高建雄，安宗文，寇海霞

(蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050)

隨機(jī)恒幅載荷下結(jié)構(gòu)疲勞累積損傷的概率模型

高建雄，安宗文，寇海霞

(蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050)

概率疲勞累積損傷理論是產(chǎn)品可靠性評(píng)估與疲勞壽命預(yù)測(cè)的核心問題，其焦點(diǎn)是瞬時(shí)累積損傷及臨界損傷的概率分布特性。從應(yīng)力與疲勞壽命的基本關(guān)系(即S-N曲線方程)出發(fā)，根據(jù)應(yīng)力的概率密度函數(shù)推導(dǎo)出疲勞壽命的概率密度函數(shù)；基于Miner理論建立了一種適用于疲勞可靠性分析的概率疲勞累積損傷模型；通過具體實(shí)例對(duì)所建模型的有效性進(jìn)行驗(yàn)證和分析。結(jié)果表明：該模型能夠很好的反映外因(載荷特性)及內(nèi)因(材料疲勞性能參數(shù))對(duì)產(chǎn)品累積損傷分布規(guī)律的影響，為產(chǎn)品的可靠性設(shè)計(jì)及疲勞壽命預(yù)測(cè)提供了理論依據(jù)。

累積損傷；疲勞壽命；可靠性；S-N曲線；概率分布

工程結(jié)構(gòu)或機(jī)械設(shè)備的疲勞破壞是材料內(nèi)部疲勞損傷逐漸累積的結(jié)果。隨著載荷循環(huán)次數(shù)的增加，材料內(nèi)部的損傷逐漸累積，當(dāng)累積的損傷達(dá)到某一臨界值時(shí)，結(jié)構(gòu)或構(gòu)件便發(fā)生疲勞破壞。疲勞累積損傷理論研究的是循環(huán)載荷作用下結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的損傷累積規(guī)律及疲勞破壞準(zhǔn)則，它對(duì)于產(chǎn)品疲勞壽命的預(yù)測(cè)而言是十分重要的[1]。

對(duì)于疲勞累積損傷理論的研究經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的過程，早在1924年P(guān)almgren就首先提出了疲勞累積損傷與應(yīng)力循環(huán)次數(shù)成線性關(guān)系的假設(shè)，隨后于1945年Miner又將此理論公式化，于是便形成了著名的Palmgren-Miner線性疲勞累積損傷理論(簡(jiǎn)稱Miner理論)[2]。自Miner理論被提出以來，針對(duì)其不足，國內(nèi)外許多學(xué)者開展了大量的研究，在過去的幾十年中相繼提出了多種疲勞累積損傷理論[3]。根據(jù)累積損傷規(guī)律的不同，可將現(xiàn)有的疲勞累積損傷理論分為兩大類：線性疲勞累積損傷理論[4-7]和非線性疲勞累積損傷理論[8-11]。

對(duì)于這些現(xiàn)有的累積損傷模型，有的是宏觀的或唯象的，其雖然形式簡(jiǎn)單，使用方便，但對(duì)損傷變量的定義缺乏明確的物理含義，或模型的建立缺乏基礎(chǔ)性的理論依據(jù)；有的則是微觀的或物理的，其雖然具有較好的數(shù)學(xué)或力學(xué)基礎(chǔ)，但模型過于復(fù)雜，且須進(jìn)行大量的疲勞試驗(yàn)才能確定模型參數(shù)，使其目前難以在工程上推廣。因此，迄今為止，還沒有一個(gè)統(tǒng)一的、實(shí)用的、能夠較好揭示疲勞損傷內(nèi)在演化機(jī)理的累積損傷模型。相對(duì)來說，Miner理論由于其形式簡(jiǎn)單，使用方便，且大量試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)事實(shí)表明：Miner理論能夠較好地預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)或構(gòu)件在循環(huán)載荷作用下的均值壽命。所以，盡管在過去的幾十年中相繼提出了多種疲勞累積損傷理論，但Miner理論仍然是工程界廣泛采用的抗疲勞設(shè)計(jì)準(zhǔn)則[12]。

