☉浙江象山縣石浦中學(xué)鄔云德

數(shù)學(xué)定理教學(xué)方法
——以“相似三角形判定定理1”為例

☉浙江象山縣石浦中學(xué)鄔云德

一、背景介紹

定理是用推理的方法判斷為正確的命題，它包括數(shù)學(xué)中的性質(zhì)定理、判定定理、公式等.定理與原理“一字之差”，但邏輯形式卻有天壤之別.原理教學(xué)主要是由特殊到一般的歸納推理，定理教學(xué)主要是由一般到特殊的演繹推理；原理主要接受實(shí)踐的檢驗(yàn)，定理必須經(jīng)過(guò)邏輯的證明；原理教學(xué)可以借用“概念形成”的方式來(lái)進(jìn)行，定理教學(xué)要經(jīng)歷“提出問(wèn)題→操作觀察→歸納猜想→分析證明→多樣表達(dá)→解決問(wèn)題→反思內(nèi)化”的過(guò)程.但在以浙教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第四章第4節(jié)“相似三角形的判定定理1”為載體的“多人同課異構(gòu)”式的研修活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)，課堂教學(xué)普遍沒有遵循定理教學(xué)的基本規(guī)范.網(wǎng)上查閱同類課例發(fā)現(xiàn)也有類似現(xiàn)象.鑒于此，筆者在重復(fù)式觀課與反思的基礎(chǔ)上，對(duì)該課的教學(xué)進(jìn)行重建，改進(jìn)后的教學(xué)過(guò)程與效果得到了同仁的認(rèn)可.現(xiàn)將其整理出來(lái)，以饗讀者.

二、教學(xué)實(shí)錄

環(huán)節(jié)1：經(jīng)歷回顧并提出問(wèn)題的過(guò)程——明確研究問(wèn)題.

師：我們?cè)谘芯績(jī)蓚€(gè)三角形全等的判定時(shí)，用分類探索的策略和用畫圖與實(shí)驗(yàn)來(lái)證實(shí)（或用推理方法來(lái)證明）的方法，獲得了判定兩個(gè)三角形全等除定義外，還有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”等方法.由于全等三角形是相似三角形的特殊情況，判定兩個(gè)三角形相似除定義外，是否也有類似的判定方法？本節(jié)課我們類比研究?jī)蓚€(gè)三角形全等的判定方法來(lái)研究?jī)蓚€(gè)三角形相似的判定方法（.揭示課題）

環(huán)節(jié)2：探索三角形相似的條件——生成相似三角形判定定理1.

師：有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似嗎？為什么？

生1：不一定相似.例如，含60°角的直角三角形與含45°角的直角三角形不相似.

師：不錯(cuò).否定結(jié)論只要舉個(gè)反例即可.有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似嗎？

師：若不能肯定或否定的話，請(qǐng)先依次完成下列任務(wù).

（1）在白紙上畫一個(gè)△ABC.

（2）作一個(gè)△A′D′E′，使∠A′=∠A，∠D′=∠B.

（3）議一議：△A′D′E′與△ABC是不是相似三角形？（待學(xué)生完成任務(wù)）

師：△A′D′E′與△ABC是不是相似三角形？

生2：好像相似.但說(shuō)不出它們對(duì)應(yīng)邊成比例的理由.

師：雖然不能完全肯定，但可以提出這樣的猜想：有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.下面我們來(lái)證明這個(gè)猜想是正確的.現(xiàn)在請(qǐng)大家先依次完成下列任務(wù).

（1）在所畫的圖形上標(biāo)注已知條件.

（2）結(jié)合圖形寫出已知與求證.

（待學(xué)生完成任務(wù)）

師：如圖1，要證明△A′D′E′∽△ABC，只要證什么？

生3：因?yàn)椤螦′=∠A，∠D′ =∠B，∠E′=∠C，所以只要證

圖1

師：有道理，現(xiàn)在只能依據(jù)相似三角形的定義.我們學(xué)過(guò)的哪個(gè)結(jié)論與比例線段有關(guān)？

生4：由平行線截得的比例線段的基本事實(shí)與比例線段有關(guān).

