☉江蘇如東縣掘港鎮(zhèn)童店初級(jí)中學(xué) 沈衛(wèi)衛(wèi)

動(dòng)點(diǎn)函數(shù)
——中考的“常青藤”

☉江蘇如東縣掘港鎮(zhèn)童店初級(jí)中學(xué) 沈衛(wèi)衛(wèi)

縱觀(guān)每一年的中考題，不難發(fā)現(xiàn)有一類(lèi)動(dòng)點(diǎn)函數(shù)的選擇題屢屢出現(xiàn)，成為中考場(chǎng)上的亮點(diǎn).這類(lèi)題一般處在選擇壓軸題的位置，需要綜合調(diào)度知識(shí)來(lái)解決.通過(guò)梳理發(fā)現(xiàn)承載這類(lèi)函數(shù)的載體元素一般是線(xiàn)段、周長(zhǎng)、三角、面積等，很自然，在考查動(dòng)點(diǎn)函數(shù)的同時(shí)融入了諸多圖形的核心知識(shí)，處于壓軸題的位置成為應(yīng)然之態(tài).本文通過(guò)2016年的中考題作一類(lèi)析，供參考.

一、線(xiàn)段函數(shù)

例1（2016·西寧第10題）如圖1，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B是x軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊作等腰直角△AB C，使∠BAC=90°，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為y，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖像大致是（）.

圖1

圖2

點(diǎn)評(píng)：本題以點(diǎn)的坐標(biāo)為載體，考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖像.解題的關(guān)鍵是明確題意，把點(diǎn)的坐標(biāo)與線(xiàn)段關(guān)聯(lián)起來(lái)，通過(guò)輔助線(xiàn)構(gòu)造三角形形成對(duì)接，隱形考查了三角形的全等，進(jìn)而建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)關(guān)系式確定的函數(shù)類(lèi)型結(jié)合自變量的取值范圍判斷出正確的函數(shù)圖像.

例2（2016·泰安第20題）如圖3，正△ABC的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P為BC邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于點(diǎn)D.設(shè)BP=x，BD=y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖像大致是（）.

圖3

圖4

點(diǎn)評(píng)：x、y表示的都是線(xiàn)段長(zhǎng)，據(jù)此可排除A、D，但仍不能確定答案，還需要構(gòu)建x、y之間的關(guān)聯(lián).由△ABC是正三角形，∠APD=60°，根據(jù)一個(gè)常見(jiàn)的相似模型“一線(xiàn)三等角”可證得△BPD∽△CAP，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可獲得函數(shù)關(guān)系，答案自明.

二、周長(zhǎng)函數(shù)

例3（2016·衢州市第10題）如圖5，在△ABC中，AC=BC=25，AB= 30，D是AB上一點(diǎn)（不與A、B重合），DE⊥BC，垂足是點(diǎn)E，設(shè)BD=x，四邊形ACED的周長(zhǎng)為y，則下列圖像能大致反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是（）.

圖5

圖6

點(diǎn)評(píng)：確定y與x的函數(shù)關(guān)系的關(guān)鍵在于將DE、BE通過(guò)x表達(dá)出來(lái)，而這一關(guān)鍵仍離不開(kāi)相似性的構(gòu)造，因此本題綜合考查了函數(shù)圖像、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí).另外，自變量的取值范圍也不容忽視

三、三角函數(shù)

例4（2016·煙臺(tái)市第12題）如圖7，⊙O的半徑為1，AD、BC是⊙O的兩條互相垂直的直徑，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)（P點(diǎn)與O點(diǎn)不重合），沿O→C→D的路線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)AP=x，sin∠APB=y，那么y與x之間的關(guān)系圖像大致是（）.

圖7

圖8

點(diǎn)評(píng)：本題有轉(zhuǎn)折點(diǎn)，結(jié)合選擇支可以估測(cè)應(yīng)該是分段函數(shù)，其中轉(zhuǎn)折點(diǎn)是，故根據(jù)題意可分1＜x＜兩種情況處理，確定出三角函數(shù)y與x的關(guān)系式，是解本題的關(guān)鍵，其中第二段結(jié)合了圓的核心知識(shí)，形成了代數(shù)、幾何、三角的多重綜合.

四、面積函數(shù)

例5（2016·濟(jì)南市第15題）如圖9，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、E分別是AB、AD、CB上的點(diǎn)，AM=CE= 1，AN=3，點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線(xiàn)MB-BE向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)N，以相同的速度沿折線(xiàn)ND-DCCE向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，設(shè)△APQ的面積為S，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，則S與t函數(shù)關(guān)系的大致圖像為（）.

圖9

圖10

點(diǎn)評(píng)：求解析式和排除法相結(jié)合可減縮求解歷程，作為分段的面積函數(shù)有時(shí)候全部確定比較麻煩，此時(shí)要注意審時(shí)度勢(shì)，看看有無(wú)突破口.求出第一段的解析式后即可排除A、B兩個(gè)選項(xiàng).而C、D選項(xiàng)的本質(zhì)差別在于最后的落點(diǎn)與第一段的最高點(diǎn)有高低之別，故而再求出這個(gè)終端值即可.

例6（2016·荊門(mén)市第8題）如圖11，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在正方形的邊上沿A→B→C的方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x（cm），在下列圖像中，能表示△ADP的面積y（cm2）關(guān)于x（cm）的函數(shù)關(guān)系的圖像是（：）.

圖11

圖12

點(diǎn)評(píng)：本題作為選擇題，通過(guò)觀(guān)察面積走勢(shì)即可確定.若從求解析式的角度，本題用到的知識(shí)點(diǎn)是三角形的面積、一次函數(shù)及自變量的取值范圍等.

例7（2016·青海省第19題）如圖13，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形CEFG，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→D→E→F→G→B的路線(xiàn)繞多邊形的邊勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止（不含點(diǎn)A和點(diǎn)B），則△ABP的面積S隨著時(shí)間t變化的函數(shù)圖像大致是（：）.

圖13

圖14

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于本題，沒(méi)有必要具體確立每一段的函數(shù)解析式，只要根據(jù)點(diǎn)P在A(yíng)D、DE、EF、FG、GB上時(shí)的不同狀態(tài)，探測(cè)出△ABP的面積S與時(shí)間t的變化態(tài)勢(shì)即可.

例8（2016·白銀市、臨夏州等）如圖15，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，點(diǎn)P是△ABC邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿B→A→C的路徑移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，設(shè)BD=x，△BDP的面積為y，則下列能大致反映y與x函數(shù)關(guān)系的圖像是（：）.

圖15

圖16

點(diǎn)評(píng)：本題單憑走勢(shì)難以確定，只有具體求出每一段的解析式才能作出判斷，其關(guān)鍵仍然是轉(zhuǎn)折點(diǎn)的確定.

結(jié)語(yǔ)：四類(lèi)問(wèn)題均考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖像.函數(shù)圖像是典型的數(shù)形結(jié)合，圖像應(yīng)用信息廣泛，備受命題專(zhuān)家的青睞，成為選擇題中考查學(xué)生多種能力的有效載體，綜合度大，立意高遠(yuǎn)，可謂中考的“常青藤”.尤其是面積函數(shù)，一般呈分段態(tài)勢(shì)，所以解決面積函數(shù)的關(guān)鍵是分類(lèi)討論思想的使用，要么具體求出函數(shù)關(guān)系式，要么觀(guān)其形態(tài)，探其走勢(shì)，通過(guò)排除法確立.

1.邢成云.備受青睞的運(yùn)動(dòng)與圖像［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中），2016（8）.