張邦基, 周守玉，謝慶喜,張農(nóng)

(湖南大學(xué) 汽車(chē)車(chē)身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410082)

基于Tikhonov正則化與模型減縮技術(shù)的虛擬迭代載荷反求*

張邦基, 周守玉，謝慶喜?,張農(nóng)

(湖南大學(xué) 汽車(chē)車(chē)身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410082)

將模型減縮技術(shù)應(yīng)用于動(dòng)態(tài)響應(yīng)的求解，基于Tikhonov正則化載荷反求方法， 在迭代過(guò)程逐步修正載荷信號(hào)，使系統(tǒng)的響應(yīng)逼近期望響應(yīng)信號(hào)，最終精確反求出載荷信號(hào).算例表明，該方法相對(duì)于傳統(tǒng)Tikhonov方法，既保留了良好抗噪特點(diǎn)，同時(shí)又提高了峰值載荷處的反求精度，從而使得整體反求精度更高.

載荷反求；正則化；虛擬減縮；迭代方法

工程振動(dòng)問(wèn)題備受關(guān)注，結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)載荷的精確獲取可為工程結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析、疲勞分析等提供基礎(chǔ)，然而因經(jīng)濟(jì)性或技術(shù)條件的限制，許多情況下載荷難以通過(guò)直接測(cè)量的方式獲取，如汽車(chē)車(chē)身所受的激振力、輪船行駛時(shí)受到的波浪式?jīng)_擊載荷等.因此利用載荷反求方法間接獲取激振載荷具有重要意義.

載荷反求是通過(guò)系統(tǒng)響應(yīng)和振動(dòng)特性來(lái)反求結(jié)構(gòu)所受載荷，是動(dòng)力學(xué)第二類(lèi)反問(wèn)題[1].國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)動(dòng)態(tài)載荷反求的理論和技術(shù)研究做了很多工作[2-4].傳統(tǒng)的反求方法有時(shí)域法與頻域法兩大類(lèi)[5]，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，遺傳算法[6]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[7]等新方法被應(yīng)用于載荷反求領(lǐng)域.Kim等人[8]利用結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)關(guān)系構(gòu)建載荷反求動(dòng)力學(xué)方程，通過(guò)頻響函數(shù)求逆法進(jìn)行載荷反求，用奇異值分解法(SVD)改善頻響函數(shù)求逆過(guò)程中的矩陣病態(tài)問(wèn)題；Choi等人[9-10]運(yùn)用最小二乘的Tikhonov正則化方法解決矩陣的病態(tài)問(wèn)題，在提高載荷反求結(jié)果穩(wěn)定性與抗干擾性方面效果良好，并對(duì)比分析了不同正則化參數(shù)選擇方法對(duì)載荷反求精度的影響.國(guó)內(nèi)在正則化反求法方面做了很多研究[11-13]，其中應(yīng)用較廣的是Tikhonov正則化反求法.郭榮等[14]綜合運(yùn)用Tikhonov正則化與奇異值分解的反求方法，有效提高了結(jié)構(gòu)載荷反求精度.

然而Tikhonov等正則化反求法存在其自身的缺陷，由于該方法對(duì)反求載荷有平滑的作用，導(dǎo)致在響應(yīng)測(cè)試噪聲水平較高，或者系統(tǒng)線(xiàn)性程度不高的情況下，在反求信號(hào)的峰值處將很難得到較好結(jié)果[12].對(duì)此，結(jié)合文獻(xiàn)[15]中室內(nèi)試驗(yàn)臺(tái)架驅(qū)動(dòng)文件生成方法，提出新的載荷反求方法.其基本流程是，將Tikhonov正則化所反求的載荷重新激勵(lì)系統(tǒng)，將獲得的響應(yīng)與真實(shí)期望響應(yīng)對(duì)比，通過(guò)誤差反饋補(bǔ)償來(lái)逐步修正Tikhonov正則化反求法所得到的載荷信號(hào)，以提高在載荷峰值處的反求精度.考慮到在實(shí)際工程中，所研究的對(duì)象往往是復(fù)雜結(jié)構(gòu)仿真模型，迭代中頻繁的正向求解過(guò)程相當(dāng)耗時(shí)，甚至導(dǎo)致反求過(guò)程難以實(shí)現(xiàn).對(duì)此，本文結(jié)合模型減縮技術(shù)，對(duì)大型有限元結(jié)構(gòu)進(jìn)行降階處理，得到規(guī)模較小的等價(jià)模型，在保證響應(yīng)計(jì)算精度的同時(shí)，極大縮短正問(wèn)題的求解時(shí)間，提高計(jì)算效率.

