李小孟，羅瑞盈

(北京航空航天大學(xué) 物理科學(xué)與核能工程學(xué)院，北京 100191)

三維四向編織復(fù)合材料的孔隙修正模型

李小孟，羅瑞盈

(北京航空航天大學(xué) 物理科學(xué)與核能工程學(xué)院，北京 100191)

三維編織復(fù)合材料的性能預(yù)測對三維編織復(fù)合材料的性能設(shè)計(jì)有重要意義。在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，針對三維四向編織復(fù)合材料力學(xué)性能預(yù)測，考慮了基體孔隙和加載方向?qū)y量結(jié)果的影響，引入了系數(shù)c來描述孔隙的影響，提出修正后的剛度平均法，建立了新的有限元分析模型。采用修正過后的剛度平均法和新的有限元分析模型，將結(jié)果同力學(xué)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)新的模型得到的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)吻合得較好，且理論計(jì)算與有限元法得到的結(jié)果非常接近，可以用于預(yù)測三維四向編織復(fù)合材料的力學(xué)性能。同時采用修正后的剛度平均法，將新模型的結(jié)果同現(xiàn)有模型的結(jié)果進(jìn)行對比，新模型的結(jié)果表明：(1)縱向彈性模量在編織角較大時存在一個谷值；(2)加載方向?qū)M向彈性模量的測量結(jié)果有很大影響；(3)系數(shù)c較好地描述了孔隙對于材料力學(xué)性能的影響；(4)橫向剪切模量并不在某個編織角存在峰值，而是隨編織角的增大而增大。

三維編織，復(fù)合材料，有限元，剛度平均法

三維編織復(fù)合材料結(jié)合了紡織技術(shù)與先進(jìn)復(fù)合材料成型技術(shù)，它以編織結(jié)構(gòu)的預(yù)制體作為增強(qiáng)體，經(jīng)歷液態(tài)的浸漬裂解或者化學(xué)氣相沉積等成型技術(shù)來制備復(fù)合材料。其采用了編織結(jié)構(gòu)，纖維在空間上連續(xù)多向分布，克服了層合復(fù)合材料易分層的弱點(diǎn)。由于其力學(xué)性能的可設(shè)計(jì)性和易于成型負(fù)載構(gòu)型的特點(diǎn)，已成為航空、航天領(lǐng)域重要的結(jié)構(gòu)材料。

三維四向編織復(fù)合材料的細(xì)觀結(jié)構(gòu)具有周期性，結(jié)構(gòu)內(nèi)部存在只通過平移不需要旋轉(zhuǎn)就能形成整個宏觀結(jié)構(gòu)的習(xí)慣單元，即單胞。對于三維編織復(fù)合材料的力學(xué)性能研究，可以通過對單胞的分析來進(jìn)行，目前主要的方法有理論分析法和有限元法。理論分析包括剛度平均法和柔度平均法。對于三維四向編織復(fù)合材料的有限元分析，劉振國[1]提出了米字形單胞，并采用剛度平均法對復(fù)合材料的力學(xué)性能進(jìn)行了預(yù)報。楊振宇[2-3]提出了一種新的單胞模型，并采用有限元方法對力學(xué)性能進(jìn)行了預(yù)測。Li[4]給出了周期性邊界條件的約束方程。張超[5]根據(jù)Li的方程給出了一般性周期性邊界條件的具體約束方程。

圖1 不同的單胞選取方法Fig.1 Different partition methods of RVE

當(dāng)前有限元針在對三維編織復(fù)合材料力學(xué)性能進(jìn)行分析時，常用的單胞選取方法有兩種，即圖1中的sa和sb。sa和sb這兩種選取方法都采取了最小體積的選取方法，可以通過平移得到整個宏觀結(jié)構(gòu)，但是根據(jù)實(shí)際三維四向編織復(fù)合材料的力學(xué)性能測試方法，這種選取方法在計(jì)算力學(xué)性能時的載荷的加載方向與實(shí)際有所差別，與實(shí)驗(yàn)值可能會出現(xiàn)較大的差別。

當(dāng)前的模型中，在處理纖維體積百分比與編織角的關(guān)系，通常是通過調(diào)整纖維截面尺寸使纖維的體積分?jǐn)?shù)達(dá)到預(yù)期值。這種方法忽視了復(fù)合材料基體的孔隙對纖維體積百分比的影響，因此結(jié)果可能會有較大誤差。

