楊繼龍，周 軍，呼衛(wèi)軍

(西北工業(yè)大學(xué) 精確制導(dǎo)與控制研究所，西安 710072)

遠(yuǎn)程攔截飛行諸元快速裝訂算法

楊繼龍，周 軍，呼衛(wèi)軍

(西北工業(yè)大學(xué) 精確制導(dǎo)與控制研究所，西安 710072)

傳統(tǒng)諸元解算僅強(qiáng)調(diào)終端打擊精度而忽略目標(biāo)的高速運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，易引起攔截末段過(guò)載飽和，影響攔截效能。為解決此問(wèn)題，針對(duì)多級(jí)推進(jìn)的地基遠(yuǎn)程攔截彈結(jié)合解析計(jì)算和數(shù)據(jù)擬合算法，設(shè)計(jì)一種基于預(yù)測(cè)攔截點(diǎn)(PIP點(diǎn))的在線諸元計(jì)算方法。首先，該方法通過(guò)引入攔截彈到達(dá)PIP點(diǎn)時(shí)彈目速度交會(huì)角約束，基于橢圓彈道理論實(shí)現(xiàn)對(duì)關(guān)機(jī)點(diǎn)參數(shù)解析求解，進(jìn)而利用目標(biāo)距PIP點(diǎn)飛行時(shí)間約束設(shè)計(jì)收斂策略，快速確定發(fā)射時(shí)刻，求解出發(fā)射方位角初值。然后，結(jié)合離線建立的近似解析多項(xiàng)式，完成飛行諸元初值求解。最后，利用牛頓法僅少數(shù)步迭代即可確定出攔截彈發(fā)射諸元精確值。六自由度仿真表明，該方法不僅具有很好的在線能力，攔截精度高，而且適用于大范圍機(jī)動(dòng)發(fā)射。

預(yù)測(cè)命中點(diǎn)；遠(yuǎn)程攔截；關(guān)機(jī)點(diǎn)參數(shù)；交會(huì)角；機(jī)動(dòng)發(fā)射

0 引言

隨著導(dǎo)彈技術(shù)的發(fā)展，攻防對(duì)抗將成為未來(lái)戰(zhàn)爭(zhēng)的主要形態(tài)。目前，多國(guó)正積極構(gòu)建以大氣層外遠(yuǎn)程攔截彈為中堅(jiān)的多層次彈道導(dǎo)彈防御系統(tǒng)，如美國(guó)GBI、俄羅斯S400等。諸元的有效解算是此類系統(tǒng)重要戰(zhàn)斗保障。因此，針對(duì)遠(yuǎn)程中段攔截彈設(shè)計(jì)更快速、高效的諸元解算方法顯得十分必要。目前，因國(guó)外導(dǎo)彈技術(shù)封鎖，少見(jiàn)國(guó)外相關(guān)諸元資料，且由于諸元解算具有強(qiáng)針對(duì)性，國(guó)內(nèi)諸元計(jì)算算法設(shè)計(jì)主要還集中在應(yīng)用層面上，采用積分、射表擬合以及自由段解析等方法。積分法[1-3]使用簡(jiǎn)化模型，考慮約束較少，需要進(jìn)一步改進(jìn)；射表擬合法[4]則需要綜合運(yùn)用均勻?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)、逐步回歸分析等理論，離線計(jì)算量大，尤其當(dāng)諸元涉及參數(shù)較多時(shí)，數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量巨大；自由段解析法形式復(fù)雜，精度較差，一般不作單獨(dú)使用。近年來(lái)，提出一種擬合+迭代[5-7]的諸元計(jì)算思路，當(dāng)選定合適擬合函數(shù)式，求解合理的初值，通過(guò)有限步迭代即可獲得精確的諸元參數(shù)，一定程度上綜合了前3種方法的利弊。但以上的多種計(jì)算方法主要針對(duì)彈道導(dǎo)彈設(shè)計(jì)，只強(qiáng)調(diào)對(duì)地面固定目標(biāo)的打擊精度，并不適用于攔截高速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的遠(yuǎn)程動(dòng)能攔截彈。