師：好的.如圖1，若在△ABC中能作一個(gè)△ADE，使△A′D′E′≌△ADE，則要證△A′D′E′∽△ABC，只要證△ADE∽△ABC.能作一個(gè)△ADE，使△A′D′E′≌△ADE嗎？

生5：能.因?yàn)椤螦′=∠A，在AB上截取AD=A′D′，作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，則∠ADE=∠B=∠D′，所以△A′D′E′≌△ADE（ASA）.

師：好的.因?yàn)镈E∥BC，所以可得哪些結(jié)論？

生6：因?yàn)镈E∥BC，所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C，

（眾生困惑、期待）

，所以△ADE∽△ABC.又△A′D′E′≌△ADE，所以△A′D′E′∽△ABC（相似三角形的傳遞性）.

師：下面請(qǐng)大家按這樣的思路把證明過(guò)程完整地寫出來(lái).

（待學(xué)生完成任務(wù)）

師：這樣我們得到了如下的相似三角形判定定理1：

有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

師：在證明過(guò)程中還可得以下結(jié)論（課本中稱它為預(yù)備定理）：

平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.師：怎樣用幾何語(yǔ)言來(lái)表示相似三角形判定定理1？生7：在△A′D′E′和△ABC中，若∠A′=∠A，∠D′=∠B，則△A′D′E′∽△ABC.

師：好的.請(qǐng)大家課后用幾何語(yǔ)言來(lái)表示預(yù)備定理.證明判定定理1的基本思路是什么？

生8：根據(jù)相似三角形的傳遞性，通過(guò)構(gòu)造全等三角形來(lái)證明.

生9：通過(guò)構(gòu)造全等三角形把分散的條件集中起來(lái).

師：有道理.我們根據(jù)相似三角形的傳遞性，用構(gòu)造全等三角形的方法實(shí)現(xiàn)化歸.這種化歸思想以后會(huì)經(jīng)常用到.

環(huán)節(jié)3：參與定理應(yīng)用的活動(dòng)——合作解決有代表性的問(wèn)題.

師：現(xiàn)在我們一起解決下列問(wèn)題.

問(wèn)題：在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，為了測(cè)量河寬AB，小聰采用了圖2所示的方法：從A處沿與AB垂直的直線方向走45m到達(dá)C處，插一根標(biāo)桿，然后沿同方向繼續(xù)走15m到達(dá)D處，再右轉(zhuǎn)90°走到E處，使B、C、E三點(diǎn)恰好在一條直線上.量得DE＝20m，這樣就可以求出河寬AB.請(qǐng)你說(shuō)明理由，并算出結(jié)果.

師（稍停頓后）：誰(shuí)來(lái)說(shuō)明理由并計(jì)算其結(jié)果？

圖2

生10：因?yàn)锳B⊥AD，DE⊥AD，所以∠BAC=∠EDC=90°.因?yàn)锽、C、E三點(diǎn)在一條直線上，所以∠ACB=∠DCE.所以△ABC∽△DEC（有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似），所以又

答：河寬AB是60m.

師：好的.解決這個(gè)問(wèn)題經(jīng)歷了哪幾個(gè)基本步驟？

生11：先根據(jù)已知條件判定兩個(gè)三角形相似，再用相似三角形的性質(zhì)來(lái)計(jì)算.

師：解題的關(guān)鍵是什么？

生12：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出合適的方程.

師：好的.在幾何計(jì)算中，經(jīng)常要運(yùn)用方程思想.能用同樣的道理，再設(shè)計(jì)幾種測(cè)量河寬AB的方法嗎？請(qǐng)大家合作研討.

（約4分鐘后）

師：誰(shuí)來(lái)匯報(bào)設(shè)計(jì)的方案？

生13：如圖3，只要CD∥AB，使A、C、E三點(diǎn)共線，B、D、E三點(diǎn)共線，并量出AC、CE、CD的長(zhǎng)、就能求出AB的長(zhǎng).

生14：如圖4，在BA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D，在AB的右側(cè)取點(diǎn)C，連接AC，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，并量出AC、DE、AD的長(zhǎng)，就能求出AB的長(zhǎng).

