☉浙江寧波市曙光中學(xué) 王海燕

深刻理解習(xí)題結(jié)構(gòu)，跟進(jìn)變式拓展追問
——以圓為背景的綜合題改編例說

☉浙江寧波市曙光中學(xué) 王海燕

近讀文1，文中提到：“經(jīng)驗(yàn)教師常常重視對例題進(jìn)行恰當(dāng)改編，拓展追問，使得例題的教學(xué)功能大為增強(qiáng)，有效提高課堂教學(xué)效果.并且結(jié)合具體的改編題例闡釋了常用的習(xí)題變式策略：簡單改編、置換設(shè)問、增設(shè)鋪墊、拓展生長.主要目的是面向全體、滲透方法、潤物無聲、鼓勵挑戰(zhàn).”筆者深受教益，在近期中考復(fù)習(xí)時也注重對一些例題或習(xí)題進(jìn)行改編變式，豐富題目的教學(xué)與訓(xùn)練功能.本文整理以圓為背景的綜合題，解讀改編試題的意圖與教學(xué)立意，并跟進(jìn)思考，供研討.

一、以圓為背景的綜合題例解讀

題例1如圖1，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，交斜邊AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為OB的中點(diǎn)，連接CE并延長交⊙O于點(diǎn)F，點(diǎn)F恰好落在弧AB的中點(diǎn)，連接AF并延長與CB的延長線相交于點(diǎn)G，連接OF.

（1）求證：BG=2OF；

（2）求證：BG=2BC；

（3）求sin∠BAG的值；

（4）求sin∠ACB的值；

圖1

（5）若⊙O的半徑為2，求△ACG的周長.

改編解讀：本題由2016年山東聊城中考題改編而來.由該題的條件可解讀出OF是△ABG的中位線，△OEF≌△BEC，于是前兩問可順利突破；而發(fā)現(xiàn)特殊的等腰直角三角形△ABG是破解第（3）、（4）問的關(guān)鍵；沿著前面的思考，增設(shè)強(qiáng)化條件圓的半徑之后，△ACG的三邊都可解出.這樣5個小問訓(xùn)練下來，可以加深學(xué)生對這類圖形結(jié)構(gòu)的理解，使得圍繞該圖或條件設(shè)計(jì)出來的不同問題都達(dá)到訓(xùn)練效果.

題例2如圖2，半徑為5的⊙O中，直徑AB的不同側(cè)有定點(diǎn)C和動點(diǎn)P.已知sin點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動，過點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長線交于點(diǎn)Q.

（1）求AC的長；

（2）求證：△ABC∽△PQC；

（3）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AB對稱時，求PQ的長；

（4）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，CQ取到最大值？求此時CQ的長；

圖2

（5）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到弧AB的中點(diǎn)時，求CQ的長.

改編解讀：這道題的出發(fā)點(diǎn)和關(guān)鍵是△ABC∽△PQC，第（3）、（4）問主要訓(xùn)練學(xué)生轉(zhuǎn)化思路，把對△CPQ的研究轉(zhuǎn)化到△ABC中；第（5）問將思路轉(zhuǎn)化聚焦在△APC中，首先要定位點(diǎn)P是半圓AB的中點(diǎn)，然后△APC中有特殊角度（∠ACP=45°），當(dāng)CP被突破之后，再根據(jù)比例關(guān)系對應(yīng)得出CQ的長.

題例3如圖3，直線l與⊙O相切于點(diǎn)D，過圓心O作EF∥l交⊙O于E、F兩點(diǎn)，點(diǎn)A是⊙O上一點(diǎn)，連接AE、AF，并分別延長交直線l于B、C兩點(diǎn).

圖3

（1）小明發(fā)現(xiàn)∠ABC與∠ACB是互余關(guān)系，請直接指出“小明發(fā)現(xiàn)”的真假.

（4）當(dāng)⊙O的半徑r=5，BD=12時，

①求tan∠ACB的值；

②求AB或BC或AC的長.（三選一，簡述步驟即可）

改編解讀：第（1）問起熱身作用，讓學(xué)生感受圖3中的互余關(guān)系；第（2）、（3）問所給的兩個銳角三角函數(shù)值分別對應(yīng)著兩種不同形狀的直角三角形，訓(xùn)練和教學(xué)的目的是引導(dǎo)學(xué)生注意明辨；最后一問需要構(gòu)造直角三角形，研究此時圖形中所有直角三角形的形狀，只要過點(diǎn)E作EH⊥BD于H，連接OD，就可將問題轉(zhuǎn)化到△BEH中實(shí)現(xiàn)問題突破；最后一問較有挑戰(zhàn)，因?yàn)椴徽撉竽囊粭l邊長都需要較繁雜的運(yùn)算，如果能熟練利用銳角三角函數(shù)值輔助運(yùn)算，可以適當(dāng)簡化，訓(xùn)練時先讓學(xué)生經(jīng)歷求解，然后優(yōu)化、簡化，體會數(shù)學(xué)求簡的追求.

題例4如圖4，AB是⊙O的直徑，PA、PC分別與⊙O相切于點(diǎn)A、C，PC交AB的延長線于點(diǎn)D，DE⊥PO交PO的延長線于點(diǎn)E.