1 虛擬迭代載荷反求原理

1.1 Tikhonov正則化理論

對(duì)于線(xiàn)性系統(tǒng)，在待反求載荷f(t)的作用下，系統(tǒng)的響應(yīng)可以由單位脈沖響應(yīng)函數(shù)與動(dòng)態(tài)載荷的卷積分形式表示為：

(1)

式中：y(x,t)為結(jié)構(gòu)測(cè)點(diǎn)x處的響應(yīng)，可以是位移、速度、加速度等；f(t)為載荷的時(shí)間歷程；G(x,t)是相應(yīng)的載荷作用點(diǎn)到響應(yīng)點(diǎn)的Green函數(shù)，即單位脈沖響應(yīng).

考慮零初始條件系統(tǒng)，可將式(1)中的卷積分在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行n個(gè)等間隔時(shí)間點(diǎn)離散，可化為一組線(xiàn)性方程組:

(2)

簡(jiǎn)記為：

Y=GF

(3)

式中：yi，Gi，fi分別為在時(shí)刻t=iΔt的響應(yīng)、Green函數(shù)和待反求的載荷；G為下三角矩陣.

對(duì)于多源載荷，采用單源載荷相同的方法，將其離散為線(xiàn)性方程組的形式，根據(jù)線(xiàn)性疊加原理，將多源載荷問(wèn)題表示為矩陣形式

(4)

式中：n為載荷源的個(gè)數(shù)；Gij為載荷源Fj到測(cè)點(diǎn)Yi之間響應(yīng)Green函數(shù).為了表述方便，也可將其簡(jiǎn)記為式(3)的形式.通常情況下，當(dāng)矩陣G是秩虧或者病態(tài)時(shí)，對(duì)式(3)進(jìn)行簡(jiǎn)單的矩陣求逆操作所得到的結(jié)果往往是不適定性的.正則化方法是解決此類(lèi)病態(tài)問(wèn)題的有效途徑，Tikhonov正則化因其不用進(jìn)行奇異系的計(jì)算，計(jì)算量小，而得到較多的關(guān)注.其實(shí)質(zhì)是通過(guò)增加約束信息，增強(qiáng)求解的適定性，從而保證結(jié)果的準(zhǔn)確穩(wěn)定.

實(shí)際測(cè)試中，測(cè)量誤差不可避免.記帶有測(cè)量誤差的響應(yīng)為Yδ(下標(biāo)δ表示含有測(cè)量誤差).建立目標(biāo)函數(shù)：

(5)

式中：α為正則化參數(shù).這種處理使得反求過(guò)程包含殘值的?！珿F-Yδ‖與解的模‖F(xiàn)‖兩類(lèi)約束，從而同時(shí)保證解的精確性和穩(wěn)定性.顯然，所謂的正則化方法其實(shí)質(zhì)是一種帶約束的最小二乘法.式(5)的Tikhonov正則化解為：

Fα=(GTG+αI)-1GTYδ

(6)

不同的參數(shù)α可調(diào)節(jié)殘差的模‖GF-Yδ‖與解的?！現(xiàn)‖的相對(duì)大?。害猎酱髣t解的穩(wěn)定性越好，解的逼近性越差；α越小則情形正好相反.因此需要選擇合適的正則化參數(shù)α來(lái)平衡這一矛盾，達(dá)到最佳反求效果.本文采用應(yīng)用廣、適應(yīng)性強(qiáng)的L曲線(xiàn)法來(lái)確定最佳的正則化參數(shù)α.