本文研究機(jī)動(dòng)發(fā)射的三級(jí)固體助推地基中段遠(yuǎn)程攔截彈對(duì)彈道導(dǎo)彈攔截諸元計(jì)算問(wèn)題，考慮地球自轉(zhuǎn)，為其設(shè)計(jì)一條通過(guò)發(fā)射點(diǎn)與PIP點(diǎn)，且滿足攔截剩余飛行時(shí)間，以及彈目速度交會(huì)角約束的標(biāo)準(zhǔn)彈道，并確定相應(yīng)的發(fā)射時(shí)間、發(fā)射方位角以及飛行程序角等諸元參數(shù)：首先，根據(jù)設(shè)定的目標(biāo)PIP點(diǎn)位置與速度，確定攔截彈彈道約束角度，利用橢圓軌道方程，并結(jié)合通過(guò)離線開環(huán)飛行仿真數(shù)據(jù)庫(kù)所擬合出飛行程序參數(shù)與諸元參數(shù)之間近似解析式，在大范圍機(jī)動(dòng)發(fā)射情況下，實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)外推彈道上滿足發(fā)射時(shí)間約束和飛行參數(shù)取值范圍約束的PIP點(diǎn)的選取，并快速求解該點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的攔截彈發(fā)射時(shí)刻與諸元計(jì)算初值。然后，利用有限次數(shù)值積分迭代，即可確定飛行參數(shù)精確值。

本文方法主要基于解析計(jì)算結(jié)合數(shù)據(jù)擬合，具備諸元快速在線解算能力，且通過(guò)引入反映目標(biāo)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的交會(huì)角約束，在順軌與逆軌攔截高速目標(biāo)情況下，該約束角度對(duì)平滑末段攔截彈指令過(guò)載、提升攔截效能具有重要實(shí)際意義。

1 攔截彈關(guān)機(jī)點(diǎn)參數(shù)求解

1.1 問(wèn)題描述

遠(yuǎn)程攔截彈飛行主要分為助推段與自由飛行段。諸元解算階段，本文主要考慮連續(xù)助推方式推送攔截彈頭滿足命中橢圓彈道參數(shù)要求，保證攔截彈頭無(wú)控情況下自由滑行，精確與目標(biāo)碰撞。

彈道示意圖見(jiàn)圖1。

設(shè)OkP之間橢圓弧段為命中彈道，則Ok點(diǎn)滿足命中彈道的參數(shù)即為所求的關(guān)機(jī)點(diǎn)參數(shù)，但因Ok點(diǎn)位置隨飛行程序參數(shù)變化較大，不易確定。考慮以攔截彈助推段關(guān)機(jī)點(diǎn)平均地心距ravg作為關(guān)機(jī)點(diǎn)地心距rk初值，關(guān)機(jī)點(diǎn)平均射程角θavg為關(guān)機(jī)點(diǎn)射程角Ok初值，θt作為初始射程角，且滿足：

(1)

此時(shí)，利用PIP點(diǎn)位置、速度矢所確定的終端交會(huì)角約束，求解命中彈道參數(shù)Vk、γk，作為攔截彈關(guān)機(jī)點(diǎn)參數(shù)，且上述ravg與θavg可根據(jù)2.2節(jié)擬合解析式數(shù)據(jù)儲(chǔ)備中計(jì)算作為初值，為精確求解，后續(xù)解算需進(jìn)一步更新。

1.2 命中彈道求解

在實(shí)際作戰(zhàn)中，若已知目標(biāo)PIP點(diǎn)速度矢與位置矢，可確定命中時(shí)刻攔截彈所需當(dāng)?shù)貜椀纼A角約束γpm，考慮典型順軌與逆軌場(chǎng)景，表述如下：Vt、Vm分別為命中時(shí)刻目標(biāo)與攔截彈速度矢，P為PIP點(diǎn)，γpt、γpm分別為攔截點(diǎn)攔截彈與目標(biāo)當(dāng)?shù)貜椀纼A角，xPy設(shè)為攔截射面，xPz設(shè)為攔截點(diǎn)所在切平面，VtL為目標(biāo)速度Vt在攔截面內(nèi)投影。由圖2分析，選?。?/p>