然而，由于各種隨機(jī)因素(如材料微觀結(jié)構(gòu)、制造工藝、載荷和服役環(huán)境等)的影響，致使疲勞累積損傷伴隨著固有的分散性。而Miner理論是基于“確定性”基礎(chǔ)之上的，它沒有考慮由于材料和載荷等的不確定性對(duì)瞬時(shí)累積損傷造成的分散性。

事實(shí)上，金屬材料的疲勞損傷主要屬于機(jī)械損傷，造成損傷的外因主要是應(yīng)力幅，而導(dǎo)致?lián)p傷的內(nèi)因是材料本身的固有屬性[8]。因此，本文利用應(yīng)力與壽命之間的映射關(guān)系，推導(dǎo)出隨機(jī)恒幅載荷下結(jié)構(gòu)疲勞壽命的概率分布，并基于傳統(tǒng)的Miner理論建立了適用于結(jié)構(gòu)可靠性評(píng)估及疲勞壽命預(yù)測(cè)的疲勞累積損傷的概率模型。

1 產(chǎn)品疲勞壽命的分布特征

1.1S-N曲線

產(chǎn)品疲勞壽命預(yù)測(cè)的前提是擁有必要的疲勞試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(包括材料的、載荷的及各種影響因素的)，其中S-N曲線最為關(guān)鍵。S-N曲線作為疲勞壽命預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)，其描述的是循環(huán)應(yīng)力S與失效循環(huán)數(shù)(疲勞壽命)N之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。材料S-N曲線最常用的是冪函數(shù)表達(dá)式[13]：

SmN=C

(1)

式中：m和C為材料疲勞性能參數(shù)。

1.2 疲勞壽命分布特征

對(duì)于產(chǎn)品疲勞壽命分布類型的選擇或擬合而言，傳統(tǒng)上大多采用粗放的、非精確的概率統(tǒng)計(jì)方法(例如，對(duì)數(shù)正態(tài)分布、Weibull分布等)，其統(tǒng)計(jì)學(xué)的假設(shè)與檢驗(yàn)也未必十分嚴(yán)格[14]。事實(shí)上，對(duì)于由特定材料制成的結(jié)構(gòu)或構(gòu)件，疲勞壽命的分布特征是由其在服役周期內(nèi)所承受的載荷唯一確定的，疲勞壽命N可以看作是在載荷激勵(lì)S作用下的響應(yīng)。因此，根據(jù)產(chǎn)品的載荷分布特征來推斷其疲勞壽命的分布特征不失為一種有效途徑。

本文僅考慮隨機(jī)恒幅載荷下產(chǎn)品的壽命分布問題。所謂隨機(jī)恒幅載荷，指的是載荷為恒幅循環(huán)應(yīng)力，應(yīng)力幅服從某一概率分布[15]，如圖1所示。在圖1中，S為一隨機(jī)變量，對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)為fS(s)，代表應(yīng)力幅值的概率分布；S1，S2和S3是S中的三個(gè)載荷樣本，分別代表三種不同幅值下的恒幅循環(huán)應(yīng)力。

在應(yīng)力S作用下，疲勞壽命N的分布特征fN(n)與應(yīng)力S的分布特征fS(s)之間存在一種類似于函數(shù)映射關(guān)系的紐帶(如圖2所示)，這種映射關(guān)系可用S-N曲線方程表示。因此，根據(jù)隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度函數(shù)與其自變量的概率密度函數(shù)之間的關(guān)系，便可由應(yīng)力S(激勵(lì))的分布特征fS(s)確定出疲勞壽命N(響應(yīng))的分布特征fN(n)。

圖1 隨機(jī)恒幅循環(huán)載荷示意圖Fig.1 Schematic diagram of uncertain cyclic load

圖2 應(yīng)力分布與壽命分布的關(guān)系Fig.2 Relationship between stress distribution and fatigue life distribution

設(shè)應(yīng)力S的累積分布函數(shù)為FS(s)，在應(yīng)力S作用下，疲勞壽命N的概率密度函數(shù)與累積分布函數(shù)分別記為fN(n)和FN(n)。由隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義可知，疲勞壽命N的累積分布函數(shù)FN(n)可表示為

(2)

式中：Pr{·}表示概率。

由S-N曲線的冪函數(shù)表達(dá)式可得

(3)

將式(3)代入式(2)，可得FS(s)與FN(n)之間的關(guān)系：

(4)

