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)；最后通過數(shù)值模擬驗證了理論的有效性。

復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò);指數(shù)同步;時滯脈沖控制;不連續(xù)激活函數(shù)

在過去的幾十年中，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)受到了廣泛關(guān)注，其中復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問題更是研究的重點。但是現(xiàn)在很少有研究者研究不連續(xù)激活函數(shù)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，大部分已經(jīng)發(fā)表的文章研究的都是連續(xù)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)[1-2]，不連續(xù)激活函數(shù)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在現(xiàn)實生活中被廣泛應(yīng)用，如激光技術(shù)、航天技術(shù)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[3]等，很有研究價值。由于不連續(xù)微分方程不具有傳統(tǒng)意義下的解，故不能利用傳統(tǒng)的方法研究問題，本文在Filippov解的基本理論下對此類問題做出了研究。

現(xiàn)有很多控制技術(shù)得到研究[4]，比如脈沖控制[1]、間歇控制[2]、自適應(yīng)同步[5]等。由于脈沖控制只對其中的某些時間點進行控制，大大降低了工作量和成本，所以脈沖控制受到廣泛應(yīng)用。此外考慮到信道的寬度、外界環(huán)境的感染等，所以在系統(tǒng)中考慮時滯是不可避免的[6]，當(dāng)然控制在傳輸過程中也會遇到類似的情況，所以在脈沖控制中考慮時滯也是必須的。但是現(xiàn)有的文章很少考慮時滯對脈沖的干擾，其中文獻[7]和文獻[8]主要研究帶時滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)通過脈沖控制達到同步，此文章沒有考慮時滯對脈沖控制及信息傳輸?shù)挠绊?，這種忽略容易導(dǎo)致信息傳輸發(fā)生錯誤?；谝陨显虼颂幵O(shè)計了帶變時滯的脈沖控制器。

1 基本定義與預(yù)備知識

σx(t,xi(t),xi(t-τ(t)))

(1)

?A)x(t)+f(t,x(t))+B?Γh(x(t-τ(t)))+σx(t,x(t),x(t-τ(t)))

系統(tǒng)(1)的初值為

xi(s)=φi(s),-τ

系統(tǒng)(1)達到同步即x1(t)=x2(t)=…=xN(t)=s(t)， 以下為同步狀態(tài)系統(tǒng)：

?A)s(t)+f(t,s(t))

(2)

它的初始條件可以描述成：

s(t)=φ(t),-τ

為了達到同步, 將時滯脈沖控制添加到誤差系統(tǒng)中。設(shè)e(t)=x(t)-s(t)，式(2)與式(1)作差可以得到誤差系統(tǒng)如下：

(3)

在得出結(jié)論之前，需要作以下的假設(shè)：

假設(shè)H1存在正常數(shù)kij,gij,i,j=1,2,…,n，使得f,h滿足以下不等式：

對于任意的u,v∈Rn，其中u=(u1,u2,…,un)T,v=(v1,v2,…,vn)T。

因為此處研究的是不連續(xù)的復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)，導(dǎo)致一般意義下微分方程的解是不存在的，所以將引進Filippov解對不連續(xù)微分方程進行研究。首先給出Filippov解的定義。

定義1[8]f(x)的集值函數(shù)被定義為如下：

定義2[8]對于連續(xù)函數(shù)ι:[-τ,0]→RN和測度函數(shù)ψ:[-τ,0]→Rn，使得ψ(s)∈K[f(ι(s))]對于幾乎處處的s∈[-τ,0]都成立，那么系統(tǒng)(1)在初值為(ι,ψ)的問題即為下面的問題：找一對函數(shù)[x,γ,α]:[-τ,T]→Rn×Rn×Rn，使得x是系統(tǒng)(1)的解，t∈[-τ,T],其中T>0，γ(t)是f(t)的輸出相關(guān)函數(shù)，α(t-τ(t))是h(t-τ(t))，則系統(tǒng)(1)的初值問題為

與上面相似，系統(tǒng)(2)的IVP問題為

其中的反饋控制u(t)設(shè)計如下：

u(t)=-re(t)-ηsign(e(t))

其中r,η>0均為正常數(shù)，sign(e(t))=(sign(e1(t)),sign(e2(t)),…,sign(eN(t)))T,sign()為符號函數(shù)。

下面假設(shè)誤差為e(t)=x(t)-s(t)，那么誤差系統(tǒng)為

其中ν(t)=(ν1(t),ν2(t),…,νN(t))T=γ(t)-β(t),ξ(t)=(ξ1(t),ξ2(t),…,ξN(t))T=α(t)。

定義3[8]如果存在正常數(shù)M>1，k>0 對于任何初值都使得：

成立，那么式(3)在控制下達到全局指數(shù)同步。

下面給出一些需要的引理：

引理2[1]考慮以下的微分不等式：

假設(shè)：

2 主要結(jié)果

定理1 假設(shè)H1,H2被滿足，如果存在正常數(shù)ρ1,ρ2使得下面不等式(4)—(6)成立：

δi+qi+Mi≤ηi

(4)

