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        來(lái)自“統(tǒng)計(jì)與概率”解題策略與方法的一封信

        2017-03-07 03:23:08
        初中生世界 2017年11期
        關(guān)鍵詞:統(tǒng)計(jì)與概率樹(shù)狀平均數(shù)

        來(lái)自“統(tǒng)計(jì)與概率”解題策略與方法的一封信

        康葉紅

        親愛(ài)的同學(xué)們:

        大家好!我是來(lái)自初中數(shù)學(xué)知識(shí)板塊中的“統(tǒng)計(jì)與概率”解題策略與方法,“統(tǒng)計(jì)與概率”在中考數(shù)學(xué)的考查中約占15%的分值,可不能忽視我哦!今天,我們就來(lái)聊一聊“統(tǒng)計(jì)與概率”這部分解題的策略與方法.

        先一起看統(tǒng)計(jì)部分的內(nèi)容,想要攻破統(tǒng)計(jì)的題,需要會(huì)計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、加權(quán)平均數(shù),會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)的方差,還要能分析統(tǒng)計(jì)表中的數(shù)據(jù),我們通過(guò)例題來(lái)分析.

        例1 已知一組數(shù)據(jù)0,1,2,3,x的平均數(shù)是2,求這組數(shù)據(jù)的極差、方差.

        【剖析】本題考查的是數(shù)據(jù)的平均數(shù)、數(shù)據(jù)的極差與方差.

        極差:最大值與最小值的差;

        因此,本題應(yīng)先利用平均數(shù)求出x,得到一組完整的數(shù)據(jù)即0,1,2,3,4,想要求極差,找出數(shù)據(jù)中的最大值是4,最小值是0,所以極差=4-0=4,方差s2=×[(0-2)2+(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2+(4-2)2]=×(4+1+0+1+4)=2.

        例2(2016·鹽城)甲、乙兩位同學(xué)參加數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)測(cè)試,各項(xiàng)成績(jī)?nèi)缦?(單位:分)

        學(xué)生甲學(xué)生乙數(shù)與代數(shù)9 0 9 4空間與圖形9 3 9 2統(tǒng)計(jì)與概率8 9 9 4綜合與實(shí)踐9 0 8 6

        (1)分別計(jì)算甲、乙成績(jī)的中位數(shù);

        (2)如果數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐的成績(jī)按3∶3∶2∶2計(jì)算,那么甲、乙的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)成績(jī)分別為多少分?

        【剖析】本題考查的是計(jì)算甲、乙成績(jī)的中位數(shù)以及加權(quán)平均數(shù).從本題中的“中位數(shù)”“3∶3∶2∶2”“甲、乙的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)成績(jī)分別為多少分”這三個(gè)關(guān)鍵字段回顧中位數(shù)和加權(quán)平均數(shù)的概念.

        中位數(shù):將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列,如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù),那么處于中間位置的數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù),那么中間位置的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

        加權(quán)平均數(shù):衡量各個(gè)數(shù)據(jù)的“重要程度”的數(shù)值叫做權(quán).

        (1)中求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù),由上表可將學(xué)生甲的成績(jī)排序?yàn)椋?9,90,90,93,一共有四個(gè)數(shù),因此取=90作為學(xué)生甲成績(jī)的中位數(shù).

        (2)中數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐的成績(jī)按3∶3∶2∶2計(jì)算,說(shuō)明數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐的“重要程度”不一樣,它們?cè)诳偝煽?jī)中各占.因此甲的成績(jī)=

        【答案】(1)90分,93分;(2)90.7分,91.8分.

        【總結(jié)】例1與例2計(jì)算了算術(shù)平均數(shù)、極差、方差、中位數(shù)、加權(quán)平均數(shù),除此之外還有眾數(shù)(一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)),其實(shí)我們只要理清概念,熟記知識(shí)點(diǎn),問(wèn)題就能迎刃而解.

        例3(2016·揚(yáng)州)從今年起,我市生物和地理會(huì)考實(shí)施改革,考試結(jié)果以等級(jí)形式呈現(xiàn),分A、B、C、D四個(gè)等級(jí).某校八年級(jí)為了迎接會(huì)考,進(jìn)行了一次模擬考試,隨機(jī)抽取部分學(xué)生的生物成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

        (1)這次抽樣調(diào)查共抽取了_________名學(xué)生的生物成績(jī),扇形統(tǒng)計(jì)圖中,D等級(jí)所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)為_(kāi)________°;

        (2)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;

        (3)如果該校八年級(jí)共有600名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)這次模擬考試有多少名學(xué)生的生物成績(jī)等級(jí)為D.

        【剖析】本題考查了從統(tǒng)計(jì)圖中分析數(shù)據(jù)的能力,要求計(jì)算樣本容量、扇形圓心角的度數(shù)、用樣本估計(jì)總體.(1)根據(jù)A等級(jí)的人數(shù)為15人及A等級(jí)所占的比例為30%,即可求出總?cè)藬?shù),進(jìn)而可得出扇形統(tǒng)計(jì)圖中D等級(jí)所在的扇形的圓心角的度數(shù).(2)根據(jù)D等級(jí)的人數(shù)=總數(shù)-A等級(jí)的人數(shù)-B等級(jí)的人數(shù)-C等級(jí)的人數(shù),補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可.(3)先求出D等級(jí)人數(shù)所占的百分比,然后即可估計(jì)出總體中等級(jí)為D的人數(shù).

        【答案】(1)50,36;(2)5,補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖略;(3)60名.