(1) 廣義逆軌攔截，約束角度取γpm=-γpt；

(2) 廣義順軌攔截，角度約束取γpm=γpt。

可知，在攔截面內(nèi)，彈目視線角速率在PIP點(diǎn)收斂為零，且目標(biāo)相對(duì)攔截面法向速度分量最小。因此，該約束角度選取方式對(duì)減小攔截末段彈目視線角速率以及平滑末段攔截彈過(guò)載指令具有實(shí)際意義。

確定攔截彈命中時(shí)刻約束角度γpm，假設(shè)攔截彈在理想平方反比引力場(chǎng)作用下，攔截彈關(guān)機(jī)點(diǎn)的彈道傾角γk可解析求解，推導(dǎo)如下：

根據(jù)橢圓軌道方程相關(guān)公式[8]：

(2)

(3)

h=rkVkcosγk

(4)

P=rkv0cos2γk

(5)

(6)

其中，μ為引力常數(shù)；e為軌道偏心率；v0為能量參數(shù)；h為動(dòng)量矩；P為半通徑；f為真近點(diǎn)角；r為地心距；已知P與h為常值[9]。

當(dāng)?shù)竭_(dá)PIP點(diǎn)時(shí)彈道傾角為γpm，設(shè)此刻攔截彈的真近點(diǎn)角為 ，則由式(6)：

(7)

根據(jù)真近點(diǎn)角與γpm之間的關(guān)系：

(8)

可得

(9)

代入式(2)～式(9)中，平方得

(10)

將式(4)代入式(10)，取K1=rp/rk得

(11)

回代式(5)～式(11)，得

(12)

令K2=cos2γpm(2K1-2K12)，則變?yōu)?/p>

(13)

對(duì)兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的求解[10-11]，在γk已知的情況下，求解需要速度：

(14)

代入式(3)，并取K3=K1(1-cosθt)，即可得

(15)

代入式(15)～ 式(13) ，并交叉相乘，并設(shè)如下變量：

結(jié)果整理為

Atan2γk+Btanγk+C=0

(16)

把終端角度約束問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一元二次方程。根據(jù)式(14)，關(guān)機(jī)點(diǎn)的速度Vk由初始彈道傾角γk決定，若γk選取不當(dāng)，所求的攔截彈速度達(dá)到逃逸速度，不可達(dá)PIP點(diǎn)，由v0<2限定攔截彈沿橢圓彈道飛行[12]，得

(17)

得出Vk上限，可看出Vkmax為逃逸速度。將式(17)代入式(14)得γk，取值為γk∈(γkmin,γkmax)。

(18)

由上式推導(dǎo)可看出，γk的求解取決于關(guān)機(jī)點(diǎn)地心距與PIP點(diǎn)地心距的比值K1、兩地心距間的夾角θt以及終端當(dāng)?shù)貜椀纼A角約束γpm，即

(19)

以赤道半徑a0=6 378 140 m為參考高度，利用數(shù)值計(jì)算，定量分析γk分別與K1、θt、γpm之間的關(guān)系，可看出在一般攔截范圍內(nèi)，總有

Δ=B2-4AC>0

(20)

PIP高度為1 000 km時(shí)，Δ取值見(jiàn)圖3。

但上述推導(dǎo)公式中，角度約束以cosγpm形式出現(xiàn)，故γk有兩解，帶入原方程驗(yàn)證，確定可行解。

1.3 發(fā)射時(shí)刻確定

當(dāng)選定PIP點(diǎn)，以目標(biāo)發(fā)射時(shí)間為基準(zhǔn)零值，設(shè)目標(biāo)當(dāng)前時(shí)刻tCur，自由飛行到PIP點(diǎn)時(shí)間為tp，則確定tLeft=tp-tCur為剩余飛行時(shí)間，設(shè)攔截器發(fā)射時(shí)刻tLau，則需要滿足約束條件：

(21)