鑒于當(dāng)前三維四向復(fù)合材料有限元力學(xué)性能分析存在問題，考慮了基體中孔隙的作用后，本文基于以下假設(shè)提出了新的有限元模型：

(1)相鄰的纖維束都是互相緊密接觸的，所有纖維束具有相同的特性。

(2)由于編織過程中提升運(yùn)動的拉伸作用，預(yù)制體內(nèi)部的纖維束不發(fā)生彎曲。

(3)纖維束中沒有孔隙。

(4)基體中沒有孔隙時，單胞的編織角與纖維的體積百分比具有一一對應(yīng)的關(guān)系。

(5)單胞中的孔隙來自于基體材料。

(6)小變形過程中，纖維與基體界面結(jié)合良好，不發(fā)生相對位移。

1 分析模型的建立

本文有限元模擬采用了米字型單胞模型[3，6-7]，用六邊形柱來模擬纖維，單胞的橫截面為正方形，截面尺寸。有限元建模采用的abaqus平臺，使用了整體分割法，纖維與基體的接觸面共享節(jié)點(diǎn)。

圖2為不同的模型的有限元網(wǎng)格劃分示意圖。模型 A為考慮基體孔隙，單胞選取方式為sc的模型，B組為不考慮孔隙，單胞選取方式為sc的模型，C組為考慮孔隙，單胞選取方式為sa的模型。

圖2 不同模型的網(wǎng)格劃分示意圖Fig.2 Meshes of different models

令纖維體積的百分比為rov，當(dāng)基體中沒有孔隙，纖維體積百分比rov和編織角θ有如下關(guān)系式：

(1)

當(dāng)基體中有孔隙，則有如下關(guān)系式：

(2)

可以得到：

(3)

將(1)式帶入(3)式，則有：

(4)

其中trov是沒有基體沒有孔隙時纖維的體積分?jǐn)?shù)，rrov是纖維實(shí)際的體積分?jǐn)?shù)，c為實(shí)際基體的體積與沒有孔隙時基體體積的比值。因此模型 A和模型C在abaqus設(shè)置基體材料屬性時，其彈性模量要在其原始屬性上乘以系數(shù)c。

圖3 不同模型的纖維截面Fig.3 Sections of fiber in different models

(5)

圖4為周期性邊界條件示意圖，周期性邊界條件保證了單胞變形后，依然可以通過平移得到復(fù)合材料宏觀結(jié)構(gòu)。張超[5]已經(jīng)給出了部分相對面，棱邊與頂點(diǎn)之間的一般性周期性邊界條件，其余部分的邊界條件也可以由Li[4]的公式來推出。

圖4 周期性邊界條件示意圖Fig.4 Sketch map of periodic boundary conditions

假設(shè)應(yīng)力已知的條件下，計(jì)算在應(yīng)力的作用下相對面之間的平均相對位移，可以得到：

(6)

因此有：

(7)

(8)

在剪切應(yīng)力和在剪切力作用下面的位移已知的情況下，可以得到：

(9)

(10)

由于有限元方法只考慮了體胞，故本文剛度平均法只考慮了體胞。采用剛度平均法預(yù)測三維四向編織復(fù)合材料的力學(xué)性能的一般過程為：構(gòu)建歐拉角定義的旋轉(zhuǎn)變換矩陣[A]。

其中：Φ為進(jìn)動角，Ψ為自動角，θ為章動角。則坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣[T]為：

對于模型A，四個纖維方向進(jìn)動角分別為Φ=π/2，-π/2，0，π，自動角分別為Ψ=-π/2，π/2，0，-π，章動角都為θ。則復(fù)合材料的剛度矩陣：

+c(1-trov)[Dbase]

(11)

對于模型B，四個纖維方向進(jìn)動角分別為Φ=π/2，-π/2，0，π，自動角分別為Ψ=-π/2，π/2，0，-π，章動角都為θ。則復(fù)合材料的剛度矩陣：

+(1-rrov)[Dbase]

(12)

對于模型C，四個纖維方向進(jìn)動角Φ=5π/4，-π/4，3π/4，π/4，自動角分別為Ψ=-5π/4，π/4，-3π/4，-π/4，章動角都為θ。則復(fù)合材料的剛度矩陣：

