陳文鋼，王雪敏，修文正，尹麗菊，申 晉

(山東理工大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院, 山東 淄博 255049)

基于Chahine算法的動(dòng)態(tài)光散射顆粒粒度反演

陳文鋼，王雪敏，修文正，尹麗菊，申 晉

(山東理工大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院, 山東 淄博 255049)

采用Chahine算法，在噪聲水平分別為0、10-5、10-4、10-3條件下，分別對(duì)91nm、253nm和636nm三種單峰分布顆粒的動(dòng)態(tài)光散射數(shù)據(jù)進(jìn)行了粒度分布反演.結(jié)果表明，在無(wú)噪聲情況下，對(duì)于單峰分布顆粒的粒度分布，通過(guò)反演能夠得到理想的反演結(jié)果.隨著噪聲水平的增高，反演效果逐漸變差.在同樣噪聲水平下，隨著顆粒粒徑的增大，對(duì)噪聲環(huán)境提出更為苛刻的測(cè)量要求.因此，Chahine算法適用于噪聲較低時(shí)的動(dòng)態(tài)光散射顆粒粒度分布反演，尤其適用于單峰分布情況下的中、小顆粒粒度分布的反演.

Chahine算法；反演；粒度分布；動(dòng)態(tài)光散射；

(Using dynamic light scattering DLS)技術(shù)是一種測(cè)量超細(xì)顆粒粒徑及其分布的有效方法，已廣泛應(yīng)用于科研和工業(yè)等領(lǐng)域[1-2]，該方法是通過(guò)散射光強(qiáng)自相關(guān)函數(shù)獲得顆粒粒度及其分布的.由相關(guān)函數(shù)反演顆粒粒度分布(particle size distribution PSD)需求解第一類Fredholm積分方程，由于其具有高度的病態(tài)性，因此，原始數(shù)據(jù)任何微小的擾動(dòng)都可能導(dǎo)致所求解與真實(shí)解產(chǎn)生巨大偏差.為解決此問(wèn)題，人們提出多種反演算法，包括累積分析法、指數(shù)采樣法、雙指數(shù)法、CONTIN算法、NNLS法及截?cái)嗥娈愔到夥ǖ萚3-8]，一些改進(jìn)的反演新方法也不斷被提出，每一種算法都有各自的優(yōu)勢(shì)與不足. 本文采用Chahine算法進(jìn)行動(dòng)態(tài)光散射顆粒粒度反演，該算法最初用于大氣溫度分布測(cè)量[9]，是一種非約束算法，不需事先對(duì)粒徑的分布進(jìn)行假設(shè)，具有迭代格式簡(jiǎn)單，收斂速度快及精度高的特點(diǎn).粒度反演結(jié)果表明，這一方法反演速度快，適用于動(dòng)態(tài)光散射測(cè)量，特別適合在環(huán)境噪聲較小的實(shí)驗(yàn)室測(cè)量條件下使用.

1 動(dòng)態(tài)光散射原理與Chahine算法

當(dāng)一束單色平行光照射樣品溶液時(shí)，做布朗運(yùn)動(dòng)的球形粒子會(huì)引起散射光的隨機(jī)波動(dòng).對(duì)散射光信號(hào)進(jìn)行自相關(guān)運(yùn)算，得到光強(qiáng)歸一化自相關(guān)函數(shù)[1]

(1)

式中I(t)為t時(shí)刻的散射光強(qiáng)，對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，可取t=0.根據(jù)Siegert關(guān)系式，可得G(2)(τ)與G(1)(τ)之間的關(guān)系式

(2)

式中g(shù)(1)(τ)為歸一化電場(chǎng)自相關(guān)函數(shù)；b為G(2)(τ)的基線；β是相干因子.

對(duì)于多分散顆粒系，歸一化電場(chǎng)自相關(guān)函數(shù)為

(3)

根據(jù)式(3)對(duì)顆粒粒徑進(jìn)行反演，需對(duì)其離散化，離散化后得到的矩陣方程為

Y=AX

(4)

式中，A是M×N矩陣，其元素Aij=exp(-τiΓj)，其中τi對(duì)應(yīng)相關(guān)器第i個(gè)通道延遲時(shí)間，Γj表示離散化后第j級(jí)衰減線寬.X=(x1,x2,x3,…,xn)T是離散并歸一化后的N×1階衰減線寬分布向量.Y是g(1)(τ)的離散化形式.

