☉安徽六安皋城中學(xué)張克玉

從“三個理解”視角看“三角形中邊的關(guān)系”教學(xué)

☉安徽六安皋城中學(xué)張克玉

章建躍博士在《數(shù)學(xué)教學(xué)課改的十個論題》中指出：“課改需要循序漸進地持續(xù)努力；實踐基礎(chǔ)上的理論概括是可行之道；理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)是三大基石”.“三個理解”的要求也得到一線教師的普遍認可.如何在教學(xué)實踐中做到“三個理解”，值得我們?nèi)ニ伎己吞剿?本文以“三角形中邊的關(guān)系”一課內(nèi)容的教學(xué)為例，淺談自己的實踐與思考，旨在交流探討.

一、教學(xué)流程與設(shè)計說明

（一）新課引入.

1.呈現(xiàn)生活中與三角形有關(guān)的圖片（古埃及金字塔、自行車等），引出章課題——三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明.

2.重新認識三角形.

（1）讓學(xué)生回憶在小學(xué)階段對三角形的描述.

（2）教師用教具演示（三條線段在同一直線上、不封閉等情況），引導(dǎo)學(xué)生給三角形下個嚴格的定義.

（3）引導(dǎo)學(xué)生閱讀屏幕上的內(nèi)容，了解三角形有關(guān)元素（邊、內(nèi)角、頂點等）及其表示方法.

（4）練習(xí)：如圖1，D是△ABC中BC邊上的一點，連接AD，圖中有哪幾個三角形？并說出△ABD的內(nèi)角與邊.

圖1

（5）由三角形的有關(guān)元素引出課題：13.1三角形中的邊角關(guān)系（1）——三角形中邊的關(guān)系.

（二）新課講解.

1.三角形兩邊之間的關(guān)系（按邊分類）.

環(huán)節(jié)1：讓學(xué)生列舉三角形兩邊之間的數(shù)量關(guān)系，引出不等邊三角形、等腰三角形、等邊三角形的名稱.

環(huán)節(jié)2：師生共同回顧不等邊三角形、等腰三角形、等邊三角形的有關(guān)概念.

環(huán)節(jié)3：引導(dǎo)學(xué)生對三角形按邊進行分類.

設(shè)計說明：通過選取生活中有關(guān)物體的圖片，說明三角形在生產(chǎn)和生活中的廣泛應(yīng)用，以此說明學(xué)習(xí)三角形有關(guān)內(nèi)容的必要性，使得章課題的引出自然、順暢.學(xué)生在小學(xué)階段已學(xué)習(xí)過三角形的有關(guān)內(nèi)容，了解了三角形有關(guān)元素（邊、角等）及等腰三角形、等邊三角形的名稱，且學(xué)生對這些概念的理解并不感到困難，因此采用學(xué)生自主閱讀的方式完成有關(guān)內(nèi)容的回顧與學(xué)習(xí).這樣處理也是建立在學(xué)生認知水平與“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”的基礎(chǔ)上.

2.三角形三邊關(guān)系探究（教學(xué)片斷簡錄）.

環(huán)節(jié)1：

師：如圖2，有A、B、C三個地方，每兩地之間有一條公路相連.

圖2

問：（1）從A到B處有哪幾條線路？哪條線路更短？為什么？

生1：有兩條線段：A→B；A→C→B.由A到B的線路更短，因為“兩點之間，線段最短”.

師：很好！上述結(jié)論能否用數(shù)學(xué)式子進行表示？

（教師視情況作必要的引導(dǎo)：A→B，即為線段AB的長，A→C→B即為線段AC、CB的長度之和）

生2：可得到AC+CB＞AB.

師：類似地，從A到C處呢？我們可以得到什么樣的結(jié)論？

生3：AB+BC＞AC.

師：從B到C處呢？我們又可以得到什么樣的結(jié)論？

生4：BA+AC＞BC.