1.2 迭代反求算法

當(dāng)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)響應(yīng)噪聲水平不高時(shí)，采用最優(yōu)正則化參數(shù)的Tikhonov方法可較精確地反求激勵(lì)載荷，但是當(dāng)系統(tǒng)響應(yīng)噪聲水平較高時(shí)，即使是最優(yōu)的正則化參數(shù)，也難以平衡解的逼近性與穩(wěn)定性這對(duì)矛盾；且在工程實(shí)際中，系統(tǒng)的各個(gè)環(huán)節(jié)，如汽車(chē)的襯墊等連接部件，在一定程度上都存在非線(xiàn)性因素，導(dǎo)致反求難度增大.對(duì)此，采用迭代的方法，根據(jù)響應(yīng)誤差反饋補(bǔ)償，逐步修正所求載荷信號(hào)，使其達(dá)到要求[16].

首先，對(duì)一個(gè)已知系統(tǒng)，其響應(yīng)信號(hào)Yδ，由上述Tikhonov正則化方法反求，計(jì)算出初始載荷信號(hào)為：

Fα0(t)=(GTG+αI)-1GTYδ(t)

(7)

下一步用初始載荷信號(hào)Fα0(t)重新激勵(lì)系統(tǒng)，同時(shí)采集此時(shí)激勵(lì)所得響應(yīng)信號(hào)Y1(t)，計(jì)算Y1(t)與原始期望響應(yīng)信號(hào)Yδ(t)的誤差:

ε1(t)=Y1(t)-Yδ(t)

(8)

由迭代誤差的收斂準(zhǔn)則來(lái)判斷此次時(shí)間歷程響應(yīng)誤差是否滿(mǎn)足收斂條件，若滿(mǎn)足，則此次反求迭代結(jié)束；若不滿(mǎn)足則進(jìn)行反饋修正，設(shè)第i次迭代采集到的系統(tǒng)響應(yīng)為Yi(t),那么響應(yīng)誤差為：

εi(t)=Yi(t)-Yδ(t)

(9)

則本次迭代反求載荷的修正信號(hào)為：

ΔFαi(t)=(GTG+αI)-1GTεi(t)

(10)

由正則化特性可知，式(10)的計(jì)算可對(duì)所求載荷修正信號(hào)進(jìn)行一定的降噪和平滑作用，且不會(huì)增加原信號(hào)的噪聲干擾，優(yōu)于傳統(tǒng)的迭代方法[17].把修正信號(hào)ΔFαi(t)加到上一次迭代的反求載荷Fα(i-1)(t)上去，就得到本次修正后新的載荷信號(hào)，再用新得到的載荷信號(hào)激勵(lì)系統(tǒng)，反復(fù)迭代，直到響應(yīng)誤差滿(mǎn)足收斂條件為止.為了防止過(guò)載，控制迭代不發(fā)散，應(yīng)當(dāng)對(duì)式(10)計(jì)算出的修正信號(hào)加以適當(dāng)衰減：

Fαi(t)=Fα(i-1)(t)+

diag(λ1,λ2,…,λni)ΔFαi(t)

(11)

式中：λ1,λ2,…,λni為衰減系數(shù)，迭代初期，誤差較大時(shí)，應(yīng)當(dāng)選取較小衰減系數(shù)，隨著迭代次數(shù)增加，趨近于迭代收斂時(shí)，衰減系數(shù)應(yīng)當(dāng)接近于1.0[18].

