吳 正，潘 欣，王良龍

(1.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥230601；2.安徽大學(xué) 江淮學(xué)院，安徽 合肥230039)

十九世紀(jì)末到二十世紀(jì)初，為探求結(jié)論、方法的一般性與統(tǒng)一性，分析數(shù)學(xué)日趨抽象化。同時(shí)，很多學(xué)科在思想和方法上具有相似之處，尤其是經(jīng)典分析、變分學(xué)、積分方程等學(xué)科，急需建立對(duì)同類型對(duì)象抽象化的統(tǒng)一處理的方法與理論。在此情形下，泛函分析應(yīng)運(yùn)而生，并在數(shù)學(xué)物理和量子力學(xué)等學(xué)科研究應(yīng)用中取得巨大成功。此后，在眾多學(xué)科研究的需求刺激下，泛函分析得到巨大發(fā)展。時(shí)至今日，泛函分析在數(shù)學(xué)乃至自然科學(xué)中地位都十分重要，其思想、方法已經(jīng)滲透到許多學(xué)科，比如，微分方程的現(xiàn)代理論、調(diào)和分析、隨機(jī)過程與隨機(jī)分析學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、控制論、現(xiàn)代物理、計(jì)算機(jī)科學(xué)、生物數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)等等，并在這些學(xué)科的發(fā)展中起到巨大作用，已經(jīng)成為很多學(xué)科研究的必備知識(shí)。

由于泛函分析的廣泛應(yīng)用性，目前，在國(guó)內(nèi)外的許多高校中，很多學(xué)科已經(jīng)將泛函分析加入到本科培養(yǎng)方案[1]。本科階段，泛函分析內(nèi)容主要包含三部分:(1) 空間理論；(2) 空間之間的映射理論；(3) 空間理論及映射理論在其它學(xué)科的基本應(yīng)用。第一部分重點(diǎn)闡述幾類具有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)或代數(shù)結(jié)構(gòu)的空間相關(guān)性質(zhì)，核心內(nèi)容是線性賦范空間與內(nèi)積空間。第二部分重點(diǎn)討論空間之間的線性算子相關(guān)性質(zhì)，尤其是線性泛函性質(zhì)。第三部分一般是通過典型例題，介紹泛函分析在不同學(xué)科的應(yīng)用，彰顯泛函分析廣泛的應(yīng)用性。

簡(jiǎn)而言之，泛函分析以具有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)或代數(shù)結(jié)構(gòu)的線性空間之間映射為主要學(xué)習(xí)內(nèi)容，綜合應(yīng)用代數(shù)、幾何和分析等現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，深入討論無限維向量空間上的泛函、算子和極限理論。泛函分析可以理解為解析幾何與數(shù)學(xué)分析在無窮維向量空間的推廣，其抽象地概括了經(jīng)典分析、函數(shù)論等重要學(xué)科中的許多經(jīng)典結(jié)果。由于泛函分析的廣泛性與深刻性，泛函分析理論內(nèi)容、技巧和方法對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)和相關(guān)非數(shù)學(xué)專業(yè)都極其重要的。熟知泛函分析的基本內(nèi)容，理解泛函分析的基本思想，掌握泛函分析基本方法與技巧是本科泛函分析學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是后續(xù)研究生階段學(xué)習(xí)、科研的基礎(chǔ)所在。

然而，正是由于泛函分析理論的高度抽象性與廣泛的應(yīng)用性特點(diǎn)，本科階段《泛函分析》在教學(xué)上極具挑戰(zhàn)。(1)泛函分析中概念抽象，結(jié)論深刻；(2) 方法獨(dú)特；(3) 內(nèi)容繁多，任務(wù)繁重。這些都給泛函分析教與學(xué)帶來很多困難。教授該課程時(shí)，教師有“三難”：難透徹、難深入、難把握。對(duì)于教師，如何透徹解釋概念與定理、如何深入剖析定理的證明與應(yīng)用以及如何把握教學(xué)內(nèi)容寬度及深度，都極具挑戰(zhàn)。學(xué)習(xí)該課程時(shí)，學(xué)生也有“三難”：難理解、難掌握、難應(yīng)用。對(duì)于學(xué)生，如何理解概念與定理、如何掌握定理證明思想與方法以及如何應(yīng)用所學(xué)內(nèi)容解決問題，都是很大的困難。目前，泛函分析教學(xué)過程中，教師大多給出大量的定義、定理與推論，側(cè)重理論推導(dǎo)，而對(duì)概念的抽象背景與理論的應(yīng)用背景很少提及；多數(shù)學(xué)生在初學(xué)這些概念時(shí), 十分抽象，難于理解，課堂上只能聽與記，導(dǎo)致主觀思考與能動(dòng)性喪失。最終，對(duì)有關(guān)理論的學(xué)習(xí)和運(yùn)用不知所措，給人以“如入寶山而空返”之感[2]。如何解決這些問題，在泛函分析教學(xué)中至關(guān)重要。

