“數(shù)與式”中的新面孔

何念雪

“數(shù)與式”是中考的?？贾R(shí)點(diǎn)之一，近年來(lái)各地中考涌現(xiàn)了不少新題型，不少題目從新情境、新視角立意，營(yíng)造了一個(gè)充滿靈氣的中考大舞臺(tái)，下面摘取數(shù)例加以剖析，與同學(xué)們共同感受其獨(dú)特的魅力.

一、開放型試題

例1（2016·湘潭）多項(xiàng)式x2+1添加一個(gè)單項(xiàng)式后可變?yōu)橥耆椒绞剑瑒t添加的單項(xiàng)式可以是_______.（任寫一個(gè)符合條件的即可）

【分析】本題添加項(xiàng)可為乘積二倍項(xiàng)或平方項(xiàng).

解：設(shè)添加的單項(xiàng)式為Q，如果這里首末兩項(xiàng)是x和1這兩個(gè)數(shù)的平方，那么中間一項(xiàng)為加上或減去x與1的乘積的2倍，故Q=±2x；如果這里首末兩項(xiàng)是Q和1，則乘積二倍項(xiàng)是，所以，故答案為中任意一個(gè).

【點(diǎn)評(píng)】本題為開放性題目，只要符合完全平方式即可，要求非常熟悉公式特點(diǎn).另外注意題目中要求添加的條件是“單項(xiàng)式”，切不要誤填

二、新定義型試題

例2（2016·永州）我們根據(jù)指數(shù)運(yùn)算，得出了一種新的運(yùn)算，如表是兩種運(yùn)算對(duì)應(yīng)關(guān)系的一組實(shí)例：

指數(shù)運(yùn)算21= 2 22= 4 23= 8…31= 3 32= 9 33= 2 7…新運(yùn)算l o g22 = 1 l o g24 = 2 l o g28 = 3…l o g33 = 1 l o g39 = 2 l o g32 7 = 3…

根據(jù)上表規(guī)律，某同學(xué)寫出了三個(gè)式子：①log216=4，②log525=5，③log2=-1.其中正確的是（ ）.

A.①② B.①③

C.②③ D.①②③

【分析】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算和新的運(yùn)算法則得出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律運(yùn)算可得結(jié)論.

解：①因?yàn)?4=16，所以此選項(xiàng)正確；②因?yàn)?5=3125≠25，所以此選項(xiàng)錯(cuò)誤；③因?yàn)?-1=，所以此選項(xiàng)正確.故選B.

【點(diǎn)評(píng)】新定義題是近年的熱點(diǎn)題，它的實(shí)質(zhì)是一種規(guī)定，規(guī)定某種運(yùn)算方式，規(guī)定某個(gè)概念的特征性質(zhì)，然后要求參考者按照規(guī)定去計(jì)算、求值，理解概念，解決問題.

三、程序設(shè)計(jì)題

例3（2016·安順）根據(jù)如圖所示的程序計(jì)算，若輸入x的值為1，則輸出y的值為_________.

【分析】觀察圖形我們可以得出x和y的關(guān)系式為：y=2x2-4，因此將x的值代入就可以計(jì)算出y的值，如果計(jì)算的結(jié)果小于0，則需要把結(jié)果再次代入關(guān)系式求值，直到算出的值大于0為止，即可得出y的值.

解：由題中的計(jì)算程序列出算式：12×2-4，由于12×2-4=-2，-2＜0，∴應(yīng)該按照計(jì)算程序繼續(xù)計(jì)算：（-2）2×2-4=4，∴y=4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了程序運(yùn)算，解題時(shí)應(yīng)先認(rèn)真觀察程序的意義，然后將字母的值代入求解，注意分步驟落實(shí)，這樣在解題的過程中比較容易檢測(cè)過程的正確性.

四、探索規(guī)律試題

1.圖形類規(guī)律題.

例4（2016·荊州）如圖，用黑白兩種顏色的菱形紙片，按黑色紙片數(shù)逐漸增加1的規(guī)律拼成下列圖案.若第n個(gè)圖案中有2017個(gè)白色紙片，則n的值為（ ）

A.671 B.672 C.673 D.674

【分析】由圖知：第1個(gè)圖案有4個(gè)白色菱形紙片，第2個(gè)圖案有7個(gè)白色菱形紙片，第3個(gè)圖案有10個(gè)白色菱形紙片……從而可知每個(gè)圖案都比前一個(gè)圖案多3個(gè)白色菱形紙片，用含n的代數(shù)式表示此規(guī)律，最后根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律列出方程求解.

