張 俏，徐愛功，祝會忠，2，高 猛，楊秋實

(1.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 測繪與地理科學(xué)學(xué)院，遼寧 阜新 123000；2.航天飛行動力學(xué)技術(shù)重點實驗室，北京 100091)

BDS總體最小二乘整周模糊度解算方法

張 俏1，徐愛功1，祝會忠1，2，高 猛1，楊秋實1

(1.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 測繪與地理科學(xué)學(xué)院，遼寧 阜新 123000；2.航天飛行動力學(xué)技術(shù)重點實驗室，北京 100091)

針對基于經(jīng)典最小二乘的方法在BDS整周模糊度解算中只考慮觀測向量誤差而忽略了系數(shù)矩陣的誤差的問題，研究一種模糊度快速解算的改進(jìn)LAMBDA算法：利用總體最小二乘法改進(jìn)LAMBDA算法搜索并確定雙差整周模糊度。通過對LAMBDA算法和改進(jìn)LAMBDA算法2種算法的數(shù)據(jù)處理結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計分析，得出結(jié)論：總體最小二乘法能夠顯著減少BDS整周模糊度固定所需的時間，提高整周模糊度固定的成功率。

BDS；整周模糊度；LAMBDA；總體最小二乘

0 引言

北斗導(dǎo)航衛(wèi)星系統(tǒng)(BeiDou navigation satellite system，BDS)是中國自主建設(shè)、獨立運行，與世界其他衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)兼容共用的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)[1]。目前已經(jīng)發(fā)射了25顆衛(wèi)星(包括4顆試驗衛(wèi)星)，其中10顆地球同步(geo-synchronous orbit，GEO)衛(wèi)星、7顆傾斜地球同步軌道(inclined geo-synchronous orbit，IGSO)衛(wèi)星及8顆中高度軌道(medium Earth orbit，MEO)衛(wèi)星。BDS致力于向全球提供高質(zhì)量的導(dǎo)航、定位和授時服務(wù)，包括授權(quán)服務(wù)和開放服務(wù)2種方式：開放服務(wù)是免費向全球提供定位、授時和測速的服務(wù)，定位精度10 m，授時精度10 ns，測速精度0.2 m/s[2]；授權(quán)服務(wù)是為有高可靠、高精度衛(wèi)星導(dǎo)航需求的用戶提供系統(tǒng)完好性信息和定位、授時、測速、通信的服務(wù)。

實現(xiàn)BDS高精度定位的前提是應(yīng)用載波相位觀測數(shù)據(jù)[3]；而整周模糊度的準(zhǔn)確確定是利用BDS相對定位方法進(jìn)行高精度動態(tài)定位的首要條件。模糊度固定是全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(global navigation satellite system，GNSS)高精度導(dǎo)航定位的關(guān)鍵問題，也是GNSS研究領(lǐng)域中多年來的熱點問題。國內(nèi)外學(xué)者對整周模糊度的確定作了大量研究，并取得了一些成果[4-14]。文獻(xiàn)[15]提出的LAMBDA方法是國際公認(rèn)的理論上最為嚴(yán)密、模糊度解算效率最高的方法，它首先基于整數(shù)高斯降相關(guān)原理，通過整數(shù)變換降低了模糊度之間的相關(guān)性，減少了候選整數(shù)模糊度的個數(shù)，提高了模糊度的解算效率。隨后許多學(xué)者提出不同的模糊度降相關(guān)方法，如文獻(xiàn)[16]提出了逆整數(shù)Cholesky分解方法，并初步比較了多維高斯整數(shù)降相關(guān)、逆整數(shù)Cholesky分解、LLL格基規(guī)約3種方法的性能。但在快速定位時，基于最小二乘導(dǎo)出的法方程求解時，通常假設(shè)系數(shù)陣沒有誤差或不考慮系數(shù)陣的誤差；然而實際情況中移動站坐標(biāo)值是估計值而不是準(zhǔn)確值，所以系數(shù)矩陣中是存在誤差的。

