體會“統(tǒng)計與概率”中的四大思路

陳廷亮

概率論是統(tǒng)計學(xué)的基石，統(tǒng)計學(xué)來源于舊時的賭博.當(dāng)時的賭徒們通過歷史數(shù)據(jù)的記錄，逐漸總結(jié)出了描述性統(tǒng)計.利用這些描述性統(tǒng)計的數(shù)據(jù)，他們的勝率直線上升.哪個穩(wěn)賺哪個會賠，哪個波動大沒規(guī)律，這些經(jīng)驗逐漸成了一種智慧，體現(xiàn)在之后的各個領(lǐng)域里.

我們平時都將概率論和統(tǒng)計學(xué)合稱為“概率統(tǒng)計”，但顯然這兩者是有關(guān)系，卻又不是統(tǒng)一的.統(tǒng)計和概率是方法論上的區(qū)別，一個是推理，一個是歸納；一個是對原理的討論，一個是對方法的討論.

學(xué)習(xí)“統(tǒng)計與概率”要注意以下幾個要點：1.在學(xué)習(xí)過程中要抓住對概念的引入和背景的理解，這實際上是一個抽象過程；2.在學(xué)習(xí)過程中對于引入概念的內(nèi)涵和相互間的聯(lián)系及差異要仔細(xì)推敲；3.在解題過程中不要為解題而解題，而應(yīng)理解題目所涉及的概念及解題的目的，因此概率學(xué)習(xí)的關(guān)鍵不在于做多少習(xí)題，而在于要把精力放在理解不同題型涉及的概念及解題的思路上去.這樣往往能“事半功倍”，同時學(xué)起來就不會枯燥而且容易記憶.下面就統(tǒng)計與概率相關(guān)題型和解答技巧與同學(xué)們交流分享.

第一類：用分類討論思想解決擲骰子、摸球、轉(zhuǎn)盤類應(yīng)用問題

例1 現(xiàn)有兩枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，每枚骰子的六個面上都分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、 4、5、6.同時投擲這兩枚骰子，以朝上一面所標(biāo)的數(shù)字為擲得的結(jié)果，那么所得結(jié)果之和為9的概率是（ ）.

【分析】每個骰子都有6種可能，投擲這兩枚骰子，所有可能結(jié)果共有36種，其中點數(shù)之和為9的有（3，6），（4，5），（5，4），（6，3）4種，所以，所求概率為：

【點評】把統(tǒng)計與概率問題與我們常規(guī)的數(shù)學(xué)思想相聯(lián)系，這樣方便歸納解題方法.

例2 一個布袋內(nèi)只裝有1個紅球和2個黃球，這些球除顏色外其余都相同，隨機(jī)摸出一個球后放回攪勻，再隨機(jī)摸出一個球，則兩次摸出的球都是黃球的概率是_______.

【分析】用列表法將所有可能的結(jié)果列舉出來，再利用概率公式求解即可.

紅球黃球1黃球2紅球（紅球、紅球）（黃球1、紅球）（黃球2、紅球）黃球1（紅球、黃球1）（黃球1、黃球1）（黃球2、黃球1）黃球2（紅球、黃球2）（黃球1、黃球2）（黃球2、黃球2）

【點評】列出每種顏色球出現(xiàn)的全部可能，再計算都是黃球的概率.

例3 如圖是一個能自由轉(zhuǎn)動的正六邊形轉(zhuǎn)盤，這個轉(zhuǎn)盤被三條分割線分成形狀相同、面積相等的三部分，且分別標(biāo)有“1”“2”“3”三個數(shù)字，指針的位置固定不動.讓轉(zhuǎn)盤自動轉(zhuǎn)動兩次，則指針指向的數(shù)都是奇數(shù)的概率為.

【點評】把每次出現(xiàn)相同數(shù)字的情況全部列出，再計算都是奇數(shù)的概率.

例4 如圖，轉(zhuǎn)盤A的三個扇形面積相等，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，轉(zhuǎn)盤B的四個扇形面積相等，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4.轉(zhuǎn)動A、B轉(zhuǎn)盤各一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，將指針?biāo)渖刃沃械膬蓚€數(shù)字相乘.（當(dāng)指針落在扇形的交線上時，重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤.）

（1）用樹狀圖或列表法列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；

（2）求兩個數(shù)字的積為奇數(shù)的概率.