1.3 減縮技術(shù)

載荷的迭代反求過(guò)程，需要反復(fù)計(jì)算仿真系統(tǒng)的動(dòng)響應(yīng)，仿真系統(tǒng)通常用有限元的方式表達(dá).但對(duì)于有限元模型，通常網(wǎng)格越密仿真精度越高，但密集的網(wǎng)格會(huì)導(dǎo)致響應(yīng)求解時(shí)間增長(zhǎng)，尤其在反復(fù)迭代計(jì)算過(guò)程中，正問(wèn)題的求解時(shí)間過(guò)長(zhǎng)是影響迭代的重要因素.對(duì)此，采用模型減縮技術(shù)，對(duì)原始有限元模型進(jìn)行降階等效，再對(duì)降階模型進(jìn)行迭代響應(yīng)計(jì)算，從而解決計(jì)算精度與計(jì)算效率之間的矛盾.本文采用的減縮方法是IRS[19]方法.

IRS減縮方法是一種基于Guyan靜力減縮法并考慮慣性力影響的改進(jìn)方法.系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為：

(12)

式中：M為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；K為系統(tǒng)的剛度矩陣；F為系統(tǒng)的載荷向量；x為系統(tǒng)的位移向量.對(duì)矩陣進(jìn)行分塊處理，并且假定沒(méi)有載荷作用在從自由度上時(shí)，可以將運(yùn)動(dòng)方程寫(xiě)為：

(13)

式中：下標(biāo)m和s分別代表主自由和從自由度，Guyan減縮后可得質(zhì)量矩陣與剛度矩陣分別為：

(14)

(15)

式中：Ts為Guyan轉(zhuǎn)換矩陣.將Guyan法得到的減縮后質(zhì)量矩陣MR和剛度矩陣KR代入動(dòng)力學(xué)方程得：

ω2MRxm=KRxm

(16)

考慮動(dòng)力模型減縮方法，用動(dòng)剛度表示的平衡方程為：

(17)

從自由度的選取應(yīng)滿(mǎn)足沒(méi)有系統(tǒng)外部載荷輸入，即Fs=0，可得下述方程：

[Ksm-ω2Msm]xm+[Kss-ω2Mss]xs=0

(18)

此時(shí)，將方程(17)進(jìn)行變形處理，用主自由度將從自由度表示出來(lái)，從而解得xm和xs之間的關(guān)系：

(19)

可得IRS法轉(zhuǎn)換矩陣為：

TIRS=-K-1Ksm+

(20)

在計(jì)算得到轉(zhuǎn)換矩陣TIRS后，很容易計(jì)算得到減縮后系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣:

(21)

(22)

式中：矩陣MIRS，KIRS分別為IRS法減縮后的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣.以此減縮后的模型數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行上述迭代響應(yīng)計(jì)算.

1.4 迭代收斂條件

上述Tikhonov迭代正則化算法可用流程框圖表示，如圖1所示.

圖1 迭代算法流程圖

其中如何制定迭代誤差判斷迭代是否終止尤為重要.作為收斂準(zhǔn)則，既要科學(xué)地體現(xiàn)響應(yīng)對(duì)比的逼近程度，又要簡(jiǎn)單易收斂，顯然收斂準(zhǔn)則選擇得好與壞,將直接影響到算法是否收斂以及收斂得快與慢.本文用一種加權(quán)誤差來(lái)定義收斂準(zhǔn)則[18]，如下:

(23)

式中：第1項(xiàng)為響應(yīng)誤差與原始期望響應(yīng)信號(hào)均方值的比值，反應(yīng)了響應(yīng)誤差在整個(gè)時(shí)間段上的相對(duì)大??；第2項(xiàng)為響應(yīng)最大偏差與原始期望信號(hào)最大值之比，反應(yīng)了響應(yīng)信號(hào)中是否存在奇異點(diǎn).由此可以看出，該迭代誤差定義為相對(duì)值，不受響應(yīng)幅值影響，能比較科學(xué)地體現(xiàn)計(jì)算響應(yīng)與原始期望響應(yīng)的逼近程度，是一較好的收斂準(zhǔn)則.