對(duì)式(4)兩邊求導(dǎo)，可得fS(s)與fN(n)之間的關(guān)系：

(5)

式(5)便是隨機(jī)恒幅載荷下產(chǎn)品疲勞壽命的概率密度函數(shù)表達(dá)式。從式(5)可以看出，疲勞壽命N的分布特征隨著應(yīng)力S(外因)的分布特征及材料疲勞性能參數(shù)C和m(內(nèi)因)取值的不同而變化。該模型用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)表達(dá)式闡述了外因(應(yīng)力)及內(nèi)因(材料疲勞性能參數(shù))對(duì)產(chǎn)品疲勞壽命分布規(guī)律的影響，克服了傳統(tǒng)采用的概率統(tǒng)計(jì)方法在壽命分布擬合過程中產(chǎn)生的誤差。

2 概率疲勞累積損傷模型

Miner理論是一個(gè)確定性模型，它與實(shí)際疲勞問題存在的分散性不符，不能滿足疲勞可靠性設(shè)計(jì)的要求。因此，建立一個(gè)適用的概率疲勞累積損傷模型對(duì)產(chǎn)品的疲勞可靠性評(píng)估至關(guān)重要。

本文基于Miner理論，建立了隨機(jī)恒幅載荷作用下產(chǎn)品的概率疲勞累積損傷模型。具體過程如下：

1) 一個(gè)循環(huán)造成的損傷D(1)。

(6)

式中：N為應(yīng)力S作用下產(chǎn)品的疲勞壽命，此處它是一個(gè)隨機(jī)變量，其累積分布函數(shù)FN(n)與概率密度函數(shù)fN(n)分別由式(4)和式(5)確定。

2)n個(gè)循環(huán)造成的損傷D(n)。

產(chǎn)品在疲勞載荷作用n后造成的損傷D(n)稱為瞬時(shí)累積損傷：

(7)

式中：n為載荷循環(huán)次數(shù)，是一個(gè)確定量。

理論和試驗(yàn)結(jié)果表明，瞬時(shí)累積損傷D(n)是個(gè)隨機(jī)變量，它由內(nèi)在分散性(材料疲勞性能參數(shù))和外在分散性(載荷特性)共同決定。根據(jù)隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義，瞬時(shí)累積損傷D(n)的累積分布函數(shù)FD(d)可表示為

(8)

將式(7)代入式(8)，可得疲勞壽命N的累積分布函數(shù)FN(n)與瞬時(shí)累積損傷D(n)的累積分布函數(shù)FD(d)之間的關(guān)系：

(9)

對(duì)式(9)兩邊求導(dǎo)，可得疲勞壽命N的概率密度函數(shù)fN(n)與瞬時(shí)累積損傷D(n)的概率密度函數(shù)fD(d)之間的關(guān)系：

(10)

將式(5)代入式(10)可得：

(11)

式(11)便是隨機(jī)恒幅載荷下的概率疲勞累積損傷模型。由式(11)可知，瞬時(shí)累積損傷D(n)的概率分布特征是內(nèi)在分散性(材料疲勞性能參數(shù)C和m的不同取值)和外在分散性(應(yīng)力S的概率分布)的綜合體現(xiàn)。該模型用清晰的數(shù)學(xué)表達(dá)式闡述了外因(應(yīng)力)及內(nèi)因(材料疲勞性能參數(shù))對(duì)產(chǎn)品瞬時(shí)累積損傷分布規(guī)律的影響，克服了傳統(tǒng)Miner理論的不足。