針對系數(shù)矩陣存在誤差的問題，本文研究了一種模糊度快速解算的改進(jìn)LAMBDA算法。該算法基于總體最小二乘原理，對雙差觀測系數(shù)矩陣加上一個系數(shù)誤差矩陣，然后在系數(shù)誤差矩陣未知的情況下快速準(zhǔn)確地求出坐標(biāo)改正數(shù)以及整周模糊度。

1 總體最小二乘法改進(jìn)LAMBDA算法

1.1 總體最小二乘法方程

由于雙差組合觀測值具有消除接收機(jī)中誤差和衛(wèi)星鐘差，大大削弱衛(wèi)星軌道誤差、電離層延遲誤差、對流層延遲誤差等誤差影響的優(yōu)點，所以本文采用雙差模型進(jìn)行整周模糊度解算。雙差載波相位觀測方程為

(1)

若流動站的近似坐標(biāo)為(X0，Y0，Z0)，將上式用泰勒級數(shù)展開的雙差載波相位觀測方程為

λΔφi=-(li-l0)Vx-(mi-m0)Vy-

(ni-n0)Vz-λΔNi+Δρi。

(2)

由于寬巷觀測值的波長為84.7cm，因而很容易準(zhǔn)確確定其整周模糊度，并且寬巷組合又保證了整周模糊度的整數(shù)性質(zhì)；但由于測量噪聲較大，所以寬巷觀測值一般并不用于最終的定位。本文采用改進(jìn)的LAMBDA算法先確定寬巷浮點模糊度，然后利用已確定的寬巷浮點模糊度求出流動站的坐標(biāo)改正數(shù)，最后利用坐標(biāo)改正數(shù)求出L1的整周模糊度的方法確定整周模糊度。寬巷的觀測方程為

(3)

式中：φw是寬巷觀測值；φ1是載波L1的載波觀測值；φ2是載波L2的載波觀測值。Δφw是單差的寬巷觀測值；下標(biāo)0代表基準(zhǔn)站；下標(biāo)0i代表其他衛(wèi)星；下標(biāo)00代表基準(zhǔn)站基準(zhǔn)衛(wèi)星；下標(biāo)1代表流動站；下標(biāo)1i代表流動站基準(zhǔn)衛(wèi)星；下標(biāo)10代表流動站其他衛(wèi)星；Δφw為雙差寬巷觀測值。

將寬巷雙差帶入式(2)中得到寬巷的雙差觀測方程為

λwΔφwi=-(li-l0)Vx-(mi-m0)Vy-(ni-n0)Vz-λΔNwi+Δρi。(4)

式中：λw為載波寬巷的波長，大小約為84.7 cm；ΔNwi為寬巷浮點模糊度。

ΔliVx+ΔmiVy+ΔniVz+λwΔNwi=Li。

(5)

由式(5)可知：Li為已知；Vx、Vy、Vz和ΔNwi為未知；未知數(shù)個數(shù)為(3+n)個。其中n為除基準(zhǔn)衛(wèi)星和衛(wèi)星高度角小于15°外的基準(zhǔn)站接收機(jī)和流動站接收機(jī)共同觀測到的衛(wèi)星個數(shù)。則可以列出方程組為

(6)

式中：上標(biāo)代表歷元數(shù)；下標(biāo)代表衛(wèi)星。式(6)可以用矩陣的方式表示為

(7)

式中：上標(biāo)代表歷元數(shù)；下標(biāo)代表除基準(zhǔn)衛(wèi)星外的其他共同觀測衛(wèi)星。式(7)可以表示為

AX=L。

(8)

在測量數(shù)據(jù)處理中，最常用的模型為Gauss-Markov模型，若僅考慮觀測向量誤差，其誤差方程式為

V=AX-L，

(9)

其最小二乘準(zhǔn)則為

VTPV=min，

(10)

其中未知參數(shù)X的最小二乘估計為

X=(ATPA)-1ATPL=N-1ATPL。

(11)