2 數(shù)值算例

為了驗(yàn)證上述迭代法對(duì)Tikhonov正則化反求結(jié)果的優(yōu)化作用，以及模型減縮技術(shù)對(duì)迭代效率改善的正確性與有效性，下面給出幾種不同載荷形式的算例進(jìn)行仿真對(duì)比分析.選用一塊帶約束的平板，在ABAQUS中建立如圖2所示的有限元模型,平板一邊兩端用螺栓夾緊固定，模型中平板的彈性模量為210GPa，密度為7.85g/cm3,厚度為4mm，邊長(zhǎng)為500mm.

圖2 平板有限元模型

2.1 模型減縮應(yīng)用及結(jié)果分析

為提高響應(yīng)計(jì)算速度以及迭代效率，對(duì)該模型進(jìn)行減縮降階，在確保模型精度不受影響的情況下，用近似的低階模型代替原來(lái)復(fù)雜的高階系統(tǒng)模型來(lái)進(jìn)行迭代反求.對(duì)該有限元模型，質(zhì)量矩陣和剛度矩陣通過(guò)ABAQUS被直接導(dǎo)出，在模型上選取包括激振點(diǎn)與拾振點(diǎn)在內(nèi)共 176個(gè)節(jié)點(diǎn)，用IRS減縮法在MATLAB中對(duì)平板模型進(jìn)行模型減縮，并用模態(tài)置信度(MAC值)分析減縮前后模型模態(tài)振型吻合程度，驗(yàn)證該減縮模型的精度[20].

2.1.1 減縮前后振型對(duì)比

模態(tài)置信度(modalassurancecriterion,MAC)表達(dá)式如下：

(24)

式中：φri表示減縮后模型的第i階模態(tài)振型；φrj表示減縮后模型的第j階模態(tài)振型；φi表示原模型第i階模態(tài)振型；φj表示原模型第j階模態(tài)振型；T表示共軛轉(zhuǎn)置.MAC是一個(gè)元素值介于0～1之間的方陣，當(dāng)其對(duì)角元素接近1，非對(duì)角元素接近0時(shí)，則可認(rèn)為模型減縮前后的各階模態(tài)振型對(duì)應(yīng)良好.

應(yīng)用MAC矩陣，對(duì)比了模型減縮前后的前40階振型模態(tài)向量，如圖3所示，對(duì)角線(xiàn)上除個(gè)別點(diǎn)外，其余值為1；非對(duì)角值基本為0.可以認(rèn)為減縮模型能夠較好保留原模型的柔性特征.

圖3 模型減縮前后MAC值

2.1.2 動(dòng)響應(yīng)計(jì)算效率分析

在載荷反求過(guò)程中往往需要反復(fù)多次求取系統(tǒng)響應(yīng)，因此動(dòng)響應(yīng)計(jì)算效率是衡量反求實(shí)際效果的重要標(biāo)準(zhǔn).分別對(duì)算例原模型、IRS減縮模型求動(dòng)態(tài)響應(yīng)，比較相同時(shí)間歷程的動(dòng)態(tài)響應(yīng)所消耗實(shí)際CPU時(shí)間，結(jié)果如圖4所示.

響應(yīng)時(shí)間/s

圖4中，橫坐標(biāo)表示不同響應(yīng)時(shí)間歷程，縱坐標(biāo)表示計(jì)算相應(yīng)時(shí)間歷程的響應(yīng)實(shí)際所需時(shí)間.具體數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 減縮前后模型動(dòng)響應(yīng)計(jì)算時(shí)間

由此可見(jiàn)，相比于原模型，IRS減縮模型大大減少了動(dòng)響應(yīng)計(jì)算時(shí)間，因此，模型減縮很大程度上提高了計(jì)算效率，所需計(jì)算響應(yīng)時(shí)間歷程越長(zhǎng)，效果越明顯.在本文數(shù)十次迭代計(jì)算動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程中，IRS模型減縮技術(shù)的應(yīng)用將極大地提高迭代計(jì)算響應(yīng)效率.