即若設(shè)攔截彈發(fā)射時(shí)刻相對(duì)目標(biāo)發(fā)射時(shí)間為tILau，則tLau=tILau-tCur。不考慮地球自轉(zhuǎn)時(shí),根據(jù)PIP點(diǎn)狀態(tài)與發(fā)射點(diǎn)位置，由式(14)與式(16)解析求解關(guān)機(jī)點(diǎn)參數(shù)，繼而利用自由段飛行時(shí)間[10]，直接求解發(fā)射時(shí)刻tLau。

(22)

在考慮地球自轉(zhuǎn)情況下，選擇不同發(fā)射時(shí)刻，攔截彈發(fā)射點(diǎn)與PIP相對(duì)位置存在變化[13]， 需要對(duì)tLau修正，直到|tLaun-tLaun-1|≤ε。

1.4 關(guān)機(jī)點(diǎn)參數(shù)迭代求解

綜述以上內(nèi)容，本節(jié)主要基于發(fā)射點(diǎn)與目標(biāo)外推彈道，引入攔截終端角度約束，結(jié)合橢圓軌道方程，考慮地球自轉(zhuǎn)情況下，在目標(biāo)彈道上選取滿足攔截彈發(fā)射時(shí)刻tLau>0的PIP點(diǎn)，確定攔截彈在rk=ravg情況下對(duì)應(yīng)的關(guān)機(jī)點(diǎn)參數(shù)γk、Vk，具體解算流程如圖4所示。

1.5 關(guān)機(jī)點(diǎn)參數(shù)求解分析

在上述仿真解算流程中，針對(duì)rk=ravg時(shí)關(guān)機(jī)點(diǎn)參數(shù)求解時(shí)，涉及tLau迭代計(jì)算，該迭代快速性與穩(wěn)健性將直接影響到諸元計(jì)算的可用性以及作戰(zhàn)中的攔截效能，本節(jié)將作進(jìn)一步分析。

1.5.1 關(guān)機(jī)點(diǎn)參數(shù)求解收斂性分析

(1)tLau迭代。主要補(bǔ)償?shù)厍蜃赞D(zhuǎn)引起的相對(duì)位置變化，在求解過(guò)程中，僅tLau為自變量。選擇tLau初值后，根據(jù)式 (16) 式與式(22) ，解析計(jì)算tf，結(jié)合 (21)式約束關(guān)系，確定新tLau，循環(huán)進(jìn)行實(shí)現(xiàn)收斂。

(2)針對(duì)tLau<0情況，在一般攔截場(chǎng)景中，目標(biāo)飛行時(shí)間單調(diào)遞增。當(dāng)PIP點(diǎn)依飛行時(shí)序選取，目標(biāo)數(shù)千公里飛行過(guò)程中，完全可選出tLau。

1.5.2 關(guān)機(jī)點(diǎn)參數(shù)求解快速性分析

(1)根據(jù)下文表6中針對(duì)tLau仿真結(jié)果可知，tLau不僅大范圍選取，且僅2～3步可收斂到0.5 s誤差范圍內(nèi)，不僅快速，而且驗(yàn)證上述tLau收斂特性。

(2)在迭代解算過(guò)程中，直接解析求解，并不涉及數(shù)值積分。

(3)當(dāng)內(nèi)環(huán)解算tLau<0時(shí)，將基于當(dāng)前PIP點(diǎn)直接外推|tLau|以上時(shí)間，僅一次更新，即可滿足tLau≥0。在后文中，默認(rèn)選定PIP點(diǎn)均滿足tLau≥0。

2 諸元近似解析式擬合

2.1 方位角初值選取

諸元計(jì)算中，為尋求精確度較高的方位角初值，需充分考慮遠(yuǎn)程攔截特點(diǎn)。目標(biāo)慣性系下，某時(shí)刻狀態(tài)可經(jīng)算法外推得到。當(dāng)攔截tLau確定，PIP點(diǎn)相對(duì)于攔截彈發(fā)射點(diǎn)位置隨之確定。設(shè)發(fā)射點(diǎn)經(jīng)度為λ0，地心緯度為φ0，PIP在導(dǎo)彈發(fā)射時(shí)刻對(duì)應(yīng)經(jīng)度為λ1、φ1，令Δλ=λ1-λ0，據(jù)球面三角形得

(23)

