王培光，候娟娟

(河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河北 保定 071002)

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平均法在不確定系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用

王培光，候娟娟

(河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河北 保定 071002)

討論了一類含參數(shù)的不確定系統(tǒng),運(yùn)用平均法,得到了該系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的結(jié)果,并給出了實(shí)例驗(yàn)證.

平均法；不確定系統(tǒng)；漸近穩(wěn)定性

MSC 2000：34D20；34A37

在許多實(shí)際工程應(yīng)用中,幾乎所有可運(yùn)行的系統(tǒng)均要求設(shè)計是穩(wěn)定的,但由于系統(tǒng)自身的復(fù)雜性,尋求解析解是十分困難的,因而從理論上探討解的穩(wěn)定性是一項(xiàng)有意義的工作.如果一個系統(tǒng)不僅僅依賴于某一時刻的狀態(tài),而且還依賴于某種不確定因素,則稱該系統(tǒng)為不確定系統(tǒng)[1].Sundarapandian等[2]提出了參數(shù)穩(wěn)定性的概念,并且應(yīng)用Lyapunov 直接方法分析了不確定參數(shù)穩(wěn)定性問題之后,Ohta等[3]提出了非線性不確定系統(tǒng)平衡位置的穩(wěn)定性問題,Martynyuk等[4]通過運(yùn)用不同的Lyapunov函數(shù)分析了不確定系統(tǒng)的運(yùn)動穩(wěn)定性.這些理論大都運(yùn)用Lyapunov函數(shù)方法討論不確定系統(tǒng)穩(wěn)定性問題.

平均法可避免構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)帶來的困難,Gama等[5]用平均法討論了右端不連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題.本文將平均法應(yīng)用于不確定系統(tǒng),得到了不確定參數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件,發(fā)展和豐富了不確定系統(tǒng)穩(wěn)定性理論.

1 預(yù)備知識

本文討論不確定系統(tǒng)

(1)

及其不確定平均系統(tǒng)

(2)

為得到本文主要結(jié)果,首先給出如下定義及引理.

定義1[4]稱系統(tǒng)(1)在參數(shù)α處是參數(shù)穩(wěn)定的,若系統(tǒng)(1)滿足下列條件：

A1)存在平衡態(tài)xe(α)∈Rn,其中xe:Rd→Rn為向量參數(shù)函數(shù),xe=xe(α),α∈Rd;

A2) 對任意的ε>0,存在δ=δ(ε,α)>0,當(dāng)‖x0-xe(α)‖<δ時,有

‖x(t,α)-xe(α)‖<ε

對任意的t∈R+成立.

定義2[4]稱系統(tǒng)(1)在參數(shù)α處是參數(shù)漸近穩(wěn)定的,若系統(tǒng)(1)滿足下列條件：

A3) 系統(tǒng)(1)在參數(shù)α處是參數(shù)穩(wěn)定的；

A4)存在參數(shù)β的開領(lǐng)域N(β),對任意的α∈N(β),存在μ(α)>0,當(dāng)‖x0-xe(α)‖<μ時,有

成立.

引理1 給定η>0,存在ε0>0,使得對任意的ε∈[0,ε0],有{x(t)}?{y(t)}+ηB成立.其中B={x∈Rn|‖x‖≤1},{x(t)},{y(t)}分別為系統(tǒng)(1)系統(tǒng)(2)解的集合.

證明：反證法.假設(shè)不然,即x(t)∈{x(t)},但x(t){y(t)}+ηB.

令τ2>τ1,那么

(3)

對(3)式兩邊同時除以τ2-τ1,且兩邊同時取極限得

(4)

所以存在η>0,系統(tǒng)(1)的解x(t)與系統(tǒng)(2)的解y(t)滿足{x(t)}?{y(t)}+ηB.

2 主要結(jié)果

將運(yùn)用平均法證明不確定系統(tǒng)與其平均系統(tǒng)解之間的逼近關(guān)系,并且進(jìn)一步證明不確定系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性.

定理1 假設(shè)

(H1)函數(shù)f∈C([t0,∞)×Rn×Rd),且滿足‖f‖≤M,‖f(s,x(s),α)-f(s,y(s)，β)‖≤λ(‖x(s)-y(s)‖+‖α-β‖),其中λ>0,M為常數(shù),α,β∈S?Rd是向量物理參數(shù),d≥1,S是緊集；

(H2)參數(shù)α,β滿足‖α-β‖≤q,其中q>0為常數(shù).

