“數(shù)與式”中的新面孔
何念雪
“數(shù)與式”是中考的??贾R(shí)點(diǎn)之一,近年來(lái)各地中考涌現(xiàn)了不少新題型,不少題目從新情境、新視角立意,營(yíng)造了一個(gè)充滿靈氣的中考大舞臺(tái),下面摘取數(shù)例加以剖析,與同學(xué)們共同感受其獨(dú)特的魅力.
例1(2016·湘潭)多項(xiàng)式x2+1添加一個(gè)單項(xiàng)式后可變?yōu)橥耆椒绞剑瑒t添加的單項(xiàng)式可以是_______.(任寫一個(gè)符合條件的即可)
【分析】本題添加項(xiàng)可為乘積二倍項(xiàng)或平方項(xiàng).
解:設(shè)添加的單項(xiàng)式為Q,如果這里首末兩項(xiàng)是x和1這兩個(gè)數(shù)的平方,那么中間一項(xiàng)為加上或減去x與1的乘積的2倍,故Q=±2x;如果這里首末兩項(xiàng)是Q和1,則乘積二倍項(xiàng)是,所以,故答案為中任意一個(gè).
【點(diǎn)評(píng)】本題為開放性題目,只要符合完全平方式即可,要求非常熟悉公式特點(diǎn).另外注意題目中要求添加的條件是“單項(xiàng)式”,切不要誤填
例2(2016·永州)我們根據(jù)指數(shù)運(yùn)算,得出了一種新的運(yùn)算,如表是兩種運(yùn)算對(duì)應(yīng)關(guān)系的一組實(shí)例:
指數(shù)運(yùn)算21= 2 22= 4 23= 8…31= 3 32= 9 33= 2 7…新運(yùn)算l o g22 = 1 l o g24 = 2 l o g28 = 3…l o g33 = 1 l o g39 = 2 l o g32 7 = 3…
根據(jù)上表規(guī)律,某同學(xué)寫出了三個(gè)式子:①log216=4,②log525=5,③log2=-1.其中正確的是( ).
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
【分析】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算和新的運(yùn)算法則得出規(guī)律,根據(jù)規(guī)律運(yùn)算可得結(jié)論.
解:①因?yàn)?4=16,所以此選項(xiàng)正確;②因?yàn)?5=3125≠25,所以此選項(xiàng)錯(cuò)誤;③因?yàn)?-1=,所以此選項(xiàng)正確.故選B.
【點(diǎn)評(píng)】新定義題是近年的熱點(diǎn)題,它的實(shí)質(zhì)是一種規(guī)定,規(guī)定某種運(yùn)算方式,規(guī)定某個(gè)概念的特征性質(zhì),然后要求參考者按照規(guī)定去計(jì)算、求值,理解概念,解決問題.
例3(2016·安順)根據(jù)如圖所示的程序計(jì)算,若輸入x的值為1,則輸出y的值為_________.
【分析】觀察圖形我們可以得出x和y的關(guān)系式為:y=2x2-4,因此將x的值代入就可以計(jì)算出y的值,如果計(jì)算的結(jié)果小于0,則需要把結(jié)果再次代入關(guān)系式求值,直到算出的值大于0為止,即可得出y的值.
解:由題中的計(jì)算程序列出算式:12×2-4,由于12×2-4=-2,-2<0,∴應(yīng)該按照計(jì)算程序繼續(xù)計(jì)算:(-2)2×2-4=4,∴y=4.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了程序運(yùn)算,解題時(shí)應(yīng)先認(rèn)真觀察程序的意義,然后將字母的值代入求解,注意分步驟落實(shí),這樣在解題的過程中比較容易檢測(cè)過程的正確性.
1.圖形類規(guī)律題.
例4(2016·荊州)如圖,用黑白兩種顏色的菱形紙片,按黑色紙片數(shù)逐漸增加1的規(guī)律拼成下列圖案.若第n個(gè)圖案中有2017個(gè)白色紙片,則n的值為( )
A.671 B.672 C.673 D.674
【分析】由圖知:第1個(gè)圖案有4個(gè)白色菱形紙片,第2個(gè)圖案有7個(gè)白色菱形紙片,第3個(gè)圖案有10個(gè)白色菱形紙片……從而可知每個(gè)圖案都比前一個(gè)圖案多3個(gè)白色菱形紙片,用含n的代數(shù)式表示此規(guī)律,最后根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律列出方程求解.
解:認(rèn)真觀察圖形,確定圖形變化規(guī)律:第1個(gè)圖案有4個(gè)白色菱形紙片,第2個(gè)圖案有7個(gè)白色菱形紙片,以后每個(gè)圖案都比前一個(gè)圖案多3個(gè)白色菱形紙片,所以第n(n是正整數(shù))個(gè)圖案中的白色菱形紙片的個(gè)數(shù)為3n+1,所以3n+1=2017,n=672,故選B.
