☉江蘇如皋市長江鎮(zhèn)郭園初級中學 朱玫瑰

明辨特殊與一般，感悟數(shù)學小用與大用
——由兩道高中自主招考題說起

☉江蘇如皋市長江鎮(zhèn)郭園初級中學 朱玫瑰

我們知道，不少優(yōu)質(zhì)高中自主招生考試往往獨立于當?shù)亟y(tǒng)一中考之外，其命題風格也不同于中考命題原則，往往在初、高中銜接，幾何拓展，高中知識改編成初中生能理解的數(shù)學語言后，考查學生靈活運用知識的能力.本文選取兩道高中自主招生考題，解析思路并跟進命題思考，供分享.

一、兩道高中自主招考試題及解析

考題1（2016年江蘇省海門中學自主招考題）如圖1，在x軸的上方，直角∠BOA繞原點O按順時針方向旋轉.若∠BOA的兩邊分別與函數(shù)的圖像交于B、A兩點，則∠OAB大小的變化趨勢為_____（填不變或變大或變小等情形）（以下兩者選一小題作答）

圖1

圖2

思路解析：可以構造圖2中的兩條垂線段AC、BD.容易根據(jù)“一線三直角”得出△BOD∽△OAC，接下來從這兩個相似三角形的面積比突破，△BOD的面積是△AOC的面積是它們的面積比為1∶3，所以相似比為即OB，即在Rt△AOB中，tan∠OAB=

變式思考1：如圖3，在x軸的上方，直角∠BOA繞原點O按順時針方向旋轉.若∠BOA的兩邊分別與函數(shù)的圖像交于B、A兩點，則∠OAB還是定值嗎？

圖3

圖4

思路解析：類似地，還可作出垂線段AC、BD，分析出兩個相似三角形△AOC、△BOD，它們的相似比為1，于是BO∶AO=1，即tan∠OAB=1，即∠OAB=45°.

變式思考2：如圖4，在x軸的上方，直角∠BOA繞原點O按順時針方向旋轉.若∠BOA的兩邊分別與函數(shù)的圖像交于B、A兩點，則∠OAB還是定值嗎？

走向一般，小結性質(zhì)：現(xiàn)在讓我們“走向一般”，仍然以圖4為例，在x軸的上方，直角∠BOA繞原點O按順時針方向旋轉.若∠BOA的兩邊分別與函數(shù)和（n＞ 0）的圖像交于B、A兩點，則∠OAB還是定值嗎？

考題2（2016年江蘇省海門中學自主招生考題）（1）類比探究：根據(jù)完全平方公式a2-2ab+b2=（a-b）2，可知a

（3）學以致用：某公司為一家制冷設備廠設計生產(chǎn)一種長方形薄板，其周長為4米，這種薄板須沿其對角線折疊后使用.如圖5，長方形ABCD（AB＞AD）為薄板的形狀，沿AC折疊后，AB交DC于點P.當△ADP的面積最大時最節(jié)能.

圖5

（3）①設AB=x，則BC=2-x.

因x＞2-x，故1＜x＜2.

設DP=y，則PC=x-y.

因△ADP≌△CB′P，故PA=PC=x-y.

由PA2=AD2+DP2，得（x-y）2=（2-x）2+y2?1＜x＜2.當且僅當S取得最大值.1

解后反思：這道考題由特殊到一般，再到應用，讓學生在一道試題的求解之后感受到數(shù)學追求從特殊到一般的數(shù)學精神，也體會到數(shù)學知識在生活中應用的廣泛性，以及解決問題的力量感（有力地解釋了道理，使人徹底信服）.

二、關于“特殊到一般”思想的進一步思考

1.理解數(shù)學，需要明辨“特殊”與“一般”之間的關系.