Chahine算法[10]的迭代方程為

F(k)=c(k).*F(k-1)

(5)

F(k-1)是第k-1次迭代得到的顆粒粒度分布，通常采用一個(gè)初步優(yōu)化的粒徑分布作為初始分布F(0).c(k)>0為第k次迭代的修正向量且均為正值，且迭代過(guò)程為

(6)

式中，上標(biāo)(k)表示迭代次數(shù)，I是測(cè)量得到的入射光的電場(chǎng)自相關(guān)函數(shù)離散化向量，sum表示將矩陣的行向量求和.分析算法步驟可知，每次迭代時(shí)所乘的修正因子均為正數(shù)，因此，當(dāng)F(0)為正時(shí)，這種方法得到的解具有非負(fù)特性.

2 數(shù)值模擬

本文選取91nm、253nm和636nm顆粒體系進(jìn)行數(shù)值模擬，對(duì)其相關(guān)函數(shù)進(jìn)行反演，分析比較反演結(jié)果.數(shù)值模擬的實(shí)驗(yàn)條件：散射角90°，入射光波長(zhǎng)632.8nm，分散劑(水)折射率1.331，粘度系數(shù)0.8937×10-3N·s·m-2，樣品池溫度25℃，波爾茲曼常數(shù)kB=1.380662×10-23J/K.所加信號(hào)噪聲為白噪聲，噪聲水平分別為0、10-5、10-4、10-3.

粒度分布模擬數(shù)據(jù)用Johnson-SB函數(shù)實(shí)現(xiàn)

(7)

式中：t為顆粒粒徑的歸一化尺寸；u和σ是分布參數(shù)，改變分布參數(shù)可獲得不同的粒度分布.定義Xtrue、Xinvert分別為模擬粒徑分布和反演粒徑分布，為比較Chahine算法性能，引入兩個(gè)參數(shù)：分布誤差Error1和峰值相對(duì)誤差Error2

Error1=‖(Xtrue-Xinvert)‖2

(8)

(9)

式中dmax和d1max分別表示模擬顆粒粒徑最大值和反演顆粒粒徑最大值.Error1越小，說(shuō)明反演分布和“真實(shí)”分布匹配得越好；Error2越小，說(shuō)明反演粒徑與“真實(shí)”粒徑的峰值越接近.本文中，“真實(shí)”粒徑即為模擬顆粒粒徑，用“true”表示，反演粒徑用“Chahine”表示.

圖1 無(wú)噪聲91nm單峰反演結(jié)果

圖2 噪聲水平為10-5時(shí)91nm單峰反演結(jié)果

圖3 噪聲水平為10-4時(shí)91nm單峰反演結(jié)果

圖4 噪聲水平為10-3時(shí)91nm單峰反演結(jié)果

91nm單峰顆粒模擬的分布參數(shù)分別為u=0.8和σ=3.0，模擬顆粒粒徑范圍10～400nm.無(wú)噪聲情況下反演結(jié)果如圖1所示，反演結(jié)果的分布誤差和峰值相對(duì)誤差分別為0.039 2和0. 在噪聲水平分別為10-5、10-4、10-3情況下，粒度分布的反演如圖2、3、4所示.三種噪聲水平下，分布誤差分別為0.048 8、0.102 2和0.170 5，峰值相對(duì)誤差分別為0、6.59%和19.78%.可以看出，對(duì)于91nm單分布顆粒體系，在無(wú)噪聲情況下Chahine算法可以給出理想的反演結(jié)果，隨著噪聲的增加，反演效果逐漸變差，當(dāng)噪聲水平為10-3時(shí)，峰值相對(duì)誤差可達(dá)19.78%.