則對任意的η>0和給定的L>0,存在ε∈(0,ε](ε0=ε0(η,L)),使得對0<ε<ε0,系統(tǒng)(1)的解x(t)與系統(tǒng)(2)的解y(t)滿足

‖x(t)-y(t)‖≤η,0≤t≤Lε-1.

證明：首先注意到,(1)的解滿足以下積分方程

(5)

且(2)的解滿足

(6)

進(jìn)一步得

(7)

由條件(H1)(H2),有

(8)

令L>0為固定數(shù),對于0≤t≤Lλ-1,有

其中

‖f(s,y(s),β)-f0(y(s))‖ds.

并且

進(jìn)一步得

T2≤2LM.

(9)

再根據(jù)(7)和(9)得

(10)

其中δ=2LM+ελqt.

由引理2,對(10)式應(yīng)用Gronwall不等式得,

‖x(t)-y(t)‖≤δexp{λL},0≤t≤Lε-1.

更進(jìn)一步得到

‖x(t)-y(t)‖≤η,t∈[0,Lε-1].

定理1的證明到此完成.

定理2的證明到此完成.

推論1 假設(shè)

(H1)函數(shù)f∈([t0,∞)×Rn×Rd),且f(t,x,α)是周期為T的周期函數(shù),且滿足‖f‖≤M,‖f(s,x(s),α)-f(s,y(s),β)‖≤λ(‖x(s)-y(s)‖+‖α-β‖),其中λ>0為常數(shù)α,β∈S?Rd, 是2個向量物理參數(shù),d≥1,S是緊集;

(H2)參數(shù)α,β滿足‖α-β‖≤q,其中q>0為常數(shù),則對任意的η>0和L>0,存在ε∈(0,ε](ε=ε0(η,L)),使得對0<ε<ε0,系統(tǒng)(1)的解x(t)與系統(tǒng)(2)的解y(t)滿足

‖x(t)-y(t)‖≤η,0≤t≤Lε-1.

推論1的證明同定理1證明過程類似,不再贅述.

推論2同定理2證明過程類似,不再贅述.

下面舉例說明定理的應(yīng)用,運(yùn)用平均法分析不確定系統(tǒng)穩(wěn)定性問題.

3 例子

例1.考慮下列的不確定微分系統(tǒng)

及它的平均微分系統(tǒng)為

[1] 張子方,徐道義.不確定動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其應(yīng)用[D].成都：四川大學(xué), 2004. ZHANG Z F,XU D Y.The stability of uncertain dynamical systems and applications[D].Chengdu:Sichuan University,2004.

[2] SUNDARAPANDIAN V.New results on the parametric stability of nonlinear systems[J].Mathematical and Computer Modelling,2006,43:9-15.DOI:org/10.1016/j.mcm.2005.04.010.

[3] OHTA Y,SILJAK D D.Parametric quadratic stability of uncertain nonlinear systems[J].Systems and Control Letters,1994,22:437-444.DOI:10.1016/0167-6911(94)90087-6.

[4] MARTYNYUK A A,MARTYNYUK-CHERNIENKO Y A.Uncertain dynamical systems:stability and motion control[M].Boca Raton:Taylor and Francis Group,2012.

[5] GAMA R,GUERMAN A,SMIRNOV G.On the asymptotic stability of discontinuous systems analyzed via the averaging method[J].Nonlinear Anal:TMA,2011,74:1513-1522.DOI:10.1016/j.na.2010.10.024.

[6] 葛渭高,李翠哲,王宏洲.常微分方程與邊值問題[M].北京：科學(xué)出版社,2008.

(責(zé)任編輯：孟素蘭)

The stability of uncertain systems analyzed via the averaging method

WANG Peiguang,HOU Juanjuan

(College of Mathematics and Information Science,Hebei University,Baoding 071002，China)

The main purpose of this paper is to investigate the asymptotic stability of uncertain systems via the averaging method,and some corresponding results are obtained.We provide an example to illustrate our main results.

averaging method;uncertain systems;asymptotic stability

10.3969/j.issn.1000-1565.2017.01.001

2016-03-01

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11271106)；河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(A2013201232)

王培光(1963—)，男，黑龍江哈爾濱人，河北大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師，主要從事微分方程與控制理論的研究. E-mail:pgwang@hbu.edu.cn

O175.12

A

1000-1565(2017)01-0001-04