☉江蘇蘇州市高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)葛存燕

“探究四點(diǎn)共圓”課例的課堂實(shí)施

☉江蘇蘇州市高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)葛存燕

近年來，《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）刊發(fā)了大量預(yù)設(shè)精妙的教學(xué)課例，引領(lǐng)一線教師聚焦課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，追求高質(zhì)量的備課設(shè)計(jì).筆者受到文1的影響，通過自己的理解，制作出對(duì)應(yīng)的PPT，執(zhí)教了一節(jié)研討課，取得了較好的教學(xué)效果.本文梳理該課的教學(xué)流程，側(cè)重于截圖展示筆者的PPT流程，并跟進(jìn)變式檢測，供研討.

一、教學(xué)流程

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）作三角形的外接圓，引入新課.

PPT截圖，如圖1：

圖1

解讀：先呈現(xiàn)三種不同形狀的三角形（銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形），再畫出外接圓，并增加一個(gè)點(diǎn)D，出現(xiàn)圓的內(nèi)接四邊形.

在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生思考問題.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二）探究并證“四點(diǎn)共圓”.

PPT截圖，如圖2：

圖2

PPT截圖，如圖3：

圖3

解讀：由于在初中階段對(duì)反證法的要求是了解，故這里只是以PPT呈現(xiàn)證明思路，不要求所有學(xué)生獨(dú)立證明.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三）發(fā)現(xiàn)“四點(diǎn)共圓”.

PPT截圖，如圖4：

圖4

解讀：所選的幾個(gè)圖形都是教材上的一些經(jīng)典圖形，安排學(xué)生從四點(diǎn)共圓的角度再次研究、關(guān)注，也是一種“高觀點(diǎn)”視角.

PPT截圖，如圖5：

圖5

解讀：例2所配發(fā)的3個(gè)圖形中四邊形并不需要都畫出外接圓，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)圓在腦中，享受思考的樂趣.

PPT截圖，如圖6：

圖6

解讀：這是八年級(jí)一道經(jīng)典試題，引導(dǎo)學(xué)生站在九年級(jí)四點(diǎn)共圓的高度重新反思和理解這道題的不同解法，體會(huì)數(shù)學(xué)解題的殊途同歸.教材上關(guān)于正方形的經(jīng)典問題很多，比如還有另一道，見PPT截圖，如圖7：

圖7

解讀：對(duì)于該題，在八年級(jí)時(shí)需構(gòu)造全等證明，而站在四點(diǎn)共圓的角度，可以獲得問題的結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí).

教學(xué)環(huán)節(jié)（四）課堂小結(jié)，聽課檢測.

啟發(fā)學(xué)生思考：如何證明多點(diǎn)共圓的方法，以下是一些可能的思考念頭，比如：

1.從圓的定義出發(fā)，證各點(diǎn)都與某一定點(diǎn)的距離相等；

2.如果是證四點(diǎn)共圓，也可以先任意選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在該圓上；

3.如果各點(diǎn)都在某兩點(diǎn)所在直線的同側(cè)，且各點(diǎn)對(duì)這兩點(diǎn)的“張角”（其實(shí)是同弧所對(duì)的圓周角相等逆向使用）相等，那么這些點(diǎn)共圓；

4.若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或證明其一外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角，即可肯定這四點(diǎn)共圓；

5.證明五個(gè)或五個(gè)以上的點(diǎn)共圓，可以分別證各四點(diǎn)共圓，且四點(diǎn)中有三點(diǎn)相同.

附1：聽課檢測題：

1.如圖8，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°.

圖8

圖9

（1）A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)_______在同一個(gè)圓上；（填“能”或“不能”）

（2）當(dāng)∠ABD＝70°時(shí)，∠CAD的度數(shù)是_______.

2.如圖9，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊AD、CD上，且AE＝DF，連接BE、AF交于M點(diǎn).

（1）小南經(jīng)過思考發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E、M、F、D在同一個(gè)圓上！請(qǐng)判斷小南的發(fā)現(xiàn)是否正確.如果正確，在圖中作出該圓的直徑；如果不正確，說明理由.

（2）連接CM、BF，若∠FBC＝35°，求∠FMC的度數(shù).

※挑戰(zhàn)：（3）延長AF、BC交于點(diǎn)N，若點(diǎn)B、M、D、N在同一個(gè)圓上，求證：E為AD的中點(diǎn).

二、教學(xué)思考

1.研習(xí)專業(yè)期刊，積極實(shí)踐跟進(jìn).

我們知道，研習(xí)專業(yè)期刊是青年教師追求專業(yè)精進(jìn)的重要途徑，然而如果只是閱讀、欣賞而缺少必要的實(shí)踐跟進(jìn)，往往入寶山而空返.基于此，我們提倡面對(duì)優(yōu)秀課例的教研文章，作為讀者的我們要細(xì)心捕捉文章中課例設(shè)計(jì)的精巧與經(jīng)營之功，并積極在自己的教學(xué)實(shí)踐中開展教學(xué)，這樣往往會(huì)對(duì)優(yōu)秀課例的理解更加深刻和獨(dú)到.比如，在上文中我們跟進(jìn)實(shí)踐之后就知道了哪些教學(xué)環(huán)節(jié)還需要深入構(gòu)思、預(yù)設(shè)互動(dòng)，哪些環(huán)節(jié)學(xué)生在見到問題之后就可以一帶而過，無需充分展開.

2.豐富教學(xué)設(shè)計(jì)，預(yù)設(shè)對(duì)話追問.

在決定使用本文課例進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐之前，我們針對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)制作了PPT，上文側(cè)重展示了各張PPT及解讀.我們發(fā)現(xiàn)制作PPT的過程，仍然是加深對(duì)四點(diǎn)共圓理解的過程，如何讓四點(diǎn)共圓問題提出得更加自然，思考得更加合理，讓證明的念頭更容易獲得；所選配的例題、習(xí)題怎樣引導(dǎo)學(xué)生基于四點(diǎn)共圓的視角進(jìn)行求證，當(dāng)學(xué)生思維受阻時(shí)，如何預(yù)設(shè)一些標(biāo)注語啟發(fā)學(xué)生自主獲得思路貫通，等等，都是值得我們深入構(gòu)思之處.

3.加強(qiáng)教學(xué)反饋，注重聽課檢測.

我們?cè)谡n堂最后增設(shè)了聽課檢測，通過改編課堂中的例題及拓展講評(píng)的例題，設(shè)計(jì)出2個(gè)大題5個(gè)小問的模式，這樣既便于檢測學(xué)生，又可以啟發(fā)思考，感受經(jīng)典問題解法的多樣性、思路解法的殊途同歸.

本文中一些草根實(shí)踐，才剛起步，拋磚引玉，期待更多同行的實(shí)踐跟進(jìn).

1.%王友峰.專業(yè)自主增設(shè)內(nèi)容，回看陳題洞察結(jié)構(gòu)——九年級(jí)“探究四點(diǎn)共圓”教學(xué)設(shè)計(jì)與解讀［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（12）.

2.周紅娟.開放與放開：概念生成與例題變式的教學(xué)追求——從“三角形內(nèi)角和”教學(xué)說起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（8）.

3.鄭毓信.善于舉例［J］.人民教育，2008（18）.

4.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.

5.鄭毓信.善于優(yōu)化［J］.人民教育，2008（20）.