1 整合教學(xué)內(nèi)容

1.1 優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容

為了提高教學(xué)效果，對(duì)教學(xué)內(nèi)容整合與優(yōu)化十分必要。在整合優(yōu)化過程中應(yīng)該注重以下幾點(diǎn)。

(1)優(yōu)選知識(shí)點(diǎn)。泛函分析內(nèi)容龐雜，在知識(shí)點(diǎn)選擇上，要注重內(nèi)容的完整性、層次的連貫性和邏輯性。以空間論為例，對(duì)于三大空間：度量空間、賦范線性空間、內(nèi)積空間，它們的關(guān)系是由一般到特殊，性質(zhì)越來越多，越來越好。因此，在內(nèi)容安排上應(yīng)該先介紹度量空間，其次賦范線性空間，最后學(xué)習(xí)內(nèi)積空間，符合邏輯順序，方便學(xué)生接受。

(2) 優(yōu)化理論證明。泛函分析很多定理的證明，方法獨(dú)特，技巧性強(qiáng)。平鋪直敘給出證明，不利于學(xué)生理解和掌握。在證明過程中，首先，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)證明方法與思路；其次，給出證明步驟；最后，清晰地給出每個(gè)證明步驟的詳細(xì)證明。

(3)優(yōu)化例題與習(xí)題。泛函分析中里題目來源很廣泛，比如實(shí)變函數(shù)、數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)等等，難度層次不同。例如，來源于實(shí)變函數(shù)的例題在解題過程中偏重實(shí)變函數(shù)分析技巧，十分繁復(fù)，如果在課堂中詳細(xì)講解，不但需要大量時(shí)間，而且沖淡教學(xué)重點(diǎn)。因此，優(yōu)化例題，有助于教學(xué)內(nèi)容重點(diǎn)突出，方便學(xué)生對(duì)重點(diǎn)內(nèi)容的理解與掌握。此外，泛函分析題目難度差異大，對(duì)于不同基礎(chǔ)的學(xué)生，應(yīng)該選用不同難度層習(xí)題。對(duì)于習(xí)題的難度層次化，有利于學(xué)生掌握基本知識(shí)與方法，并循序漸進(jìn)拔高泛函分析水平。

1.2 精選教材

泛函分析教材的選用對(duì)泛函分析的教學(xué)至關(guān)重要。一本好的教材，不僅便于教師備課與教學(xué)，而且有利于學(xué)生預(yù)習(xí)與自學(xué)。因此，針對(duì)授課對(duì)象的實(shí)際情況應(yīng)該采用相應(yīng)的教材。 目前，主要使用的泛函分析教材，內(nèi)容各異，各有特點(diǎn)。高等教育出版社出版的程其襄等編著的《實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)》[3]一書，以通俗易懂的形式介紹了泛函分析的核心內(nèi)容，包括度量空間、賦范線性空間與內(nèi)積空間三大空間，以及線性算子與線性泛函的基礎(chǔ)概念與基本定理，是目前師范院校廣泛采用的泛函分析教材。武漢大學(xué)劉培德編著的《泛函分析基礎(chǔ)》[4]，詳細(xì)闡述泛函分析基本內(nèi)容，對(duì)于基礎(chǔ)較好學(xué)生是一本不可多得的教材與參考書。北京大學(xué)出版社出版的張恭慶編著的《泛函分析講義》[2]上冊(cè)針對(duì)于本科生教材，該教材比較適用于數(shù)學(xué)專業(yè)本科生，里面例子多以偏微方程應(yīng)用為背景，對(duì)于后續(xù)偏微分方程研究有很大幫助。高等教育出版社出版的夏道行等編著《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》[5]下冊(cè)是泛函分析內(nèi)容，該教材內(nèi)容十分豐富，例題解答詳細(xì)，非常適合初學(xué)者。

2 改進(jìn)教學(xué)方式與方法

教學(xué)方法應(yīng)該結(jié)合實(shí)際，切實(shí)可行。結(jié)合學(xué)生的基礎(chǔ)，利用通俗易懂的例子，由淺入深，逐步歸納引入，努力使概念、結(jié)論形象化、具體化，最大程度讓學(xué)生接受學(xué)習(xí)內(nèi)容。