3) 臨界損傷Dcr。

目前，對(duì)于臨界損傷Dcr的統(tǒng)計(jì)特性有兩種觀點(diǎn)：一種觀點(diǎn)認(rèn)為Dcr是一個(gè)確定量，即Dcr=1；另一種觀點(diǎn)認(rèn)為Dcr是一個(gè)隨機(jī)變量，即服從某一概率分布。事實(shí)上，對(duì)于兩級(jí)或者很少幾級(jí)的加載情況，試件發(fā)生疲勞破壞時(shí)的臨界損傷值Dcr偏離1很大。例如在實(shí)際工程中，對(duì)于承受兩級(jí)加載的材料，在高—低加載情況下其臨界損傷Dcr<1，而在低-高加載情況下其臨界損傷Dcr>1，即是所謂的“鍛煉”效應(yīng)[16]。材料的“鍛煉”效應(yīng)說明將臨界損傷Dcr看作一個(gè)隨機(jī)變量似乎更加合理。其中文獻(xiàn)[12]認(rèn)為臨界損傷Dcr是一個(gè)均值為1，變異系數(shù)與疲勞壽命變異系數(shù)近似相等的隨機(jī)變量。鑒于此，本文假設(shè)臨界損傷Dcr服從均值為1，變異系數(shù)CDcr由正態(tài)分布表示：

(12)

式中：CN為疲勞壽命的變異系數(shù)，μN(yùn)和σN分別為疲勞壽命的均值與方差：

(13)

(14)

至此，隨機(jī)恒幅載荷下的概率疲勞累積損傷模型建立完畢。其中，瞬時(shí)累積損傷D(n)的概率分布特征由式(11)確定，臨界損傷Dcr服從均值為1，變異系數(shù)由式(12)確定的正態(tài)分布。

3 實(shí)例分析

以機(jī)械工業(yè)中常用的齒輪材料20CrMnTi鋼的接觸疲勞試驗(yàn)為例，對(duì)本文所建模型的有效性進(jìn)行驗(yàn)證和分析。試驗(yàn)條件及試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下[17]：

1) 試驗(yàn)條件：矩形試樣，920℃加熱滲碳直接油淬，200℃回火2h，空冷；JPM-1型試驗(yàn)機(jī)進(jìn)行，滑差率5%。

2)P-S-N曲線參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表1所示。

3)P-S-N曲線如圖3所示。

表1 20CrMnTi鋼P(yáng)-S-N曲線參數(shù)估計(jì)

圖3 20CrMnTi鋼P(yáng)-S-N曲線Fig.3 P-S-N curves of 20CrMnTi steel

3.1 20CrMnTi鋼試樣的疲勞壽命分布

設(shè)應(yīng)力S服從均值μ=245 3MPa，標(biāo)準(zhǔn)差σ=20MPa的正態(tài)分布。以表1中存活率P=0.50的S-N曲線(C=1.160 4×1054，m=14.044 9)為例。在應(yīng)力S作用下，由式(5)可得存活率P=0.50時(shí)20CrMnTi鋼試樣的疲勞壽命概率密度函數(shù)：

(15)

根據(jù)式(15)，可得20CrMnTi鋼試樣的疲勞壽命概率密度函數(shù)曲線，如圖4所示。

從圖4可以看出，在應(yīng)力S作用下，20CrMnTi鋼試樣的疲勞壽命N服從如圖4所示的偏態(tài)分布。事實(shí)上，當(dāng)應(yīng)力S(外因)的概率分布特征或材料疲勞性能參數(shù)C和m(內(nèi)因)的取值發(fā)生變化時(shí)，20CrMnTi鋼試樣的疲勞壽命概率密度函數(shù)曲線也將發(fā)生相應(yīng)的變化。也就是說，20CrMnTi鋼試樣的疲勞壽命分布特征是由外因(載荷特性)及內(nèi)因(材料疲勞性能參數(shù))共同決定的，而不拘泥于傳統(tǒng)方法所采用的對(duì)數(shù)正態(tài)分布或Weibull分布等。

圖4 20CrMnTi鋼試樣疲勞壽命概率密度函數(shù)曲線Fig.4 Probability density function curve of fatigue life of 20CrMnTi steel specimen

3.2 20CrMnTi鋼試樣疲勞累積損傷的分布特性

同樣，以表1中存活率P=0.50的S-N曲線(C=1.160 4×1054，m=14.044 9)為例。在應(yīng)力S作用下，由式(11)可得20CrMnTi鋼試樣瞬時(shí)累積損傷D(n)的概率密度函數(shù)：

(16)

由式(16)可知，瞬時(shí)累積損傷D(n)的概率密度函數(shù)fD(d)隨著載荷作用次數(shù)n的變化而變化。例如，當(dāng)n分別取0.5×106、1.0×106、1.5×106、2.0×106時(shí)，20CrMnTi鋼試樣瞬時(shí)累積損傷D(n)的概率密度函數(shù)曲線如圖5所示。