εk+μk<1

(5)

(6)

證明 定義如下的Lyapunov函數(shù)：

其中當(dāng)t≠tk時，令η=diag(η1,η2,…,ηN)，那么有

(7)

eT(t)σe(t,e(t),e(t-τ(t)))

對于式(7)，一方面，根據(jù)假設(shè)(H1)和引理1知道存在一個正常數(shù)ρ1，使得不等式(8)成立：

(8)

對于式(8)的另一方面，類似于上面的方法，存在一個正常數(shù)ρ2，可以得到下面不等式成立：

eT(t)B?Γξ(t-τ(t))≤

令G=(gij)N×N,p=(p1,p2,…,pN)T，則可以得到：

eT(t)B?Γξ(t-τ(t))≤

eT(t)B?Γξ(t-τ(t))≤

將式(8)(9)代入到式(6)中去，可得到不等式：

綜上所述，可以得到下面不等式：

(9)

根據(jù)引理1和式(9)可以得到下面不等式：

成立，所以帶時滯的脈沖控制和反饋控制使得系統(tǒng)(1)指數(shù)同步到系統(tǒng)(2)。

推論1 假設(shè)H1,H2被滿足，并且系統(tǒng)(1)與系統(tǒng)(2)中的函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，如果存在正常數(shù)ρ1,ρ2使得下面不等式成立：

εk+μk<1

其中G=(gij)N×N,p=(p1,p2,…,pN)T,λ1=

3 應(yīng) 用

在這一部分，將舉例說明結(jié)果的有效性。

例1 當(dāng)n=3,N=5,帶有不連續(xù)激活函數(shù)和有界干擾的復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)被描述為

B?Γh(x(t-τ(t)))+σx(t,x(t),x(t-τ(t)))

(10)

其中x(t)=(x1(t),x2(t),x3(t))T，τ=1，σx(t)=(0.05x12(t),0.2x2(t-τ),0.3sin(x3(t)))T,f(xi)=h(xi)=(0,(5.82-x3)sign(x1),sign(x2)x1)T。

孤立節(jié)點被描述為

(11)

圖1 式(11)初值為s(0)=(0.45,0.35,8)T的混沌圖Fig.1 Chaotic map of system (11) at initial value s(0)=(0.45,0.35,8)T

其中系統(tǒng)的初值為x(t)=(-2,1,-5,-3,2,-3,-6,5,-7,-6,1,-6,-9,5,-2,-5,13,-15,-24,33,-15,-64,43,-25,-8,13,-55,-34,43,-15)T,t∈[-1,0]，時滯脈沖中時滯τ1=0.3,εik=-0.5,μik=0.4，所以條件式(4)成立。

根據(jù)誤差圖(圖2—4)，很明顯可以看出誤差最后穩(wěn)定到0，根據(jù)誤差的定義可以說明系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)達到了完全指數(shù)同步。

圖2 第一個分量的誤差圖Fig.2 The error diagram of the first component

圖3 第二個分量的誤差圖Fig.3 The error diagram of the second component

圖4 第三個分量的誤差圖Fig.4 The error diagram of the third component

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責(zé)任編輯：李翠薇

Exponential Synchronization of Discontinuous Complex-valued Complex Dynamical Network

ZHANG Lan

(School of Mathematics, Chongqing Normal University, Chongqing 401331, China)

Exponential synchronization of discontinuous complex-valued complex dynamical network with nonlinear perturbation via feedback control and time-delayed impulsive control is studied, among which feedback control and time-delayed impulsive control are used to overcome the influence of complex dynamical network caused by discontinuous activation function. Based on the methods such as Filippov solution, differential inclusion, Lyapunov function and so on, this paper proposes some sufficient conditions to guarantee the exponential synchronization of discontinuous complex dynamical network. The results of this paper are promoted and improved by previous results and can be directly applied to the continuous complex dynamical network. Finally, numerical simulations are given to show the effectiveness of the theoretical results.

complex-valued complex dynamical network; exponential synchronization; time-delayed impulsive control; discontinuous activation function

10.16055/j.issn.1672-058X.2017.0001.006

2016-05-09;

2016-06-24. * 基金項目：國家自然科學(xué)基金(61263020).

張?zhí)m(1993-)，女，四川南充人，碩士研究生，從事系統(tǒng)控制論研究.

O231

A

1672-058X(2017)01-0027-07