2.1 重視概念

泛函分析學(xué)習(xí)中會(huì)遇到很多高度抽象的概念，對(duì)這些抽象概念準(zhǔn)確的理解和掌握是后續(xù)證明推理的前提。教學(xué)中，如果學(xué)生對(duì)于概念只停留在死記硬背上，不能深刻理解其背景與本質(zhì)，將對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)造成阻礙，甚至混亂。因此，對(duì)概念的理解和掌握是整個(gè)泛函分析教學(xué)的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)。為了讓學(xué)生更好理解掌握概念，教學(xué)中應(yīng)該注意以下三點(diǎn)。

(1) 注重來源。泛函分析中概念都是從具體應(yīng)用中抽象而來的，很多概念是在具體空間中相關(guān)概念的推廣。比如空間的范數(shù)、內(nèi)積、完備性等概念實(shí)際都是具體空間相關(guān)概念在抽象空間的推廣；算子的范數(shù)、最佳逼近元等很多概念，都是科學(xué)研究需要而產(chǎn)生的。教學(xué)過程中，弄清概念的來源，就會(huì)化抽象為具體，便于學(xué)生理解與記憶，學(xué)生就很容易掌握。

(2) 注重本質(zhì)。有些概念的本質(zhì)非常重要，抓住本質(zhì)，就很容易理解掌握。比如泛函分析空間的同構(gòu)會(huì)多次提到，有線性空間的同構(gòu)、度量空間的等距同構(gòu)、賦范線性空間的同構(gòu)、內(nèi)積空間的同構(gòu)等，這么多類型同構(gòu)，如果全憑記憶，難記且容易混淆。但是如果抓住同構(gòu)的本質(zhì)，即兩個(gè)同類型空間結(jié)構(gòu)相同，就很容易理解和記憶這些概念。

(3)注重類比。泛函分析中有些相似概念卻有本質(zhì)的區(qū)別，有些相似概念既有內(nèi)在聯(lián)系又有不同。比如，稠密集與致密集看起來好像意思相同，其實(shí)不然。稠密集刻畫的是兩個(gè)點(diǎn)集的關(guān)系，致密集刻畫一個(gè)點(diǎn)集的性質(zhì)。再比如，有界集與完全有界集，強(qiáng)收斂與弱收斂等有內(nèi)在聯(lián)系，但在一定條件下又有區(qū)別。教學(xué)過程，這些概念有必要分析區(qū)分，以加深學(xué)生的理解與記憶?？傊?，易混淆概念要對(duì)照分析，多以以圖形、表格、注釋等簡(jiǎn)明易懂方式對(duì)所學(xué)內(nèi)容歸納總結(jié)，運(yùn)用類比、聯(lián)想、歸納、劃歸的數(shù)學(xué)研究方法，把有限維空間的代數(shù)結(jié)構(gòu)和幾何特征延伸、拓展達(dá)到無窮維空間[6]，力求學(xué)生理解、記憶與掌握。

2.2 以問題為導(dǎo)向?qū)W習(xí)理論

由于泛函分析理論具有高度抽象性，如果在課堂上直接灌輸，大多數(shù)學(xué)生會(huì)不知所云，難以接受。但是，如果針對(duì)重要的定理，設(shè)置相應(yīng)的問題，學(xué)習(xí)效果就大不一樣了。首先，設(shè)置問題后，學(xué)生聽課會(huì)更有目的性，帶著問題會(huì)更有收獲。其次，引導(dǎo)學(xué)生思考如何解決問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣與主動(dòng)性。最后，教師抽絲剝繭，對(duì)問題逐一解答，這樣學(xué)生更容易理解和掌握定理。以問題為導(dǎo)向?qū)W習(xí)理論，可以更好地培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、想象與等重要的數(shù)學(xué)能力，提高學(xué)習(xí)泛函分析的興趣與效率。

3 加強(qiáng)課后練習(xí)與輔導(dǎo)

要學(xué)好泛函分析，僅僅課堂花功夫是不夠的，課后練習(xí)與輔導(dǎo)同樣很重要，只有通過切實(shí)有效練習(xí)與輔導(dǎo)，才能最終掌握所學(xué)并加以應(yīng)用。

3.1 根據(jù)學(xué)生基礎(chǔ)，選用合適難度練習(xí)