數(shù)學的本質(zhì)是什么？眾說紛紜，不同的數(shù)學家有不同的表達，有說抽象，有說運算，有說數(shù)形結合，有說數(shù)學思想；就是數(shù)學思想，不同的數(shù)學家關于分類也有很多層次的探討.這里不想糾結太多數(shù)學本質(zhì)、數(shù)學思想或數(shù)學精神，只想結合上述兩道“自招”考題，就特殊與一般稍作闡釋.進入初中，很多數(shù)學概念或性質(zhì)教學，都力圖從特殊走向一般，比如，用字母表示數(shù)，圖形的抽象等.以上面的兩道典型考題來說，當函數(shù)解析式中的系數(shù)以一個特殊數(shù)值給定時，探究相關性質(zhì)或展開配方、變形，這就是特值引路，而當特殊值不斷變式直至參數(shù)時，就是一般.學生需要感受考題中從特殊走向一般的這種成果擴大的變化.

2.中學數(shù)學已不止于“特殊”，應引導學生走向“一般”.

中學數(shù)學與小學數(shù)學一個顯著不同就是：中學數(shù)學引導學生從特殊走向一般.最突出的例子是，初中代數(shù)起始階段就引入了字母表示一個數(shù)，而這個數(shù)可能是正數(shù)、0或負數(shù).很多數(shù)學適應性不好的學生容易走不出小學的思維慣習，看到一個數(shù)a，習慣認為它是正數(shù)，從而在解題中漏解或錯解.再比如，對于上面的考題1，在學生解題時，常常是一題一解、一題一得，但是作為教師，在預設該題講評時，就應該深入下去、對于走向一般，認識到兩個反比例函數(shù)解析式中的系數(shù)k是可以變換的，∠OAB會隨著兩個系數(shù)k的不同取值而隨之確定.再比如，對于圍長方形這一經(jīng)典問題背景，給定一個數(shù)值的長度圍長方形，則圍成正方形的面積最大，在學習二次函數(shù)之后，學生可以基于二次函數(shù)視角，進行有力解釋.

3.在“特殊與一般”之后引導學生體會數(shù)學小用與大用.

就“考題2”的解題來說，前面兩問經(jīng)歷了從特殊到一般的過程，而最后一問回歸生活應用，讓看似“無用”的數(shù)學性質(zhì)找到了生活中的解釋.事實上，恰恰相反，前面關于數(shù)學性質(zhì)從特殊到一般的探究與演算，使得這種數(shù)學模型得到嚴格證明，才保證了在后面生活情境中應用的正確性.從這個意義說，前者是數(shù)學之“大用”，后面的生活應用只是數(shù)學的“小用”.類似的題例還有很多，比如，函數(shù)來源于生活，函數(shù)模型可用來刻畫很多情境問題，實現(xiàn)問題解決；但函數(shù)本身也有其數(shù)學上的價值，作為一門重要的數(shù)學分支，函數(shù)家族成員龐雜，“變量說”反映函數(shù)的本質(zhì).此外，我們?nèi)绻艹浇忸}教學的讓學生學會解一道題或一類題的局限，而使學生認識到解這類問題能收獲或感悟出來數(shù)學的精神、本質(zhì)、思想或方法，則學生就領略到了數(shù)學之“大用”.

三、寫在后面

數(shù)學自主招生考試領域廣泛，命題研究值得深入.是簡單的脫離課本、摘選競賽試題，還是立足課本，將一些教材內(nèi)容拓展深化？我們還有很多的研究課題值得開展，本文拋磚引玉，期待更多的案例跟進和思考.

1.朱金祥，劉東升.數(shù)學教學中例題變式的策略——基于教學追問的視角［J］.教育研究與評論（中學教育教學版），2016（9）.

2.傅種孫.平面幾何教本［M］.北京：北京師范大學出版社，1982.

3.鄭毓信.“開放的數(shù)學教學”新探［J］.中學數(shù)學月刊，2007（7）.

4.中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.

5.羅增儒.數(shù)學的領悟［M］.鄭州：河南科學技術出版社，1997.

6.章建躍.“題型+技巧”的危害［J］.中小學數(shù)學（高中版），2010（11）.