師：以上我們得到了三組不等關(guān)系.結(jié)合圖形，能否將三組不等關(guān)系所反映的數(shù)學(xué)事實用一句話進行描述？

生5：三角形的兩邊之和大于第三邊.

師：很好！其實上述的每一個不等式都可以將其描述成：“三角形某兩邊之和大于第三邊”.三組不等關(guān)系所反映的數(shù)學(xué)事實，用這一句話來描述還不夠全面，因此還需要略加修改.

最后通過教師的引導(dǎo)，師生共同得出：三角形任意兩邊之和大于第三邊.

環(huán)節(jié)2：

師：將上述三組不等式變形：AC＞AB-CB，BC＞AC-AB，BA＞BC-AC，你又能得出什么結(jié)論？

以此引導(dǎo)學(xué)生得出：三角形中任何兩邊的差小于第三邊.

師：由AC+CB＞AB可以得到AC＞AB-CB①，由AB+ AC＞BC還可以得到AC＞BC-AB②.由①和②又能說明什么問題？至此，能否將剛才得到的結(jié)論稍作修改，使之更準確？

以此引導(dǎo)學(xué)生得出：三角形中任何兩邊差的絕對值小于第三邊.

設(shè)計說明：筆者認為由“兩點之間線段最短”易得到“三角形兩邊之和大于第三邊”這個結(jié)論，因此在此未設(shè)計探究活動，而是把重心放在如何引導(dǎo)學(xué)生實現(xiàn)知識的遷移.在此過程中，也有助于培養(yǎng)學(xué)生兩種語言（文字語言、符號語言）的轉(zhuǎn)換及抽象與概括能力.

環(huán)節(jié)3：應(yīng)用舉例.

例等腰三角形中，周長為18cm.

（1）如果腰長是底邊長的2倍，求各邊長；

（2）如果一邊長是4cm，求另兩邊長.

預(yù)設(shè)：（1）學(xué)生先做，教師巡視，有代表性地（如選取沒有分類討論的或沒有進行情況取舍的）選取若干名學(xué)生回答，并讓其他學(xué)生評析；（2）教師略作分析后講解并呈現(xiàn)解題過程.

環(huán)節(jié)4：課堂練習(xí).

以長4cm的線段為底構(gòu)成一個等腰三角形，這個三角形的腰長有什么限制？

3.能構(gòu)成三角形的三條線段的長度應(yīng)滿足條件的探究.

環(huán)節(jié)1：

師：由三角形→三條邊應(yīng)滿足的關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊；反之，三條線段應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系→能組成三角形？

引導(dǎo)學(xué)生猜想：三條線段，如果其中任何兩條線段之和大于第三條線段，那么這三條線段能組成三角形.

預(yù)設(shè)：因為學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)“原命題”“逆命題”的概念，因此對“反之”未必能理解，因而還需要教師通過如“兩直線平行，同位角相等”與“同位角相等，兩直線平行”的關(guān)系給予類比引導(dǎo).

環(huán)節(jié)2：

幾何畫板動態(tài)演示進行驗證，以此得出結(jié)論：如果三條線段，其中任何兩條線段之和大于第三條線段，那么這三條線段能組成三角形.

設(shè)計說明：教材中并無此結(jié)論，但“三角形兩邊之和大于第三邊”當屬性質(zhì)定理.三條線段不能組成三角形，可以認為是依據(jù)其逆否命題，但三條線段能組成三角形應(yīng)屬于應(yīng)用其逆命題（判定定理），這其中存在著邏輯問題.因此，筆者認為有必要稍作交代，但限于本節(jié)課的教學(xué)目標、時間及學(xué)生的知識儲備，難以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)此結(jié)論，也無法給予嚴格證明，因而只能引導(dǎo)學(xué)生猜想并借助幾何畫板進行驗證.