圖3

圖4

圖6

生15：如圖5，只要DE∥AB，使A、C、D三點(diǎn)共線，B、C、E三點(diǎn)共線，并量出AC、CD、DE的長(zhǎng)，就能求出AB的長(zhǎng).

生16：如圖6，只要BA⊥CD，∠C+∠D=90°，并量出CA、AD的長(zhǎng)，就能求出AB的長(zhǎng).

師：太有才了！這些都是可行的方法.下面請(qǐng)大家完成課本中的練習(xí)題.

（待學(xué)生完成任務(wù)后教師組織學(xué)生交互反饋與評(píng)價(jià)）

環(huán)節(jié)4：參與回顧與思考的活動(dòng)——合作進(jìn)行反思與總結(jié).

師：本節(jié)課研究了哪些內(nèi)容？

生17：本節(jié)課研究了相似三角形判定定理及其應(yīng)用.

師：好的.我們是怎樣研究的？

生18：先探索并證明判定定理1，再用判定定理1解決實(shí)際問(wèn)題.

師：不錯(cuò).發(fā)現(xiàn)判定定理1的策略與方法分別是什么？

生19：策略是分類討論，方法是畫圖、推理.

師：好的.這是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論常用的經(jīng)驗(yàn).

師：大家在學(xué)習(xí)過(guò)程中還有哪些收獲或體會(huì)？

生20：三角形按相似的規(guī)則變化時(shí)，對(duì)應(yīng)角的度數(shù)保持不變.

師：不錯(cuò).圖形的相似具有保持對(duì)應(yīng)角度數(shù)不變的性質(zhì).

生21：分類討論是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的基本策略.

生22：只要∠A′=∠A，就可以在△ABC中作一個(gè)△ADE，使△A′D′E′≌△ADE.

生23：化不熟悉的問(wèn)題為熟悉的問(wèn)題是解決問(wèn)題的重要思想方法.

生24：用相似三角形知識(shí)能解決許多實(shí)際問(wèn)題.

生25：用傳遞性證兩個(gè)三角形相似時(shí)，只要△A′D′E′∽△ADE即可.

生26：盡管測(cè)量河寬的方法具有多樣性，但要選擇簡(jiǎn)單的方法.

生27：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可列出多個(gè)方程，但要選擇合適的方程.

師：好！這些收獲與體會(huì)非常有價(jià)值，對(duì)后繼學(xué)習(xí)有指導(dǎo)作用.

三、教學(xué)分析

探索與證明相似三角形判定定理1的思想方法對(duì)后繼學(xué)習(xí)有指導(dǎo)作用.定理的探索與證明的過(guò)程和所蘊(yùn)含的歸納思想、化歸思想、演繹思想等，用定理解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程和所蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想、方程思想等及測(cè)量河寬的多樣化設(shè)計(jì)方案，這些對(duì)發(fā)展學(xué)生的智力、能力和個(gè)性有積極的影響.目前在該課的教學(xué)中，大多數(shù)教師沒有體現(xiàn)分類探索的策略；有些教師探索判定定理和證明定理之前的分析過(guò)程短暫；大多數(shù)教師在獲得判定定理和解決實(shí)際問(wèn)題之后缺乏必要的反思；大多數(shù)教師在認(rèn)知過(guò)程中沒有留給學(xué)生充足的自主思考與實(shí)踐的時(shí)間和合作交流的機(jī)會(huì).