由于泛函分析題目難易程度差異較大，可以針對(duì)不同層次的學(xué)生，選用不同層次的題目。對(duì)于學(xué)生而言，每一次做題都是彌足珍貴的實(shí)踐，一次獨(dú)立思考自我提升的機(jī)會(huì)。但是，如果題目難度過大，久思不得其解，不僅收獲少，而且增加學(xué)生學(xué)習(xí)的挫折感，不利于后續(xù)學(xué)習(xí)。選擇合適的習(xí)題，不僅能鞏固所學(xué)，學(xué)有所獲，而且能樹立學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)下去的信心。當(dāng)然，適量的難題也是必要的，可以培養(yǎng)學(xué)生攻堅(jiān)克難、永攀高峰的勇氣。

3.2 注重習(xí)題“質(zhì)”與“量”的關(guān)系

處理好習(xí)題“質(zhì)”與“量”的關(guān)系在泛函分析教學(xué)中有著舉足輕重的作用。首先，習(xí)題的質(zhì)量是關(guān)鍵。一道好的習(xí)題，應(yīng)該具有靈活性與啟發(fā)性。這樣的習(xí)題，不僅可以增進(jìn)理解，鞏固所學(xué)，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。其次，習(xí)題的數(shù)量是保障。當(dāng)然，習(xí)題數(shù)量不是越多越好，關(guān)鍵要掌握一個(gè)度。練習(xí)少了，不能達(dá)到熟練掌握的目的，但是習(xí)題量過多，學(xué)生疲于應(yīng)付，反而適得其反?？傊n后習(xí)題要遵循“適度且精，鍛煉能力”的原則。

3.3 多渠道強(qiáng)化課后輔導(dǎo)

泛函分析課后輔導(dǎo)，是泛函分析教學(xué)必不可少的一個(gè)環(huán)節(jié)。傳統(tǒng)的課后輔導(dǎo)方式是師生面對(duì)面直接接觸交流。這種模式，雖然很有效，但是局限性也很明顯。例如，組織課后輔導(dǎo)，師生時(shí)間、地點(diǎn)難以協(xié)調(diào)，而且，學(xué)生的疑問不能及時(shí)解答。隨著科技發(fā)展，人與人之間的交流的方式發(fā)生巨大變化。課后輔導(dǎo)方式也應(yīng)該與時(shí)俱進(jìn)。首先，建立學(xué)習(xí)網(wǎng)頁。該網(wǎng)站主要介紹泛函分析的發(fā)展歷史與應(yīng)用背景，并提供相應(yīng)的習(xí)題供學(xué)生選做。其次，建立網(wǎng)絡(luò)交流平臺(tái)。通過該平臺(tái)，不僅可以及時(shí)了解課堂教學(xué)效果，而且還可以一起分享學(xué)習(xí)資料與學(xué)習(xí)心得。最后，利用網(wǎng)絡(luò)通訊工具。利用網(wǎng)絡(luò)通訊工具，可以有針對(duì)性地對(duì)有疑問的學(xué)生進(jìn)行輔導(dǎo)。有疑難問題的學(xué)生，可以通過拍攝圖片或錄制語音等方式，第一時(shí)間與老師了尋求幫助。

總之，在泛函分析課程教學(xué)過程中，不僅讓學(xué)生掌握所學(xué)內(nèi)容，而且要提高學(xué)生抽象思維、分析、推理等數(shù)學(xué)能力。教師應(yīng)該精選教材，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，改進(jìn)教學(xué)方法，提高課堂教學(xué)效率，做好課后練習(xí)與輔導(dǎo)。此外，教師還應(yīng)該根據(jù)教學(xué)對(duì)象和環(huán)境，靈活使用多種教學(xué)方式與方法，并及時(shí)分析、總結(jié)，不斷探索，方可收到好的教學(xué)效果。

[1] 定光桂．關(guān)于《泛函分析》課程教學(xué)改革的試探[J]．高等理科教育，2001，37(3)：8-10.

[2] 張恭慶，林源渠.泛函分析講義[M]. 北京: 北京大學(xué)出版社，1987.

[3] 程其襄，張奠宙，魏國(guó)強(qiáng)，胡善文. 實(shí)變函數(shù)和泛函分析基礎(chǔ)[M]. 北京: 高等教育出版社，2010.

[4] 劉培德．泛函分析基礎(chǔ)[M]．北京：科學(xué)出版社，2011.

[5] 夏道行，吳卓人，嚴(yán)紹宗. 實(shí)變函數(shù)與泛函分析[M]. 北京：高等教育出版社，2010.

[6] 楊世國(guó)．Minkowski 不等式的逆向及其應(yīng)用[J]．哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，36(1)：55-58.