事實(shí)上，因地球自轉(zhuǎn)，攔截彈主動(dòng)段彈道存在指向射面外的初速度引起彈道變形。假設(shè)發(fā)射系中的攔截彈主動(dòng)段彈道為一平面曲線[14]，在主動(dòng)段關(guān)機(jī)點(diǎn)k作切平面，如圖5所示。因發(fā)射點(diǎn)與主動(dòng)段關(guān)機(jī)點(diǎn)較接近，它們切平面近似重合。V為關(guān)機(jī)點(diǎn)發(fā)射系射向速度，Vt為關(guān)機(jī)點(diǎn)發(fā)射慣性系射向速度。A0為式(23)方位角求解初值。

由下式推導(dǎo)出主動(dòng)段彈道變形角為ΔA0：

(24)

Ve=r0cosφ0we

(25)

(26)

其中，r0為發(fā)射點(diǎn)的地心距，Ve為向東初始速度，即修正后的發(fā)射方位角為

(27)

修正結(jié)果有足夠精度作為諸元精確迭代計(jì)算初值。2.2 諸元近似擬合解析式

遠(yuǎn)程攔截所選PIP點(diǎn)在大氣層外，不考慮再入段，可采用更簡(jiǎn)單的迭代計(jì)算。本文分析遠(yuǎn)程攔截彈典型飛行程序：一級(jí)垂直發(fā)射，攻角轉(zhuǎn)彎，重力轉(zhuǎn)彎，分離段定軸飛行；二三級(jí)常值角速率轉(zhuǎn)彎。攻角轉(zhuǎn)彎段轉(zhuǎn)彎遵循以下規(guī)律：

(28)

設(shè)定發(fā)射參數(shù)與飛行程序參數(shù)范圍及間隔，在開環(huán)仿真中，對(duì)不滿足飛行過(guò)程中過(guò)載、動(dòng)壓等約束條件的彈道予以剔除，考慮實(shí)際應(yīng)用中作戰(zhàn)范圍 僅限于北半球取值。通過(guò)離線開環(huán)仿真，獲取對(duì)應(yīng)的關(guān)機(jī)點(diǎn)參數(shù)數(shù)據(jù)庫(kù)，利用二次多項(xiàng)式擬合：

根據(jù)以上表達(dá)式,結(jié)合上述參數(shù)取值所保存的數(shù)據(jù)庫(kù)，離線對(duì)參數(shù)ai、bi、ci線性回歸解算，在選定發(fā)射點(diǎn)與初始方位角情況下，可根據(jù)關(guān)機(jī)點(diǎn)約束，快速求解飛行程序參數(shù)初始值。

2.3 諸元解算流程

(30)

利用牛頓法有限次迭代[1]，可得諸元精確解。具體諸元流程如圖6所示。

3 仿真算例

本文將參考地基中段攔截彈GBI性能參數(shù)建立六自由度助推段模型，設(shè)置典型的攔截場(chǎng)景，驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)的諸元計(jì)算方法有效性與快速性，攔截彈具體參數(shù)如表 1所示。

表1 攔截彈參數(shù)

以目標(biāo)發(fā)射時(shí)間為參考基準(zhǔn)，設(shè)tCur=180 s時(shí)目標(biāo)以表3狀態(tài)開始自由飛行。

考慮J2項(xiàng)引力攝動(dòng)外推彈道，獲取實(shí)時(shí)PIP點(diǎn)與對(duì)應(yīng)tLeft。設(shè)置3組發(fā)射點(diǎn)分別模擬順軌、逆軌以及攔截面與目標(biāo)彈道平面呈一夾角的攔截情況，見(jiàn)表4。

根據(jù)圖6仿真解算流程，先大步長(zhǎng)迭代，選定PIP點(diǎn)，因不同攔截場(chǎng)景中存在多個(gè)可用PIP點(diǎn)，本節(jié)僅列寫目標(biāo)最早可攔截點(diǎn)(即首次出現(xiàn)tLau>0時(shí)對(duì)應(yīng)PIP點(diǎn))的諸元初值(對(duì)應(yīng)a)及利用牛頓迭代確定的諸元精確值(對(duì)應(yīng)b)，并給出迭代次數(shù)，說(shuō)明諸元初值可用性及求解精確值的快速性。諸元初值與精確值見(jiàn)表5。