2.2 載荷反求對(duì)比分析

在板面節(jié)點(diǎn)308#施加垂直于板面的單位載荷，選取響應(yīng)節(jié)點(diǎn)62#垂直板面方向速度作為響應(yīng)(如圖2所示).首先計(jì)算載荷點(diǎn)到響應(yīng)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Green函數(shù)；再以不同形式載荷下的響應(yīng)，進(jìn)行載荷反求；最后對(duì)仿真得到的響應(yīng)數(shù)據(jù)加入一定水平的隨機(jī)噪聲來(lái)模擬測(cè)試誤差.此時(shí)帶噪聲的速度響應(yīng)可用下式來(lái)表示:

Yδ(t)=Y(t)+lnoisestd(Y(t))rand(-1,1)

(25)

在速度響應(yīng)中加入15%的模擬噪聲，首先用傳統(tǒng)的Tikhonov正則化方法進(jìn)行載荷反求，以L(fǎng)曲線(xiàn)法確定最優(yōu)正則化參數(shù)，得到待求載荷，計(jì)算反求精度；再以此反求載荷，作為初始激勵(lì)載荷，用上述虛擬迭代方法修正載荷信號(hào)，進(jìn)行反求優(yōu)化，以達(dá)到精度要求；最后對(duì)比優(yōu)化前后載荷反求精度.

選用不同頻率、不同幅值周期正弦、正弦掃頻(10～100Hz)、三角波以及隨機(jī)激勵(lì)等形式的激振力激振進(jìn)行載荷反求，反求結(jié)果如圖5-圖9所示.

由圖5-圖9可以看出，對(duì)不同形式的激勵(lì)，在一定噪聲水平情況下，傳統(tǒng)的L曲線(xiàn)法確定最優(yōu)參數(shù)的Tikhonov正則化方法能夠很好地抑制噪聲對(duì)反求結(jié)果的干擾，具有很強(qiáng)的穩(wěn)健性.但在載荷峰值處，反求誤差較大，反求整體精度受影響，這主要是由于正則化方法對(duì)反求載荷有平滑的作用，使得該方法在載荷峰值難以得到準(zhǔn)確的反求結(jié)果.Tikhonov正則化方法對(duì)這幾種載荷反求的加權(quán)誤差為8.0%左右.而本文提出的迭代Tikhonov正則化方法不僅能夠繼承傳統(tǒng)正則化方法反求結(jié)果穩(wěn)健性的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)還可以改善其在載荷峰值處反求結(jié)果，提高反求精度，反求結(jié)果加權(quán)誤差最低可降至2.0%.迭代Tikhonov正則化方法無(wú)論對(duì)確定信號(hào)還是隨機(jī)載荷激勵(lì)都有很好的反求精度，且對(duì)如圖9所示中的高頻載荷段迭代反求也有很高的精度.

時(shí)間/s

時(shí)間/s

時(shí)間/s

時(shí)間/s

時(shí)間/s

3 結(jié) 論

本文在傳統(tǒng)Tikhonov正則化反求方法的基礎(chǔ)上，提出了一種新的迭代改進(jìn)方案.結(jié)合有限元算例和模型減縮技術(shù)，分別采用傳統(tǒng)Tikhonov方法和本文迭代方法對(duì)三角、正弦以及隨機(jī)載荷等激勵(lì)進(jìn)行載荷反求.結(jié)果表明：

1)本文提出的基于Tikhonov正則化迭代反求方法不僅能夠繼承傳統(tǒng)Tikhonov正則化反求法有效抑制噪聲的特點(diǎn)，同時(shí)還可以提高其在峰值載荷處的反求精度，整體反求精度高；

2)應(yīng)用模型減縮技術(shù)可以提高動(dòng)響應(yīng)求解效率，有助于載荷反求迭代過(guò)程的開(kāi)展，最終又快又好的求得激勵(lì)載荷.