式中：P為權(quán)陣；N=ATPA，是法方程系數(shù)矩陣。

Gauss-Markov模型采用最小二乘方法對誤差方程式進(jìn)行求解，其假設(shè)系數(shù)矩陣A不含誤差，偶然誤差僅存于觀測向量L中。當(dāng)系數(shù)矩陣A存在誤差、擾動時，從統(tǒng)計觀點看，最小二乘估值將是有偏的，不再是最優(yōu)的，而且偏差的協(xié)方差將隨著ATPA的噪聲誤差作用而增加。

由于式(8)A矩陣中

(12)

而

(13)

式中的X0、Y0和Z0為流動站坐標(biāo)的估計值，不是真實值；所以系數(shù)矩陣A是存在誤差的。

總體最小二乘的基本思想可以歸納為：不僅觀測量L含有觀測誤差ΔL，系數(shù)矩陣A也存在擾動或誤差ΔA。在總體最小二乘中，考慮的是線性方程

(A+ΔA)X=L+ΔL

(14)

的求解。

1.2LAMBDA算法原理

LAMBDA算法是從概率角度出發(fā)，以離散搜索方式求解

(15)

1.3 平差解算

目前總體最小二乘的解法有總體最小二乘SVD解法、總體最小二乘最小奇異值解法、總體最小二乘Euler-Lagrange逼近法和總體最小二乘迭代法等。本文采用總體最小二乘Euler-Lagrange逼近法進(jìn)行最小二乘求解。具體流程如圖1所示。

圖中：X為求出的流動站的位置坐標(biāo)；X0為上一次迭代求出的位置坐標(biāo)；ε為一個無限小的數(shù)，可以設(shè)為0.000 01。

總體最小二乘Euler-Lagrange逼近法公式為：

(16)

(17)

(18)

其中的上標(biāo)“∧”代表“未知數(shù)”。

單位權(quán)方差以及參數(shù)的協(xié)方差矩陣為：

(19)

(20)

式中Im為m行m列的單位陣。

將求出的協(xié)方差矩陣代入到LAMBDA算法中求出寬巷的浮點模糊度，模糊度已知后將

Li=Li+λwΔNi

(21)

代入式(6)中得

(22)

則可解出Vx、Vy和Vz，將Vx、Vy、Vz代入到式(2)中可得到載波的浮點模糊度，取整得到整周模糊度。

2 算例與分析

本文使用2013-10-16的BDS實測數(shù)據(jù)進(jìn)行算法檢驗，基線長度為1km，采樣間隔為1s，截止高度角為15°。選取BDS的6號衛(wèi)星為基準(zhǔn)，可獲得7個整周模糊度值。通過全部數(shù)據(jù)解算得到的模糊度解為[-71，-167，-127，-239，-241，-149，-240]，寬巷的模糊度為[-9，36，29，54，40，64，49]，以此作為整周模糊度的真實值。為了更好地展示模糊度固定變化趨勢，從2 000個歷元中截取前40個做出4幅圖，如圖2～圖5所示，其余歷元全部固定。

從圖2中可以看到，常規(guī)的LAMBDA算法固定寬巷模糊度時用了20個歷元，固定前與固定后的模糊度差值的絕對值的最大值在1 200左右；圖3中改進(jìn)LAMBDA算法固定寬巷模糊度時用了6個歷元，前6個歷元的模糊度與真實的整周模糊度差的絕對值都在70以內(nèi)；圖4中利用常規(guī)LAMBDA算法固定的L1整周模糊度用了20個歷元，整周模糊度固定前與固定后的差值超過了6 000；圖5中，改進(jìn)的LAMBDA算法固定L1的整周模糊度用了6個歷元，整周模糊度固定前與固定后的差值在550以內(nèi)。通過圖2和圖3、圖4和圖5的對比可以發(fā)現(xiàn)：通過總體最小二乘法改進(jìn)后的LAMBDA算法固定的整周模糊度明顯比一般的LAMBDA算法波動小得多，而且固定所需的歷元數(shù)也要比相同情況下沒有改進(jìn)的LAMBDA算法要少。同時可以發(fā)現(xiàn)：寬巷的模糊度變化趨勢和L1的模糊度變化趨勢完全相同，只是數(shù)值不同。因此可以得到結(jié)論：改進(jìn)后的LAMBDA算法在模糊度固定方面所需的歷元數(shù)要比一般LAMBDA算法的少，節(jié)約了模糊度固定時間。