+c(1-trov)[Dbase]

(13)

得到了復(fù)合材料的平均剛度矩陣[D]后，則根據(jù)其柔度矩陣[S]=[D]-1即可得到相應(yīng)的物理性能。

(14)

2 結(jié)果與分析

本文所使用的材料參數(shù)來自于盧子興[8]的實(shí)驗(yàn)，如表1所示，其中碳纖維為橫觀各向同性材料，3方向?yàn)槔w維的縱向，環(huán)氧樹脂為各向同性材料。表2的數(shù)據(jù)是盧子興[8]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

表1 碳纖維和環(huán)氧樹脂基體的彈性性能Table 1 The elastic properties of carbon fiber and epoxy resin matrix

表2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Table 2 Experimental data from Lu

由公式1可知，在纖維沒有孔隙的情況下，編織角越大，纖維的體積分?jǐn)?shù)越大。對比表2的第3組與第1組數(shù)據(jù)，第3組在編織角相同且纖維的體積分?jǐn)?shù)更大的情況下，其密度反而小于第1組，這說明了孔隙主要存在于基體中。

將三種模型的理論計(jì)算方法SAM與有限元方法FEM的縱向彈性模量E3結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值對比得到圖5。

圖5 不同方法測得的縱向彈性模量Fig.5 Tensile module E3 measured in different ways

由圖5可以看出，三種模型在對縱向彈性模量E3進(jìn)行計(jì)算時，模型 A和模型C的SAM結(jié)果和FEM結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值都較吻合，這說明了模型A與模型C的正確性。值得注意的是模型B在有限元計(jì)算第二組數(shù)據(jù)時結(jié)果偏差較大，且在計(jì)算第三組數(shù)據(jù)時出現(xiàn)了纖維相交的情況，導(dǎo)致計(jì)算不能繼續(xù)進(jìn)行。這說明模型B采用的纖維截面變形的方法來處理纖維體積比與編織角的關(guān)系是有局限性的。

使用了三種模型的SAM與FEM方法計(jì)算了材料的力學(xué)性能E3、E1、G12，結(jié)果見表3～表5。

表3 模型A的SAM與FEM結(jié)果Table 3 Data from SAM and FEM in Model A

表3是模型A理論計(jì)算與有限元模擬的結(jié)果。對比A組內(nèi)理論計(jì)算與有限元模擬的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)二者的結(jié)果非常接近，說明了有限元模型的正確性?？傮w上理論計(jì)算結(jié)果在E3和G12上是大于有限元模擬的結(jié)果的，但是在上，有限元模擬的結(jié)果要略大于理論計(jì)算的結(jié)果。

表4 模型B的SAM與FEM結(jié)果Table 4 Data from SAM and FEM in Model B

表4是模型B理論計(jì)算與有限元模擬的結(jié)果。對比B組內(nèi)理論計(jì)算與有限元模擬的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)在某些情況下，二者之間會出現(xiàn)較大的差別。這是因?yàn)锽組的有限元模擬假設(shè)纖維的截面尺寸是可變的，但是理論計(jì)算中卻無法體現(xiàn)這個特點(diǎn)。

表5 模型C的SAM與FEM結(jié)果Table 5 Data from SAM and FEM in Model C

表5是模型C理論計(jì)算與有限元模擬的結(jié)果。對比C組內(nèi)理論計(jì)算與有限元模擬的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)二者的結(jié)果非常接近。與A組的結(jié)果相比，E3與G12的結(jié)果非常接近，而E1則有較大差別。這是因?yàn)檫@兩組在模擬的結(jié)果時，其載荷的加載方向不同，但是三維四向編織材料并不是橫觀各向同性材料，A組的加載方向與實(shí)際測試時載荷的加載方向相同，因此A組模擬的結(jié)果更可靠。

圖6是纖維的體積分?jǐn)?shù)為54%時，三種模型采用理論計(jì)算的彈性模量E3-編織角曲線。由圖6可知，總體上E3隨著編織角的增加而減少。對比A、B、C三個模型，可以發(fā)現(xiàn)模型A與模型C的值基本一致，而模型B在小編織角的時候，其結(jié)果大于模型A與模型C的值，而在大編織角時，其結(jié)果小于模型A與模型C。同時可以發(fā)現(xiàn)模型A與C在特定編織角時，存在一個谷值，但是模型B則沒有體現(xiàn)這個特點(diǎn)。