        【總結(jié)】我們要具備從統(tǒng)計(jì)圖中分析處理數(shù)據(jù)的能力,要能讀懂統(tǒng)計(jì)圖中蘊(yùn)涵的數(shù)據(jù)信息,提取出信息來(lái)解決問(wèn)題.在解決統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的過(guò)程中,體會(huì)用樣本估計(jì)總體的模型思想,理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,提升邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

        看完統(tǒng)計(jì)部分的內(nèi)容,我們繼續(xù)來(lái)看概率部分的內(nèi)容,我們要能從數(shù)據(jù)中提取信息并進(jìn)行簡(jiǎn)單的推斷;能通過(guò)列表、畫(huà)樹(shù)狀圖等方法,列出簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的所有可能的結(jié)果,以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果,了解事情發(fā)生的概率,會(huì)求簡(jiǎn)單隨機(jī)事件及其發(fā)生的概率.下面通過(guò)例題來(lái)分析.

        例4 將分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3的三張卡片洗勻后,背面朝上放在桌上.

        (1)隨機(jī)地抽取一張,求抽到奇數(shù)的概率;

        (2)隨機(jī)地抽取一張作為十位上的數(shù)字(不放回),再抽取一張作為個(gè)位上的數(shù)字,恰好是“32”的概率為多少?

        【剖析】本題考查了通過(guò)列舉法列出簡(jiǎn)單隨機(jī)事件所有可能的結(jié)果,了解事件的概率.(1)隨機(jī)地抽取一張,可以理解為實(shí)驗(yàn)一次,要求抽出奇數(shù)的概率,可用P(A)=(n表示所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù),m表示事件A發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).)直接解決.(2)隨機(jī)地抽取一張作為十位上的數(shù)字,再抽取一張作為個(gè)位上的數(shù)字,可以理解為實(shí)驗(yàn)兩次,可通過(guò)列表、畫(huà)樹(shù)狀圖列出所有等可能的結(jié)果以及事件A發(fā)生的所有可能的結(jié)果,求出恰好是“32”的概率.一定要注意的是題目中的關(guān)鍵詞“不放回”.

        【總結(jié)】畫(huà)樹(shù)狀圖或者列表分析是求概率的常用方法,列舉的結(jié)果看起來(lái)一目了然,清晰明了.利用列表、畫(huà)樹(shù)狀圖可以幫助我們不重復(fù)、不遺漏地列出所有等可能的結(jié)果,既直觀又條理分明.

        例5(2016·徐州)某乳品公司最新推出一款果味酸奶,共有紅棗、木瓜兩種口味.若送奶員連續(xù)三天,每天從中任選一瓶某種口味的酸奶贈(zèng)送給某住戶(hù)品嘗,則該住戶(hù)收到的三瓶酸奶中,至少有兩瓶為紅棗口味的概率是多少?(請(qǐng)用“畫(huà)樹(shù)狀圖”的方法給出分析過(guò)程,并求出結(jié)果.)

        【剖析】本題考查了通過(guò)畫(huà)樹(shù)狀圖列出簡(jiǎn)單隨機(jī)事件所有可能的結(jié)果,了解事件的概率.題目中“若送奶員連續(xù)三天”可理解為實(shí)驗(yàn)三次,因此可以借助樹(shù)狀圖列出所有等可能的結(jié)果.

        【答案】

        可能出現(xiàn)的結(jié)果有8種,并且它們出現(xiàn)的可能性相等.至少有兩瓶為紅棗口味(記為事件A)的結(jié)果有4種,所以P(A)=

        【總結(jié)】當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素(兩組量,或者1組量操作兩次),并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí),可以采用列表法;當(dāng)一次試驗(yàn)中涉及3個(gè)因素或更多因素時(shí),通常采用畫(huà)樹(shù)狀圖不重不漏地列出所有等可能的結(jié)果.

        例6 一套書(shū)共有上、中、下三冊(cè),將它們?nèi)我鈹[放到書(shū)架的同一層上,這三本書(shū)從左到右或從右到左,恰好成上、中、下順序的概率是多少?

        【剖析】想要把共有上、中、下三冊(cè)的一套書(shū)任意擺放到書(shū)架的同一層上,可以借助枚舉法列出所有等可能的結(jié)果.

        【答案】將一套書(shū)上、中、下三冊(cè)任意擺放到書(shū)架同一層上所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有:(上,中,下),(上,下,中),(中,上,下),(中,下,上),(下,上,中),(下,中,上),共有6種,它們出現(xiàn)的可能性相同.所有的結(jié)果中,滿足“從左到右或從右到左,恰好成上、中、下順序”(記為事件A)的結(jié)果只有2種,所以P(A)=

        【總結(jié)】對(duì)于本題可以直接用枚舉法列出所有可能的結(jié)果,求出概率.列表、畫(huà)樹(shù)狀圖的目的都是為了列出所有等可能的結(jié)果,有時(shí)我們也可以通過(guò)枚舉法直接列出所有的可能的結(jié)果.

        好了,看了這么多典型的例題,相信同學(xué)們對(duì)“統(tǒng)計(jì)與概率”這個(gè)部分的題目,可以更加從容自信了吧!找到解決“統(tǒng)計(jì)與概率”典型題的策略與方法了嗎?

        此致

        敬禮

        “統(tǒng)計(jì)與概率”解題策略與方法

        2017年3月15日

        (作者單位:江蘇省南京市六合區(qū)橫梁初級(jí)中學(xué))

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