圖5 無(wú)噪聲253nm單峰反演結(jié)果

圖6 噪聲水平為10-5時(shí)253nm單峰反演結(jié)果

圖7 噪聲水平為10-4時(shí)253nm單峰反演結(jié)果

圖8 噪聲水平為10-3時(shí)253nm單峰反演結(jié)果

253nm單峰顆粒模擬時(shí)，分布參數(shù)u=1.8，σ=3.0，模擬顆粒粒徑范圍100～500nm.無(wú)噪聲情況下的反演結(jié)果如圖5所示，分布誤差和峰值相對(duì)誤差分別為0.008 0和0.圖6、7、8分別為算法在不同噪聲水平下的粒度分布反演，分布誤差分別為0.034 9、0.104 9和0.150 7，峰值相對(duì)誤差分別為0、4.85%和17%.不難看出，在無(wú)噪聲情況下可以給出理想的253nm單峰顆粒反演結(jié)果，隨著噪聲的增加，反演效果逐步變差.

圖9 無(wú)噪聲636nm單峰反演結(jié)果

圖10 噪聲水平為10-5時(shí)636nm單峰反演結(jié)果

圖11 噪聲水平為10-4時(shí)636nm反演結(jié)果

圖12 噪聲水平為10-3時(shí)636nm反演結(jié)果

636nm單峰顆粒模擬的分布參數(shù)u=0.1，σ=3.7，模擬顆粒粒徑范圍為100～1200nm.在無(wú)噪聲情況下，單峰分布反演如圖9所示，分布誤差和峰值相對(duì)誤差分別為0.016和0.95%.圖10、11、12分別為算法在不同噪聲水平下的粒度分布反演，分布誤差分別為0.039 9、0.094 3和0.120 6，峰值相對(duì)誤差分別0.95、5.50%和12.10%.可以看出，對(duì)于636nm單分布顆粒體系，在無(wú)噪聲情況同樣可以得到理想的反演結(jié)果，隨著噪聲的增加，反演效果逐漸變差.

3 結(jié)束語(yǔ)

本文采用Chahine算法，對(duì)模擬的動(dòng)態(tài)光散射數(shù)據(jù)進(jìn)行了反演.結(jié)果表明，在無(wú)噪聲情況下，通過(guò)反演，對(duì)于單峰分布顆粒的粒度分布，能夠得到理想的反演結(jié)果. 隨著噪聲水平的增高，反演效果逐漸變差.當(dāng)噪聲水平較低時(shí)，反演結(jié)果的分布誤差和峰值相對(duì)誤差均能滿足測(cè)量要求.然而，即使在同樣噪聲水平下，隨著顆粒粒徑的增大，反演效果也逐漸變差，對(duì)于較大粒徑的顆粒，對(duì)噪聲環(huán)境提出較為苛刻的測(cè)量要求.因此，本方法適用于噪聲較低時(shí)的動(dòng)態(tài)光散射顆粒粒度分布的反演，尤其適用于單峰分布情況下的中、小顆粒粒度分布的反演.

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(編輯：劉寶江)

Inversion of particle size distribution in dynamic light scattering based on Chahine algorithm

CHEN Wen-gang1, WANG Xue-min, XIU Wen-zheng, YIN Li-ju, SHEN Jin

(School of Electrical and Electronic Engineering, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China)

Using dynamic light scattering data based on Chahine algorithm,we invert the particle size distribution for single peak distribution particles (91 nm, 253 nm, 636 nm) with the noise levels of 0、10-5、10-4、10-3. The result indicates that ideal inversion of the PSD for single peak distribution can be obtained in the noiseless case; with the increasing of the noise level, the effectiveness of inversion decreased. With increasing of the particle size, the inversion demands lower noise level of the ambient. Therefore, Chahine algorithm can be applied in the PSD inversion of DLS in low noise level, especially in the inversion of the middle and small particle size with single peak.

Chahine algorithm；inversion；particle size distribution；dynamic light scattering

2016-04-18

山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(ZR2014FL027,ZR2015FL034)

陳文鋼，男，baiheshu@ 163.com； 通信作者：申晉，男，shejin@sohu.com

1672-6197(2017)02-0031-04

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