為了更直觀地對模糊度固定所需歷元數(shù)進(jìn)行分析，在觀測數(shù)據(jù)中隨機(jī)選出5組數(shù)據(jù)，每組30個歷元，通過計算得到如表1所示結(jié)果。

表1 模糊度固定所需歷元個數(shù)

從表1中可以看出，在模糊度固定所需歷元個數(shù)方面，改進(jìn)后的LAMBDA算法明顯優(yōu)于一般的LAMBDA算法，初始化時間明顯降低。

為了將改進(jìn)算法的BDS系統(tǒng)動態(tài)定位結(jié)果更直觀地展現(xiàn)出來，將解算的定位結(jié)果與精確值做差后得到東方向(E)、北方向(N)、高程方向(U)等3個方向的坐標(biāo)偏差，如圖6所示。

從圖中可以看出：東方向精度基本保持在1 cm以內(nèi)；北方向稍差一些，在1 cm左右；高程方向精度保持在1 cm以內(nèi)。

3 結(jié)束語

本文提出了一種基于總體最小二乘的模糊度快速解算方法：首先通過總體最小二乘求出寬巷的浮點模糊度；然后將其代入到載波觀測方程中，求出載波的浮點模糊度；最后用取整的方法獲取最終的載波整周模糊度。通過實驗表明，基于總體最小二乘的模糊度固定方法在模糊度固定所需時間和模糊度固定準(zhǔn)確率方面均有提高。由于經(jīng)典最小二乘在BDS整周模糊度解算中只考慮觀測向量誤差而忽略了系數(shù)矩陣的誤差，本文研究的基于總體最小二乘的改進(jìn)LAMBDA算法成功地解決了系數(shù)矩陣存在誤差的問題。但文中只是將求寬巷浮點模糊度時的最小二乘法改為總體最小二乘方法，目的是能夠清晰地比較總體最小二乘改進(jìn)的LAMBDA算法和原LAMBDA算法的模糊度固定時間和準(zhǔn)確率，而在參數(shù)估計時沒有應(yīng)用該方法，今后的研究將在參數(shù)估計時也應(yīng)用總體最小二乘法，進(jìn)而比較定位精度的情況。

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Method of BDS total least squares integer ambiguity resolution

ZHANGQiao1，XUAigong1，ZHUHuizhong1，2，GAOMeng1，YANGQiushi1

(1.School of Geomatics，Liaoning Technical University，F(xiàn)uxin，Liaoning 123000，China； 2.Key Laboratory of Research and Technology on Aerospace Flight Dynamics，Beijing 100091，China)

Aiming at the problem that the method based on classical least squares considers only the error of the observation vectors while ignoring that of the coefficient matrix in the solution of BDS integer ambiguity，the paper proposed an improved LAMBDA algorithm with rapid ambiguity resolution：the total least squares method was used to improve the serarch of LAMBDA algorithm and determine the double difference integer ambiguity.Finally，the comparative analysis between LAMBDA algorithm and the improved LAMBDA algorithm indicated that the total least squares method could significantly reduce the required fixing time of BDS integer ambiguity，so as to increase the success rate of fixing integer ambiguity.

BDS；integer ambiguity；LAMBDA；total least squares

2016-05-23

國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃(863計劃)項目(2014AA123101)；遼寧省高等學(xué)校創(chuàng)新團(tuán)隊項目(LT2015013)。

張俏(1991—)，男，遼寧阜新人，碩士生，研究方向為衛(wèi)星導(dǎo)航與定位。

張俏，徐愛功，祝會忠，等.BDS總體最小二乘整周模糊度解算方法[J].導(dǎo)航定位學(xué)報，2017，5(1)：65-69,80.(ZHANG Qiao，XU Aigong，ZHU Huizhong，et al.Method of BDS total least squares integer ambiguity resolution[J].Journal of Navigation and Positioning，2017，5(1)：65-69,80.)

10.16547/j.cnki.10-1096.20170114.

P228

A

2095-4999(2017)01-0065-06