從圖5可以看出：1)當(dāng)載荷作用次數(shù)n為某一確定值時(shí)，20CrMnTi鋼試樣的瞬時(shí)累積損傷D(n)是一個(gè)隨機(jī)變量，且服從某一特定的概率分布，滿足疲勞累積損傷規(guī)律的隨機(jī)性；2)隨著載荷作用次數(shù)n的增加，20CrMnTi鋼試樣瞬時(shí)累積損傷D(n)的概率密度函數(shù)曲線fD(d)逐漸向右移動(dòng)，滿足疲勞累積損傷規(guī)律的不可逆性。

以上是20CrMnTi鋼試樣瞬時(shí)累積損傷D(n)的概率分布特性，下面對(duì)其臨界損傷Dcr的分布特性進(jìn)行分析。根據(jù)式(13)和式(14)，可分別計(jì)算出20CrMnTi鋼試樣疲勞壽命的均值和方差：

(17)

(18)

根據(jù)式(12)，可得20CrMnTi鋼試樣臨界損傷Dcr的變異系數(shù):

(19)

因此，20CrMnTi鋼試樣臨界損傷Dcr服從均值為1，變異系數(shù)為0.115 1的正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)曲線如圖6所示。

圖5 20CrMnTi鋼試樣瞬時(shí)累積損傷概率密度函數(shù)曲線Fig.5 Probability density function curve of instantaneous cumulative damage of 20CrMnTi steel specimen

圖6 20CrMnTi鋼試樣臨界損傷概率密度函數(shù)曲線Fig.6 Probability density function curve of critical damage of 20CrMnTi steel specimen

3.3 材料屬性對(duì)疲勞累積損傷分布特性的影響

為研究材料屬性對(duì)20CrMnTi鋼試樣疲勞累積損傷分布特性的影響，以表1中不同存活率P下的S-N曲線為例，探究材料疲勞性能參數(shù)(C和m)對(duì)累積損傷規(guī)律的影響。

當(dāng)載荷作用次數(shù)n為某一確定值時(shí)，例如n=0.1×106。根據(jù)式(11)可得不同存活率P下20CrMnTi鋼試樣疲勞累積損傷的概率分布，如圖7所示。

圖7 材料屬性對(duì)疲勞累積損傷分布特性的影響Fig.7 Distribution of fatigue cumulative damage effected by material properties

由圖7可知，不同存活率P下20CrMnTi鋼試樣疲勞累積損傷的概率分布差異很大，說明材料疲勞性能參數(shù)(內(nèi)因)對(duì)疲勞累積損傷分布特性的影響很大。因此，在產(chǎn)品的加工制造過程中，應(yīng)及時(shí)修訂或改善工藝過程，避免加工過程中因材料微觀結(jié)構(gòu)或內(nèi)部缺陷等的不均勻性對(duì)產(chǎn)品疲勞性能造成的影響。

3.4 載荷特性對(duì)疲勞累積損傷分布特性的影響

1) 應(yīng)力均值對(duì)疲勞累積損傷分布特性的影響。

當(dāng)載荷作用次數(shù)n為某一確定值時(shí)，例如n=0.7×106。在應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差σ=20MPa保持不變，應(yīng)力均值μ分別取2 353、2 453、2 553、2 653MPa時(shí)，20CrMnTi鋼試樣疲勞累積損傷的概率分布如圖8所示。

圖8 應(yīng)力均值對(duì)疲勞累積損傷分布特性的影響Fig.8 Distribution of fatigue cumulative damage effected by mean stress

由圖8可知，在應(yīng)力方差保持不變的情況下，一方面，隨著應(yīng)力均值的降低，20CrMnTi鋼試樣疲勞累積損傷的均值逐漸增大；另一方面，隨著應(yīng)力均值的降低，20CrMnTi鋼試樣疲勞累積損傷的分散性逐漸增大，這種現(xiàn)象符合“隨著應(yīng)力水平的降低，產(chǎn)品疲勞壽命的分散性逐漸增大[18-19]”的一般規(guī)律。