本課例在“精致化”分析基礎(chǔ)上，改變課本先講預(yù)備定理再講判定定理1的做法，將其教學(xué)立意于過(guò)程教育，并從學(xué)生已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，運(yùn)用教師價(jià)值引導(dǎo)與學(xué)生自主建構(gòu)相結(jié)合的適度開放的方式，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的認(rèn)知過(guò)程.在“回顧并提出問(wèn)題”的教學(xué)中，既有回顧研究?jī)蓚€(gè)三角形全等的判定的思想方法，以激活研究全等三角形判定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，又有提出問(wèn)題的過(guò)程，以建立新舊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系和激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在“探索并證明判定定理1”的教學(xué)中，既有借助已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行“分類探索→畫圖猜想→分析證明→多樣表達(dá)”的過(guò)程，以獲得判定定理1和預(yù)備定理及發(fā)展探索與證明的能力，又有獲得判定定理之后的反思，以內(nèi)化用構(gòu)造全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)化歸的思想方法，積累用相似三角形的傳遞性和構(gòu)造全等三角形來(lái)證三角形相似的新經(jīng)驗(yàn).在“定理應(yīng)用”的教學(xué)中，既有引導(dǎo)學(xué)生解決給定問(wèn)題的過(guò)程，以鞏固所學(xué)的知識(shí)和發(fā)展智慧技能，又有解決問(wèn)題之后的反思，以認(rèn)識(shí)用相似三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的思想方法，還有開放式設(shè)計(jì)測(cè)量河寬方案的過(guò)程，以發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維能力和想象能力，積累測(cè)量河寬等方案的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).在“回顧與思考”的教學(xué)中，既有回顧研究?jī)?nèi)容，又有回顧研究方法，還有學(xué)生談學(xué)習(xí)后的收獲與感受.

參與研修的教師普遍認(rèn)為，本課例遵循了定理教學(xué)的基本規(guī)范，體現(xiàn)了過(guò)程教育和以學(xué)為中心的思想，統(tǒng)籌兼顧了過(guò)程與結(jié)果，能實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).一般地，定理教學(xué)要經(jīng)歷“提出問(wèn)題→操作觀察→歸納猜想→驗(yàn)證或證明→多樣表達(dá)→解決問(wèn)題→反思內(nèi)化”的過(guò)程，并在組織實(shí)施數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)，留給學(xué)生足夠的自主思考與實(shí)踐的時(shí)間和合作交流的機(jī)會(huì)，發(fā)揮教師在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的主導(dǎo)作用，合理評(píng)價(jià)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中的表現(xiàn)，以促使學(xué)生對(duì)定理的認(rèn)識(shí)達(dá)到一定的“深度”和“寬度”，促使學(xué)生學(xué)會(huì)主動(dòng)提出問(wèn)題，獨(dú)立思考問(wèn)題，合作探究問(wèn)題，以及養(yǎng)成敢于質(zhì)疑、善于表達(dá)、認(rèn)真傾聽、勇于評(píng)價(jià)和不斷反思的良好品質(zhì)和習(xí)慣.

教學(xué)實(shí)踐表明，在定理教學(xué)中，要實(shí)現(xiàn)知識(shí)、技能、能力、態(tài)度的完美統(tǒng)一，需要教師增強(qiáng)揭示定理所蘊(yùn)含的思維活動(dòng)過(guò)程的自覺性，而引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷實(shí)質(zhì)性思維過(guò)程需要教師充分貫徹啟發(fā)式教學(xué)思想.以符合“最近發(fā)展區(qū)”理論的題材為載體，從學(xué)生已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，運(yùn)用教師價(jià)值引導(dǎo)與學(xué)生自主建構(gòu)相結(jié)合的適度開放的方式，能使學(xué)生經(jīng)歷過(guò)程中的思維站點(diǎn)，從而能促進(jìn)學(xué)生全面、和諧發(fā)展.本課例在農(nóng)村中學(xué)實(shí)施后，發(fā)現(xiàn)時(shí)間有點(diǎn)兒緊張，可見體現(xiàn)過(guò)程教育的課堂教學(xué)會(huì)對(duì)按時(shí)完成教學(xué)任務(wù)帶來(lái)挑戰(zhàn).解決這個(gè)問(wèn)題的策略：一是運(yùn)用課內(nèi)外結(jié)合的方法——課前預(yù)習(xí)教師設(shè)計(jì)的“導(dǎo)學(xué)案”；二是根據(jù)學(xué)生的現(xiàn)實(shí)來(lái)確定過(guò)程與結(jié)果的平衡點(diǎn)——結(jié)果是主要的、基本的，相對(duì)來(lái)說(shuō)過(guò)程是次要的、從屬的.

1.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.范良火.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)（九年級(jí)上冊(cè)）［M］.杭州：浙江教育出版社，2014.