圖4

（1）求證：△APO∽△EDO；

（3）在（2）的條件下，直接判斷DE與圓O的位置關(guān)系；

（5）在（4）的條件下，求△POD的外接圓的直徑.

改編解讀：第（2）、（4）問中的兩個銳角三角函數(shù)值分別對應(yīng)著不同的直角三角形，通過并列設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生注意辨析，在（2）的條件下會出現(xiàn)特殊角度30°，此時點(diǎn)E成為圓O上的一點(diǎn)，DE也特殊化為圓O的切線；第（4）問強(qiáng)化“tan∠APC=”后，圖形中直角三角形有兩種重要的形狀，即“3，4，5”或“1，2的形狀，解讀出這兩種形狀后，對于第（4）問求解很關(guān)鍵；最后一問并不需要構(gòu)造△POD的外接圓，可以根據(jù)教材上的拓展題（正弦定理）來獲得快速突破，因?yàn)椤螦DP的正弦函數(shù)值可以在△APD中思考，而△OPD的三邊都容易求得.

二、習(xí)題改編變式的進(jìn)一步思考

1.深刻理解習(xí)題“深層結(jié)構(gòu)”是改編的前提條件.

與數(shù)學(xué)概念教學(xué)一樣，首先教師本人要對數(shù)學(xué)概念有深刻的理解，比如，教學(xué)數(shù)軸時，在一個數(shù)學(xué)老師眼中，數(shù)軸不只是“三要素”這么簡單，數(shù)學(xué)承載的是數(shù)、形結(jié)合，是后續(xù)兩點(diǎn)間距離公式的平臺，是從“一維數(shù)軸”發(fā)展到“二維平面直角坐標(biāo)系”的生長，是數(shù)與點(diǎn)一一對應(yīng)、連續(xù)性的理解平臺，等等.所以在改編習(xí)題時，需要對習(xí)題的深層結(jié)構(gòu)有深刻的理解，如果教師本人只是初步對問題的思路獲得了貫通，而沒有明辨問題的深層結(jié)構(gòu)，是不容易想到如何改編的；如果沒有想清楚問題的真正難點(diǎn)，就不知道在哪些地方設(shè)計(jì)鋪墊式問題；如果沒看清問題結(jié)構(gòu)，就難以將問題沿著這個結(jié)構(gòu)再向縱深處拓展、變式、生長.

2.習(xí)題改編要明辨重點(diǎn)，突破難點(diǎn).

在深刻理解習(xí)題的基礎(chǔ)上，要認(rèn)真思考習(xí)題的重點(diǎn)、難點(diǎn)所在，接著在這些重、難點(diǎn)之處進(jìn)行細(xì)化，通過一些鋪平墊穩(wěn)式的系列設(shè)問，使得難點(diǎn)突破變得自然、合理.比如上文題例2中，這道考題常常會以一道填空難題的方式出現(xiàn)，直接求第（3）或（4）問，這時的難點(diǎn)就在于學(xué)生能否發(fā)現(xiàn)和利用第（2）問，將問題有效轉(zhuǎn)化.比如，題例4中，原題“tan∠APC=”是在總題干中，為了引起學(xué)生重視這個強(qiáng)化條件的價值，我們先設(shè)計(jì)了第（2）問，讓學(xué)生感受到隨著銳角三角函數(shù)值的變化，三角形的形狀會發(fā)生變化，圖形位置會發(fā)生變化，保持對這些銳角三角函數(shù)值的敏感，發(fā)現(xiàn)特殊直角三角形將起到突破性作用.

3.習(xí)題改編要照顧全體并鼓勵少數(shù)高層次學(xué)生向上挑戰(zhàn).

從文中提供的4個題例來看，我們都安排了5個小問，其中第（5）問極具挑戰(zhàn)性，根據(jù)我們的教學(xué)實(shí)踐，在限時15分鐘左右答題時，只有前20%的學(xué)生才有機(jī)會挑戰(zhàn)滿分（我們一般按每個小問20分批閱），這樣改編、設(shè)問、評價的目的正是照顧全體并鼓勵少數(shù)高層次學(xué)生向上挑戰(zhàn)的命題意圖.其他學(xué)生在限時內(nèi)沒有答對，還可以后續(xù)訂正時再深入思考，直至弄懂.

三、寫在后面

有人說，命題能力是教師專業(yè)基本功的基礎(chǔ).筆者贊同這樣的說法，而且一個數(shù)學(xué)教師可以通過命題改編變式的訓(xùn)練，提高自己對理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生的認(rèn)識.本文正是在相關(guān)文獻(xiàn)的啟發(fā)下，結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐、命題改編案例闡述一些個性化的認(rèn)識，敬請同行批評指正.

1.%朱金祥，劉東升.數(shù)學(xué)教學(xué)中例題變式的策略——基于教學(xué)追問的視角［J］.教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)版），2016（9）.

2.%鮑建生，顧冷沅等.變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1、2、3）.

3.%付小飛.明辨并列與遞進(jìn)，引導(dǎo)分離和聚焦——2016年江蘇蘇州中考第28題解析與教學(xué)思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（7）.

4.%宋秀云.讓“簡單內(nèi)容”教得深刻［J］.數(shù)學(xué)通報，2016，55（4）.