2) 應(yīng)力方差對(duì)疲勞累積損傷分布特性的影響。

同樣，當(dāng)載荷作用次數(shù)n為某一確定值時(shí)，例如n=0.7×106。在應(yīng)力均值μ=2 453MPa保持不變，應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差σ分別取10、20、30、40MPa時(shí)，20CrMnTi鋼試樣疲勞累積損傷的概率分布如圖9所示。

圖9 應(yīng)力方差對(duì)疲勞累積損傷分布特性的影響Fig.9 Distribution of fatigue cumulative damage effected by variance of stress

由圖9可知，在應(yīng)力均值保持不變的情況下，20CrMnTi鋼試樣疲勞累積損傷的分散性隨著應(yīng)力方差的增大而增大。因此，若要通過試驗(yàn)的方法來研究產(chǎn)品疲勞損傷的內(nèi)在演化機(jī)理時(shí)，在試驗(yàn)過程中就應(yīng)嚴(yán)格控制應(yīng)力的波動(dòng)范圍，避免因應(yīng)力的隨機(jī)波動(dòng)對(duì)疲勞損傷演化規(guī)律造成的影響。

根據(jù)以上分析可以看出，材料屬性(內(nèi)因)及載荷特性(外因)對(duì)結(jié)構(gòu)疲勞累積損傷分布規(guī)律都有影響，相比之下，前者(材料屬性)對(duì)結(jié)構(gòu)疲勞累積損傷分布規(guī)律的影響更為顯著。因此，若要從本質(zhì)上改善結(jié)構(gòu)的抗疲勞特性，則應(yīng)在加工制造過程中及時(shí)修訂和改善工藝，避免材料微結(jié)構(gòu)或內(nèi)部缺陷等的不均勻性對(duì)結(jié)構(gòu)疲勞性能產(chǎn)生影響。

4 結(jié)論

1) 在實(shí)例分析中，通過對(duì)20CrMnTi鋼試樣瞬時(shí)累積損傷及臨界損傷分布特征及演化規(guī)律的分析，結(jié)果表明本文所建模型能夠表征疲勞損傷累積的一般規(guī)律(隨機(jī)性和不可逆性)。

2) 該模型是基于Miner理論建立的，形式簡(jiǎn)單、參數(shù)少，便于工程應(yīng)用，并且能夠很好的反映外因(載荷環(huán)境)和內(nèi)因(材料疲勞性能參數(shù))對(duì)產(chǎn)品疲勞累積損傷分布特性的影響，為產(chǎn)品的可靠性設(shè)計(jì)和疲勞壽命預(yù)測(cè)提供了理論依據(jù)。

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Structural probabilistic model of fatigue cumulative damage under uncertain cyclic load

GAO Jianxiong，AN Zongwen，KOU Haixia

(School of Mechatronic Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China)

Probabilistic fatigue cumulative damage theory is the key issue of product reliability assessment and fatigue life prediction, which focuses on the probability distributions of the instantaneous cumulative damage and the critical damage. Based on the fundamental relationship between stress and fatigue life (that is, the equation of S-N curve), a probability density function of fatigue life was derived from the probability density function of stress; Then, a probabilistic model of fatigue cumulative damage was proposed based on the Miner’s rule; Finally, the validity of the proposed model was verified by a practical case. The result shows that the distribution of fatigue cumulative damage is affected by the external factors (characteristics of the load) and the internal factors (fatigue performance parameters of material), and the proposed model can provide a theoretical basis for reliability design and fatigue life prediction.

cumulative damage；fatigue life；reliability；S-Ncurve；probability distribution

2015-09-28.

日期：2016-12-19.

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51265025).

高建雄(1988-), 男, 博士研究生； 安宗文(1968-), 男, 教授, 博士生導(dǎo)師.

安宗文，E-mail：anzongwen@163.com.

10.11990/jheu.201509085

http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20161219.1447.002.html

TB114.3；TH114

A

1006-7043(2017)02-0263-06

高建雄，安宗文，寇海霞. 隨機(jī)恒幅載荷下結(jié)構(gòu)疲勞累積損傷的概率模型[J]. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào)， 2017, 38(2): 263-268. GAO Jianxiong，AN Zongwen，KOU Haixia. Structural probabilistic model of fatigue cumulative damage under uncertain cyclic load[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2017, 38(2): 263-268.