[1]MARCHUKGI.Methodsofnumericalmathematics[M].Berlin:Springer-Verlag, 1975: 16-18.

[2] 孫興盛，劉杰，丁飛，等.基于矩陣攝動(dòng)的隨機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別技術(shù)[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2014, 50(13)：148-156.

SUNXingcheng,LIUJie,DINGFei, et al.Identificationmethodofdynamicloadsforstochasticstructuresbasedonmatrixperturbationtheory[J].JournalofMechanicalEngineering, 2014, 50(13): 148-156.(InChinese)

[3] 彭凡，馬慶鎮(zhèn)，肖健，等.整體平動(dòng)自由結(jié)構(gòu)載荷時(shí)域識(shí)別技術(shù)研究[J].振動(dòng)與沖擊，2016, 35(6)：91-95.

PENGFan,MAQingzhen,XIAOJian, et al.Loadidentificationtechniqueintimedomainforfreestructureswithoveralltranslation[J].JournalofVibrationandShock, 2016, 35(6): 91-95.(InChinese)

[4]SANCHEZJ,BENAROYAH.Reviewofforcereconstructiontechniques[J].JournalofSoundandVibration, 2014, 333(14): 2999-3018.

[5] 胡寅寅，率志君，李玩幽，等.設(shè)備載荷識(shí)別與激勵(lì)源特性的研究現(xiàn)狀[J].噪聲與振動(dòng)控制，2011(4)：1-5.

HUYinyin,LVZhijun,LIWanyou, et al.StatusQUOofstudyonmachine,sloadidentificationtechnique[J].NoiseandVibrationControl, 2011(4): 1-5.(InChinese)

[6] 劉杰，許燦，李凡，等.基于λ-PDF和一次二階矩的不確定性反求方法[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2015, 51(20)：135-143.

LIUJie,XUCan,LIFan, et al.Uncertaininversemethodbasedonλ-PDFandfirstordersecondmoment[J].JournalofMechanicalEngineering, 2015, 51(20): 135-143.(InChinese)

[7] 莫旭輝，韓旭，鐘志華.基于漸近神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的汽車(chē)前輪定位參數(shù)反求[J].湖南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008, 35(6)：18-22.

MOXuhui,HANXu,ZHONGZhihua.IdentificationoffrontwheelalignmentbasedontheprogressiveneutralNETWORKmethod[J].JournalofHunanUniversity：NaturalSciences, 2008, 35(6): 18-22.(InChinese)

[8]KIMYC,NELSONPA.Optimalregularisationforacousticsourcereconstructionbyinversemethods[J].JournalofSoundandVibration, 2004, 275(3): 463-487.

[9]CHOIHG,THITEAN,THOMPSONDJ.ComparisonofmethodsforparameterselectioninTikhonovregularizationwithapplicationtoinverseforcedetermination[J].JournalofSoundandVibration, 2007, 304(3/5): 894-917.

[10]CHOIHG,THITEAN,THOMPSONDJ.AthresholdfortheuseofTikhonovregularizationininverseforcedetermination[J].AppliedAcoustics, 2006, 67(7): 700-719.

[11]張磊，曹越云.總體最小二乘正則化算法的載荷識(shí)別[J].振動(dòng)與沖擊，2014, 33(9)：159-164.

ZHANGLei,CAOYueyun.LoadidentificationusingCG-TLSregulariztionalgorithm[J].JournalofVibrationandShock, 2014, 33(9): 159-164.(InChinese)

[12]韓旭，劉杰.時(shí)域內(nèi)多源動(dòng)態(tài)載荷的一種計(jì)算反求技術(shù)[J].力學(xué)學(xué)報(bào)，2009, 41(4)：595-602.

HANXu,LIUJie.Acomputationalreversetechniqueformultisourcedynamicloadsintimedomain[J].ACTAMechanica, 2009, 41(4): 595-602.(InChinese)

[13]常曉通，閻云聚.基于Green函數(shù)和正則化的動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別方法[J].振動(dòng)、測(cè)試與診斷，2014, 34(1)：124-129.