環(huán)節(jié)3：

（練習(xí)）判斷：用下列長度的三條線段能否組成一個三角形？

（1）1cm，2cm，3cm；

（2）2cm，4cm，3cm；

（3）4cm，11cm，5cm；

（4）5cm，6cm，10cm.

預(yù)設(shè)：（1）讓學(xué)生先做，并回答是如何判斷的，突出結(jié)論中的“任何”二字的含義；

（2）通過詢問有無更簡便的判斷方法，引導(dǎo)學(xué)生得出：“三條線段，如兩條短線段之和大于最長線段，那么這三條線段能組成三角形”的結(jié)論，以此深化對結(jié)論的理解.

（課堂小結(jié)，作業(yè)布置等環(huán)節(jié)略）

二、教學(xué)思考與感悟

1.理解數(shù)學(xué).

《課程標準》指出：“實行啟發(fā)式教學(xué)有助于落實學(xué)生學(xué)習(xí)中的主體地位”“創(chuàng)設(shè)情境、設(shè)計問題，引導(dǎo)學(xué)生自主探索、合作與交流等都能有效地啟發(fā)學(xué)生的思考”，因而在課堂上，常需要我們設(shè)計探究活動，讓學(xué)生在經(jīng)歷知識的形成過程中，積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，感悟思想與方法.

在平時的聽課及期刊發(fā)表的案例中，常能看到在學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容時，有教師設(shè)計如下的探究：課前讓學(xué)生準備若干根長度明確的小棒，課堂上讓學(xué)生任意取出3根小棒首尾相接搭三角形，看能搭成幾個三角形，然后讓學(xué)生根據(jù)能搭成三角形的小棒長度情況，說出構(gòu)成三角形的三邊必須滿足的條件.筆者認為設(shè)計這樣的探究活動存在著邏輯問題.因為通過由搭成三角形的小棒長度應(yīng)該滿足的條件，得出的數(shù)學(xué)命題應(yīng)該是“三條線段，如果其中任意兩條線段之和大于第三條，那么這三條線段能組成三角形”，其與“三角形任意兩邊之和大于第三邊”之間當屬于原命題與逆命題的關(guān)系.

在本節(jié)課后的習(xí)題，許多版本教材是判斷“下列長度的三條線段能否組成三角形”（具體數(shù)值略），許多老師也是在學(xué)生學(xué)習(xí)了“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的結(jié)論后，把這樣的問題作為鞏固性練習(xí)，筆者認為這是不妥當?shù)?對于三條線段不能組成三角形，可以用“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的逆否命題來解釋，但三條線段能組成三角形，卻要用其逆命題才能給予解釋.課本中沒有出現(xiàn)其逆命題，因此還需要教師通過適當?shù)姆绞秸f明.

數(shù)學(xué)是一門邏輯性、嚴謹性很強的學(xué)科.“理解數(shù)學(xué)”要求我們在了解知識產(chǎn)生背景的前提下，把握有關(guān)定理、法則的邏輯關(guān)系.

2.理解學(xué)生.

其實，學(xué)生在小學(xué)階段學(xué)習(xí)過“三角形兩邊之和大于第三邊”的結(jié)論.但鑒于學(xué)生當時的思維特點、認知水平和知識儲備，對結(jié)論的生成一般并不苛求嚴謹，因此，在小學(xué)階段常采用擺小木棒的方式，并通過引導(dǎo)學(xué)生“計算其中兩邊之和”完成對其的探索，這樣的處理符合小學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”.但在初中階段，對知識生成過程的嚴謹性、邏輯性提出了較高的要求，因而小學(xué)階段的教學(xué)方法并不完全適用于初中的教學(xué)要求，因此還需根據(jù)初中學(xué)段的教學(xué)要求，結(jié)合學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，設(shè)計合適的教學(xué)活動方案.