表2 攔截彈初始條件

表3 目標(biāo)初始狀態(tài)(地心慣性系)

表4 發(fā)射點(diǎn)設(shè)置

為本文方法完備性，列出3組攔截場(chǎng)景中tLau收斂特性，如表6所示。給定任一發(fā)射時(shí)刻初值，tLau僅2～3步收斂到0.5 s誤差范圍內(nèi)。

通過(guò)六自由度彈道仿真，繪制典型攔截場(chǎng)景中三維仿真攔截圖，給出攔截時(shí)刻彈目交會(huì)約束角度誤差以及PIP點(diǎn)位置，見(jiàn)圖7和圖8。

表5 諸元初值與精確值

表6 tLau迭代結(jié)果

為驗(yàn)證諸元算法的適應(yīng)性，僅以上述逆軌攔截場(chǎng)景為例，進(jìn)一步外推目標(biāo)彈道，選取PIP點(diǎn)，即在不同的tLau時(shí)，驗(yàn)證該裝訂算法。

由仿真可知，當(dāng)首次出現(xiàn)tLau>0后，依目標(biāo)飛行時(shí)序選取多組PIP點(diǎn)，依然可實(shí)現(xiàn)諸元解算。在實(shí)際攻防對(duì)抗中，通過(guò)本文算法對(duì)目標(biāo)彈道逐點(diǎn)解算，確定可攔截弧段，為組織多次攔截提供參考。

4 結(jié)論

(1)綜合考慮目標(biāo)PIP點(diǎn)位置與速度，首次引入攔截時(shí)刻彈目速度交會(huì)角度約束，基于橢圓軌道方程，實(shí)現(xiàn)關(guān)機(jī)點(diǎn)參數(shù)解析求解。

(2)通過(guò)文中表格及三維圖可看出，該方法不僅適用于機(jī)動(dòng)發(fā)射條件下不同場(chǎng)景的諸元裝訂任務(wù)，而且諸元初值具有較高精度，僅2～3次迭代，實(shí)現(xiàn)脫靶量收斂到50 m內(nèi)，快速且高效。

(3)尤其在逆軌攔截場(chǎng)景中，通過(guò)引入彈目速度交會(huì)約束角度，使得攔截末段彈目近 相對(duì)飛行，有助于末端導(dǎo)引頭對(duì)目標(biāo)捕獲，提高攔截效能，具有工程應(yīng)用價(jià)值。

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(編輯：崔賢彬)

Effective algorithm for calculating flight firing data for long range interception

YANG Ji-long,ZHOU Jun,HU Wei-jun

(Institute of Precision Guidance and Control,Northwestern Polytechnical University,Xi'an 710072,China)

The traditional methods of firing data which only focus on final hitting accuracy and ignore the target motion trend with high speed are easy to lead to overloading saturation during the terminal phase of intercept,even decrease intercepting efficiency.To solve this problem,in view of ground-based long range interceptor propelled by solid fuel engine with multi-stages,this paper combines analytical calculation and data fitting to design an online firing data calculation algorithm based on prediction intercept point (PIP) .First of all,the algorithm analytically solves the shutdown point parameters based on the ellipse trajectory theory by introducing the speed intersection angle between interceptor and target when interceptor arrives at PIP,designs convergence strategy to quickly determine launch time by using constraint condition of flight time from target to PIP，and calculate the azimuth initial value.Then,initial firing data solution was completed by combining with the established offline approximate analytic polynomial.Finally,the exact firing data value was determined through a few iterations by using Newton method.6DOF simulation show that the algorithm not only has a good online ability to intercept high precision,but applies to a wide range of mobile launchers.

PIP；long range interception；shutdown point parameters；intersection angle；mobile launch

2015-11-10；

2015-11-27。

楊繼龍(1990—)，男，碩士生，主要從事飛行器制導(dǎo)、控制與仿真技術(shù)研究。E-mail:365776138@qq.com

V448

A

1006-2793(2017)01-0128-07

10.7673/j.issn.1006-2793.2017.01.023