CHANGXiaotong,YANYunju.DynamicloadidentificationmethodbasedonGreenfunctionandregularization[J].JournalofVibration,Measurement&Diagnosis, 2014, 34(1): 124-129.(InChinese)

[14]郭榮，房懷慶.基于Tikhonov正則化及奇異值分解的載荷識(shí)別方法[J].振動(dòng)與沖擊，2014, 33(6)：53-58.

GUORong,FANGHuaiqing.NovelloadidentificationmethodbasedonthecombinationofTikhonovregularizationandsingularvaluedecomposition[J].JournalofVibrationandShock, 2014, 33(6): 53-58.(InChinese)

[15]HAYNC,ROBERTSDE.Roadsimulators:theiterativealgorithmfordrivefilecreation[C]//2006SAEWorldCongress.Detroit,Michigan, 2006: 2006-2011.

[16]陳棟華，靳曉雄，周鋐.汽車(chē)室內(nèi)道路模擬試驗(yàn)系統(tǒng)控制算法的研究[J].噪聲與振動(dòng)控制，2006(1)：31-35.

CHENDonghua,JINXiaoxiong,ZHOUHong.Studyoncontorlalgoirthmforvehicleroadsimulationtestsystem[J].NoiseandVibrationControl, 2006(1): 31-35.(InChinese)

[17]杜永昌.車(chē)輛道路模擬試驗(yàn)迭代算法研究[J].農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)，2002, 33(2)：5-7.

DUYongchang.Researchoniterationalgorithmusedforvehicleroadsimulation[J].TransactionsoftheChineseSocietyofAgriculturalMachinery, 2002, 33(2): 5-7.(InChinese)

[18]汪斌，過(guò)學(xué)迅，李孟良.基于迭代學(xué)習(xí)控制的道路模擬算法[J].汽車(chē)工程，2010, 32(8)：686-689.

WANGBin,GUOXuexun,LIMengliang.Roadsimulationalgorithnbasedoniterativeleamingcontrol[J].AutomotiveEngineering, 2010, 32(8): 686-689.(InChinese)

[19]O'CALLAHANJC.Aprocedureforanimprovedreducedsystem(IRS)model[C]//Proceedingsofthe7thInternationalModalAnalysis.LasVegas:UnionCollegePress, 1989: 17-21.

[20]禇志剛，夏金鳳，王光建.循環(huán)對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)重根模態(tài)振型相關(guān)性修正[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2014, 50(23)：60-64.

CHUZhigang,XIAJinfeng,WANGGuangjian.Correlationcorrectionfordoubletmodeshapesofcyclicsymmetricstructures[J].JournalofMechanicalEngineering, 2014, 50(23): 60-64.(InChinese)

Load Identification of Virtual Iteration Based on Tikhonov Regularization and Model Reduction

ZHANG Bangji，ZHOU Shouyu, XIE Qingxi?，ZHANG Nong

(State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body,Hunan University, Changsha 410082, China)

The model reduction technique was applied to solve the dynamic response. In order to make the system show the actual responses of the expected signals, the iteration procedure was then used to modify the load signals based on Tikhonov regularization load identification. Furthermore, the accuracy of the load signals was identified. The comparison of the proposed method with the traditional Tikhonov method shows that the proposed method can retain a good anti-noise characteristic, and improve the precision of load identification. The accuracy of the load identification by the proposed method is much higher than that of the traditional method.

load identification; regularization; virtual reduction; iterative methods

1674-2974(2017)02-0053-07

10.16339/j.cnki.hdxbzkb.2017.02.008

2016-02-22

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51675152),National Natural Science Foundation of China(51675152)

張邦基(1967-)，男，湖南益陽(yáng)人，湖南大學(xué)教授，博士

?通訊聯(lián)系人，E-mail:xieqingxi000@escience.cn

TP391.9

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