◆劉元源

高中數(shù)學中圓的切線方程解析

◆劉元源

在高中數(shù)學課程中，關于圓的問題形式有很多，其中在證明圓與直線之間的相互關系這一課的學習中，圓的切線方程的求解知識較為抽象與靈活，是該課程中的重難點。高中學生在進行著部分知識內容學習時應當不斷就該類問題的實際解決方式進行探究。本文簡要就不同類型的圓的切線方程的實際求解進行分析與歸納，以期為高中學生靈活的運用相關知識進行圓的切線方程的求解提供參考。

高中數(shù)學；圓的切線方程；解析

在高中學習階段，圓的幾何解析是重要的解析題型之一，常見于高考大題之中。而常見的問題類型包括圓方程求解，點或直線和該圓之間存在的相互位置關系，圓與園之間的相互位置關系以及圓的弦的方程式表達求解等多種形式。常見的圓的切線的方程式求解包括切線過一點情況下的求解，以及在特殊情況下的方程式求解，由于該問題本身存在著抽象特點，所以大多數(shù)的高中生都難以在該課程的學習過程實現(xiàn)靈活的圓的切線的方程式求解。

一、過圓上某一點求該切線的方程

一般來說出題者就過圓上某一點要求學生進行相關切線方程的求解一般都以一下題型為主。即，“某一圓方程為（x-a）·2+（y-b）·2=r2，有經過圓上的某一點（x0，y0），試求過該點的對應的切線方程”。

在進行該類型問題解決時首先可把圓的方程改寫為（x-a）·（x-a）+（y-b）·（y-b）=r2，之后把轉換后的式子中的前一個x設成 x0，前一個y設成y0，即可進一步簡化為（x0-a）·（x-a）+（ y0-b）·（y-b）=r2，最后再將其繼續(xù)整理，直到其轉變?yōu)橹本€方程即可。該方式較為簡便，被廣泛運用為高考快速解題過程中，針對選擇題，填空題以及檢驗答案這些需求是十分高效可用的。

二、過圓外某一點求該切線的方程

在高中數(shù)學考試中，過圓外某一點要求求該切線的方程式十分常見的題型，在實際解題過程中也有多種解題方式，學生應當就不同方式進行靈活運用。例1：以點（ p-2，-1）向某一圓x2+y2-4x+2y+1=0做切線，求該切線與圓的相交切點坐標以及該切線的方程表達式。

（一）運用判別式法進行問題解答

首先假設該切線的斜率存在，且設為k，

則過點 (p-2，-1)的該直線的方程表達式為：y+1=kx+2，

由y+1=kx+2，x2-4x+y+1=0，得1+k2x2+4k2-1x+4k2=0

因為該直線和圓相切可得出，△=16k2-1-16k1+k2=0，解得 k=±1。

此時切點的橫坐標為x=1，將x=1代入圓的方程，解得y=-1+4，

即切點坐標為(1，-1+4)或(1，-1-4 )。

將k=±1代入，得兩條切線方程為：x-y+2-1=0，x+y+2+1=0。

該方法主要是根據(jù)相切定義證明有且只有一個公共點的方式來計算。但在實際使用過程中應當注意，如果通過計算可以求得k值僅有一個，之后再討論斜率不存在的情況下，當其過點(p-2，-10)的直線是否是切線。

（二）運用幾何法進行問題解答

圓的方程化為x-2+y+1=4，則該圓的圓心可表示為C（2，-1）。假設該切線的斜率存在且表示為k ，那么過點(p-2，-1)的直線方程可以表示為y+1=kx+2，即y-kx-2k+1=0。根據(jù)幾何知識理論可以得知，圓心 C（2，-1）到切線的距離即為該圓的半徑，所以d=2。解得k=±1。將k=±1代入切線方程，得兩條切線方程為 x-2y+2-1=0，x+2y+2+1=0。將所求得的切線方程y+1=±1（x+2）代入圓的方程，得x-2+x+2=4，解得x=1。再代入切線方程，得y=-1±4 ，所以切點坐標為(-1，-1+4)或(1，-1-4)。

該方式主要是利用相切的幾何性理論作為依據(jù)來實現(xiàn)問題解答的。當計算求得的值僅一個，之后再驗證當斜率不存同時該切線過點 (p-2，-1)的直線為切線。該方式與解法1相比較可有效減少運算量。

（三）利用轉化與化歸法來實現(xiàn)問題解決

首先假設該切點的坐標是A（x1，y1）為圓上一點，利用公式可以求得過點A的圓的切線方程表達式為：x2x+y2y-2x+x2+y+y2+1=0

由題可知，切線過點(p-2，-1)，因此-2x2-y2+4-2x2-1+y2+1=0，解得x1=1，

將其引進該圓的方程，可以解得y1=-1+4或 y1=-1-4。

可求出切點坐標為(1，-1+4)或(1，-1-4)

即所求切線的方程可表達為為：x-2y+2-1=0或x+2y+2+1=0。

（四）利用平移轉化法來實現(xiàn)該問題解決

首先可將該圓的方程簡化為x-2+y+1=4，之后再把圓與點（p-2，-1）同時依照向量y=（-2，1）向右平移至（x'=x-2，y'=y+1），即可表示為(x=x'+2，y=y'-1），之后就可以依照圖形來表示對應的方程為 x2+y2=4，同時求出點p的坐標為（-4，0）。

假設在此時的切點坐標即為（x0，y0），則相應的切線方程就可表示為xx2+yy2=4，由于該切線過點p（-4，0），所以可知-4x3=4，x3=-1 。將x3=-1代入該圓的方程計算 x2+y2=4，最終解得y0=±1，由此可知該切線方程可表示為x±y+4=0 ，所以該切線方程為x'±y'+4=0 ），相對應的切點為(-1，±3)。再將所得的切線和切點按向量（2，-1）進行平移，就可直接算出該題要求的切點坐標為(1，-1±4) ，同時由此可算出切線方程為x-2±y+1+4=0，即切點坐標為(1，-1+4)或(1，-1-4)。

最終得出切線方程為x-2y+2-1=0 或x+2y+2+1=0。利用平移轉化法來實現(xiàn)該問題的解決，可有效的化復雜為簡單，減少了運算量。

三、結束語

圓的切線的方程運算是常見的幾何題類型，其在實際出題過程中較為復雜多變，對學生的靈活思考與解析能力要求較高。學生只有就其中存在的多種問題類型進行分別探究，掌握相關的思考方式與解題模式才能實現(xiàn)充分應對可能出現(xiàn)的相關問題，實現(xiàn)解題能力的不斷提高。所以，加強對圓的切線的方程的求解是十分重要的也是十分必要的。

[1]楊海英．圓的切線方程[J]．內江科技,2010,06:196．

[2]陳榮林．高中數(shù)學相切題型的解法探討[J]．中國校外教育(理論),2010,06:92+113．

（作者單位：湖南廣益實驗中學）