圖6 不同模型的編織角-縱向拉伸模量E3曲線Fig.6 Curves of tensile module E3 vs braiding angle in different models

圖7是纖維的體積分?jǐn)?shù)為54%時，三種模型采用理論計(jì)算的彈性模量E1-編織角曲線。由圖7可知，三種模型都顯示出E1隨編織角的增加而增加，對比模型A與模型B的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)在小編織角的時候，B的結(jié)果要稍微大于A的結(jié)果，在大編織角時，B的結(jié)果則要小于A的結(jié)果。這是因?yàn)锽纖維體積分?jǐn)?shù)一定時，在大編織角時offset為負(fù)數(shù)，B纖維橫截面比A的截面面積小，而且纖維的縱向模量遠(yuǎn)大于橫向模量，因此結(jié)果相差較大。同時對比模型A與模型C的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)A的結(jié)果要大于C的結(jié)果，但在小編織角時，二者結(jié)果非常接近，這是因?yàn)樾【幙椊菚r，纖維近似于平行排列，此時三維四向編織復(fù)合材料接近于橫觀各向同性材料。

圖7 不同模型的編織角-橫向拉伸模量E1曲線Fig.7 Curves of tensile module E1 vs braiding angle in different models

圖8是纖維的體積分?jǐn)?shù)為54%時，三種模型采用理論計(jì)算的橫向剪切模量G12-編織角曲線。由圖8可以看出，三種模型都顯示在編織角小于一定角度時G12隨編織角的增加而增加，模型B大約在θ=π/4時存在一個峰值，但是模型A、C并沒有出現(xiàn)峰值，而是隨著編織角的增大而增大。

圖8 不同模型的編織角-橫向剪切模量G12曲線Fig.8 Curves of shear module G12 vs braiding angle in different models

3 結(jié)論

本文以米字形模型為基礎(chǔ)，使用abaqus作為有限元平臺，考慮了加載方向和孔隙對測量結(jié)果的影響，建立了新的分析單胞模型，引入了系數(shù)c來量化孔隙對基體性能的影響。無論是SAM還是有限元模擬得到的結(jié)果都與實(shí)驗(yàn)結(jié)果接近，說明了模型的正確性。并可以得出以下結(jié)論：

(1)在纖維體積分?jǐn)?shù)一定時，縱向彈性模量E3在某個編織角存在谷值。

(2)測試時不同的加載方向?qū)θS編織復(fù)合材料橫向彈性模量測量結(jié)果有較大影響。模型A得到的橫向彈性模量E1要大于模型C得到的結(jié)果。

(3)橫向剪切模量G12隨著編織角的增大而增大，不存在一個峰值。

(4)基體的孔隙對復(fù)合材料的力學(xué)性能有影響，新模型引入系數(shù)c后得到的結(jié)果更為可靠。

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Fixed Pore Analysis Model of 3-D Braided Composites

LI Xiao-meng，LUO Rui-ying

(School of Physics and Nuclear Energy Engineering，Beihang University，Beijing 100191，China)

Performance prediction of 3-D braided composites is of great significance to performance design. On the basis of other researchers’ research about 3 dimension braided composites，with pore of matrix and load direction’s effect on measure result considered，coefficientcwas imported to describe the pore’s effect on matrix’s elasticity modules，inherent stiffness averaging method (SAM) was fixed，and a new finite-element analysis model was built. By comparing the data of SAM and FEM (finite element method) with experimental data，it’s found that the new model fit experimental data well and the result of SAM are closed to the result of FEM. Thus it can be used to predict the mechanical property of 3 dimension braided composite. With fixed stiffness averaging method，the results of new model are compared to the current model. The results indicate that：(1)longitudinal modulus of elasticity reaches its nadir at specific braiding angle；(2)the load direction does affect the measuring result of transverse modulus of elasticity；(3)the import of coefficientcis reasonable；(4)transverse shear modules doesn’t reach its peak value at specific braiding angle，it grows when braiding angle gets bigger.

three dimension braided，composites，finite element analysis，stiffness averaging method

TB 332