【分析】（1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果；

（2）先算出兩個數(shù)字的積為奇數(shù)的情況，再利用概率公式即可求得答案.

解：（1）畫樹狀圖得：

則共有12種等可能的結(jié)果；

（2）兩個數(shù)字的積為奇數(shù)的情況有4種，則兩個數(shù)字的積為奇數(shù)的概率為：

【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率.

第二類：用大數(shù)規(guī)律解決硬幣拋擲類問題

例5 在課外實踐活動中，甲、乙、丙、丁四個小組用投擲一元硬幣的方法估算正面朝上的概率，其實驗次數(shù)分別為10次、50次、100次、200次，其中實驗相對科學(xué)的是（ ）.

A.甲組 B.乙組 C.丙組 D.丁組

【點評】大量反復(fù)實驗時，某事件發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)的附近，這個常數(shù)就叫做事件概率的估計值.本題考查了模擬實驗.選擇和拋硬幣類似的條件的實驗驗證拋硬幣實驗的概率，是一種常用的模擬實驗的方法.

第三類：用比例解決估算類問題

例6 為了估計魚塘中的魚數(shù)，養(yǎng)魚者首先從魚塘中捕獲30條魚，在每條魚身上做上記號后，把這些魚放歸魚塘，再從魚塘中打撈200條魚，如果在這200條魚中有5條魚是有記號的，則魚塘中魚的數(shù)量估計為_________.

【點評】設(shè)未知數(shù)，用成比例關(guān)系進(jìn)行估算解決此類問題.

第四類：對統(tǒng)計數(shù)據(jù)的處理問題

例7 下列說法正確的是（ ）.

A.了解飛行員視力的達(dá)標(biāo)率應(yīng)使用抽樣調(diào)查

B.一組數(shù)據(jù)3，6，6，7，9的中位數(shù)是6

C.從2000名學(xué)生中選200名學(xué)生進(jìn)行抽樣調(diào)查，樣本容量為2000

D.一組數(shù)據(jù)1，2，3，4，5的方差是10

【點評】全面調(diào)查和抽樣調(diào)查是按調(diào)查對象范圍不同劃分的調(diào)查方式.中位數(shù)是指將一組數(shù)據(jù)按照由小到大（或由大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).樣本容量又稱“樣本數(shù)”，是指一個樣本的必要抽樣單位數(shù)目.方差是各個數(shù)據(jù)分別與其算術(shù)平均數(shù)之差的平方的和的平均數(shù).

例8 某中學(xué)籃球隊12名隊員的年齡如下表：

年齡：（歲）人數(shù)1 3 1 1 4 5 1 5 4 1 6 2

關(guān)于這12名隊員的年齡，下列說法錯誤的是（ ）.

A.眾數(shù)是14 B.極差是3

C.中位數(shù)是14.5 D.平均數(shù)是14.8

【點評】眾數(shù)、中位數(shù)、極差、平均數(shù)是統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識點.找對數(shù)據(jù)就可以輕松解題.

例9 為了了解某學(xué)校學(xué)生每周平均課外閱讀時間的情況，隨機(jī)抽查了該學(xué)校m名同學(xué)，對其每周平均課外閱讀時間進(jìn)行統(tǒng)計，繪制了如下條形統(tǒng)計圖（圖1）和扇形統(tǒng)計圖（圖2）.

條形統(tǒng)計圖

圖1

扇形統(tǒng)計圖

圖2

（1）根據(jù)以上信息回答下列問題：

①求m的值；

②求扇形統(tǒng)計圖中閱讀時間為5小時的扇形圓心角的度數(shù)；

③補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖.

（2）直接寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)，求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).

【點評】本題考查了眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)及扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖的知識，解題的關(guān)鍵是能夠結(jié)合兩個統(tǒng)計圖找到進(jìn)一步解題的有關(guān)信息，難度不大.

上面的四類方法供同學(xué)們在平時的訓(xùn)練中運(yùn)用和體會，也期待同學(xué)們有更好的方法與我們共同分享.

（作者單位：江蘇省建湖縣建陽中學(xué)）