【點(diǎn)評(píng)】解決此類問題應(yīng)先觀察圖形的變化趨勢(shì),從第一個(gè)圖形開始進(jìn)行分析,是逐漸增加還是逐漸減少,相鄰兩個(gè)圖形的變化量與位置序號(hào)有怎樣的關(guān)系.如果所求圖形的位置序號(hào)較大時(shí),需要運(yùn)用從特殊到一般的探索方式,分析歸納找出增加或減少的變化規(guī)律,并用含n的代數(shù)式表示出來(lái)解題.
2.數(shù)字類規(guī)律題.
例5(2016·黃石)觀察下列等式:
第1個(gè)等式:a1=
第2個(gè)等式:a2=
第3個(gè)等式:a3=
第4個(gè)等式:a4=
……
按上述規(guī)律,回答以下問題:
(1)請(qǐng)寫出第n個(gè)等式:an=_______;
(2)a1+a2+a3+…+an=_________.
【分析】(1)①觀察所給等式第一個(gè)等號(hào)的右邊,歸納規(guī)律:分子都為1,分母是兩個(gè)二次根式的和,并且兩個(gè)二次根式的被開方數(shù)是連續(xù)整數(shù),且較小的被開方數(shù)與等式的序號(hào)相同;②觀察所給等式第二個(gè)等號(hào)的右邊,歸納規(guī)律:是將第二個(gè)等號(hào)的左邊進(jìn)行分母有理化.(2)先將a1、a2、a3、a4、…、an代入,再將每個(gè)式子分母有理化即可求值.
解:(1)觀察題中提供的等式可知,a1是被開方數(shù)從1開始的兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的二次根式的和的倒數(shù),a2是被開方數(shù)從2開始的兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的二次根式的和的倒數(shù),a3是被開方數(shù)從3開始的兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的二次根式的和的倒數(shù),……,于是猜想,再分母有理化得.(2)a1+a2+a3+…+an=故答案為:(1)
【點(diǎn)評(píng)】規(guī)律探究問題,一般從最簡(jiǎn)單的幾個(gè)數(shù)、式或圖形觀察、分析、發(fā)現(xiàn),再由特殊到一般,猜想、歸納、總結(jié)出規(guī)律(用代數(shù)式或等式表示),最后進(jìn)行驗(yàn)證,確認(rèn)規(guī)律是正確的.
小試身手
1.(2016·雅安)P為正整數(shù),現(xiàn)規(guī)定P!= P(P-1)(P-2)×…×2×1,若m!=24,則正整數(shù)m=_________;
2.(2016·棗莊)一列數(shù)a1,a2,a3,…滿足條件:(n≥2,且n為整數(shù)),則a2016=_________.
3.(2016·新疆)如圖,下面每個(gè)圖形中的四個(gè)數(shù)都是按相同的規(guī)律填寫的,根據(jù)此規(guī)律確定x的值為_________.
4.(2016·廣安)我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝用三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律,稱之為“楊輝三角”.這個(gè)三角形給出了(a+b)n(n=1,2,3,4,…)的展開式的系數(shù)規(guī)律(按a的次數(shù)由大到小的順序).
1 1 (a+b)1=a+b
1 2 1 (a+b)2=a2+2ab+b2
1 3 3 1 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
1 4 6 4 1 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4…… ……
5.(2016·宜賓)規(guī)定:logab(a>0,a≠1,b>0)表示a,b之間的一種運(yùn)算.
現(xiàn)有如下的運(yùn)算法則:logaan=n.logNM=(a>0,a≠1,N>0,N≠1,M>0).
例如:log223=3,log25=,則log1001000 =_________.
6.(2016·東營(yíng))在求1+3+32+33+34+35+36+ 37+38的值時(shí),張紅發(fā)現(xiàn):從第二個(gè)加數(shù)起每一個(gè)加數(shù)都是前一個(gè)加數(shù)的3倍,于是她假設(shè):S=1+3+32+33+34+35+36+37+38①,然后在①式的兩邊都乘3,得:3S=3+32+33+34+35+36+37+38+ 39②,
②-①得:3S-S=39-1,即2S=39-1,
得出答案后,愛動(dòng)腦筋的張紅想:如果把“3”換成字母m(m≠0且m≠1),能否求出1+m+ m2+m3+m4+…+m2016的值?如能求出,其正確答案是:_________.
(作者單位:江蘇省海門市初級(jí)中學(xué))
(關(guān)注公眾號(hào),回復(fù)“2017年3月數(shù)學(xué)”查答案)