對三角形的三邊關(guān)系，在初中階段不能通過“擺小棒”的方式進行探究（因為存在邏輯問題），能否通過如讓學(xué)生“先畫三角形，再測量各邊長”等方法進行探究？筆者認為無論設(shè)計什么樣的探究活動，我們都要首先思考這樣的問題：學(xué)生能否想到要對三角形的某兩邊進行加減（而不是進行乘除或者進行其他的運算）？在學(xué)生不了解此結(jié)論的情況下，通過得到的若干個三角形的三邊長，能否自主發(fā)現(xiàn)“三角形兩邊之和大于第三邊”這個結(jié)論？在這個問題中，學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”在哪兒？教師又該如何引導(dǎo)？如果簡單作“請同學(xué)們計算其中兩邊之和”的類似引導(dǎo)，這里既存在為什么要計算兩邊之和的問題，也會因引導(dǎo)的指向性過于明確，而使探究活動失去了應(yīng)有的價值（變成了驗證活動）.因此，設(shè)置“先畫三角形，再測量各邊長”等形式的探究，會因探究的內(nèi)容與要得到的結(jié)論差距較大，而超越初中學(xué)段學(xué)生的認知水平.

理解學(xué)生就要在理解學(xué)生現(xiàn)實（生活現(xiàn)實、數(shù)學(xué)現(xiàn)實及其他學(xué)科現(xiàn)實）的同時，理解學(xué)生的認知水平與認知規(guī)律.

3.理解教學(xué).

理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生是理解教學(xué)的基本前提.教材是我們實施課堂教學(xué)的重要抓手，因此理解教學(xué)要做到理解教材.

教材的編寫除了有編寫者自己的思考，還受到許多因素制約，如教材必須簡明.教材的簡明既是為了方便學(xué)生的閱讀，也是為教師“留白”，從而讓教師有更大的探索空間；教材編寫還受篇幅甚至知識點的總個數(shù)等方面的要求與限制，因此教材未必能做到面面俱到，這就需要我們理清相關(guān)問題的邏輯關(guān)系，從而在理解教材的基礎(chǔ)上，實現(xiàn)“用教材教”的做法.因此，在本節(jié)課的教學(xué)中，筆者通過增加一個猜想、驗證環(huán)節(jié)，以避免出現(xiàn)上述邏輯問題.與一般版本教材不同，北師大版教材的課后習(xí)題是“下列每組數(shù)分別是三根小棒的長度，用它們能擺成三角形嗎？實際擺一擺，驗證你的結(jié)論”（具體數(shù)值略），這應(yīng)該能喚起我們對本節(jié)教材中有關(guān)問題的思考.

在本節(jié)課中，對于“三角形任意兩邊之和大于第三邊”這個結(jié)論，是否一定要設(shè)計探究活動？《課程標準》指出“數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的‘生長點’與‘延伸點’，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，體會對于某些數(shù)學(xué)知識可以從不同的角度加以分析，從不同的層次進行理解”.學(xué)生在七年級已掌握了“兩點之間，線段最短”的基本事實，而“三角形的任何兩邊之和大于第三邊”等結(jié)論可以認為是其“延伸點”，學(xué)生對結(jié)論的理解也并不感到困難，因此筆者認為沒有必要將本節(jié)課的內(nèi)容與之前的學(xué)習(xí)相割裂，因此，此處可以不設(shè)計對結(jié)論的探究活動，而將重心轉(zhuǎn)移到如何引導(dǎo)學(xué)生將“兩點之間，線段最短”的基本事實，通過延伸得出三角形三邊關(guān)系的新結(jié)論，并思考在延伸的過程中如何體現(xiàn)“任何”二字的含義，從而讓學(xué)生在結(jié)論的生成過程中，感悟數(shù)學(xué)知識、方法間的普遍聯(lián)系.

理解教學(xué)，需要我們在理解教材的基礎(chǔ)上，能抓住有關(guān)問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，準確地把握其“生長點”與“延伸點”.在此基礎(chǔ)上設(shè)計合適、有效的教學(xué)活動，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程.