解：認(rèn)真觀察圖形，確定圖形變化規(guī)律：第1個(gè)圖案有4個(gè)白色菱形紙片，第2個(gè)圖案有7個(gè)白色菱形紙片，以后每個(gè)圖案都比前一個(gè)圖案多3個(gè)白色菱形紙片，所以第n（n是正整數(shù)）個(gè)圖案中的白色菱形紙片的個(gè)數(shù)為3n+1，所以3n+1=2017，n=672，故選B.

【點(diǎn)評(píng)】解決此類問題應(yīng)先觀察圖形的變化趨勢(shì)，從第一個(gè)圖形開始進(jìn)行分析，是逐漸增加還是逐漸減少，相鄰兩個(gè)圖形的變化量與位置序號(hào)有怎樣的關(guān)系.如果所求圖形的位置序號(hào)較大時(shí)，需要運(yùn)用從特殊到一般的探索方式，分析歸納找出增加或減少的變化規(guī)律，并用含n的代數(shù)式表示出來(lái)解題.

2.數(shù)字類規(guī)律題.

例5（2016·黃石）觀察下列等式：

第1個(gè)等式：a1=

第2個(gè)等式：a2=

第3個(gè)等式：a3=

第4個(gè)等式：a4=

……

按上述規(guī)律，回答以下問題：

（1）請(qǐng)寫出第n個(gè)等式：an=_______；

（2）a1+a2+a3+…+an=_________.

【分析】（1）①觀察所給等式第一個(gè)等號(hào)的右邊，歸納規(guī)律：分子都為1，分母是兩個(gè)二次根式的和，并且兩個(gè)二次根式的被開方數(shù)是連續(xù)整數(shù)，且較小的被開方數(shù)與等式的序號(hào)相同；②觀察所給等式第二個(gè)等號(hào)的右邊，歸納規(guī)律：是將第二個(gè)等號(hào)的左邊進(jìn)行分母有理化.（2）先將a1、a2、a3、a4、…、an代入，再將每個(gè)式子分母有理化即可求值.

解：（1）觀察題中提供的等式可知，a1是被開方數(shù)從1開始的兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的二次根式的和的倒數(shù)，a2是被開方數(shù)從2開始的兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的二次根式的和的倒數(shù)，a3是被開方數(shù)從3開始的兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的二次根式的和的倒數(shù)，……，于是猜想，再分母有理化得.（2）a1+a2+a3+…+an=故答案為：（1）

【點(diǎn)評(píng)】規(guī)律探究問題，一般從最簡(jiǎn)單的幾個(gè)數(shù)、式或圖形觀察、分析、發(fā)現(xiàn)，再由特殊到一般，猜想、歸納、總結(jié)出規(guī)律（用代數(shù)式或等式表示），最后進(jìn)行驗(yàn)證，確認(rèn)規(guī)律是正確的.

小試身手

1.（2016·雅安）P為正整數(shù)，現(xiàn)規(guī)定P！= P（P-1）（P-2）×…×2×1，若m！=24，則正整數(shù)m=_________；

2.（2016·棗莊）一列數(shù)a1，a2，a3，…滿足條件：（n≥2，且n為整數(shù)），則a2016=_________.

3.（2016·新疆）如圖，下面每個(gè)圖形中的四個(gè)數(shù)都是按相同的規(guī)律填寫的，根據(jù)此規(guī)律確定x的值為_________.

4.（2016·廣安）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝用三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”.這個(gè)三角形給出了（a+b）n（n=1，2，3，4，…）的展開式的系數(shù)規(guī)律（按a的次數(shù)由大到小的順序）.

1 1 （a+b）1=a+b

1 2 1 （a+b）2=a2+2ab+b2

1 3 3 1 （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

1 4 6 4 1 （a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4…… ……

5.（2016·宜賓）規(guī)定：logab（a＞0，a≠1，b＞0）表示a，b之間的一種運(yùn)算.

現(xiàn)有如下的運(yùn)算法則：logaan=n.logNM=（a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0）.

例如：log223=3，log25=，則log1001000 =_________.

6.（2016·東營(yíng)）在求1+3+32+33+34+35+36+ 37+38的值時(shí)，張紅發(fā)現(xiàn)：從第二個(gè)加數(shù)起每一個(gè)加數(shù)都是前一個(gè)加數(shù)的3倍，于是她假設(shè)：S=1+3+32+33+34+35+36+37+38①，然后在①式的兩邊都乘3，得：3S=3+32+33+34+35+36+37+38+ 39②，

②-①得：3S-S=39-1，即2S=39-1，

得出答案后，愛動(dòng)腦筋的張紅想：如果把“3”換成字母m（m≠0且m≠1），能否求出1+m+ m2+m3+m4+…+m2016的值？如能求出，其正確答案是：_________.

（作者單位：江蘇省海門市初級(jí)中學(xué)）

（關(guān)注公眾號(hào)，回復(fù)“2017年3月數(shù)學(xué)”查答案）