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        從一道課本習(xí)題談圖形內(nèi)角的求法

        2017-03-04 01:27:33張兆勇
        初中生世界 2017年9期
        關(guān)鍵詞:補角五邊形度數(shù)

        張兆勇

        從一道課本習(xí)題談圖形內(nèi)角的求法

        張兆勇

        平時的學(xué)習(xí)過程中,我們要重視課本習(xí)題的解答,從解答過程中歸納解題的方法,達到舉一反三、融會貫通的效果.現(xiàn)以義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》蘇科版七年級下冊第34頁第5題為例加以說明,供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考.

        問題如圖,從△ABC的紙片中剪去△CDE,得到四邊形ABDE.若∠C=50°,求∠1+∠2的和.

        【分析】本題要求∠1+∠2的和,觀察圖形不難發(fā)現(xiàn):∠1、∠2的補角分別為∠CED、∠CDE,應(yīng)用△CDE的內(nèi)角和可以先求得∠CED與∠CDE的和.還可以把∠1、∠2看成是四邊形ABDE的內(nèi)角,即可得∠1、∠2、∠A、∠B的和為360°,只需要求得∠A、∠B即可解決問題,因此,仍然應(yīng)用△ABC的內(nèi)角和求得∠A、∠B的和.

        解:方法一在△CDE中,

        由∠C+∠CDE+∠CED=180°,∠C=50°,得:

        ∠CDE+∠CED=130°.

        由∠1的補角為∠CED、∠2的補角為∠CDE,可得:

        ∠1+∠2+∠CED+∠CDE=360°,

        所以∠1+∠2=230°.

        方法二在△ABC中,

        由∠C+∠A+∠B=180°,∠C=50°,

        可得∠A+∠B=130°.

        在四邊形ABDE中,

        由∠1+∠2+∠A+∠B=360°,得

        ∠1+∠2=230°.

        【解法反思】本題方法一,借助于要求的一個角的補角將問題轉(zhuǎn)化為圖形中某個三角形的內(nèi)角,再應(yīng)用三角形的內(nèi)角和加以解答;方法二,直接把所求的角看成是三角形或多邊形的內(nèi)角,應(yīng)用多邊形的內(nèi)角和求得結(jié)果.這兩種方法,都能夠根據(jù)問題的條件,沒有把“∠1+∠2”分別看成是兩個角求解,而是把“∠1+∠2”看成是一個整體,體現(xiàn)了整體數(shù)學(xué)思想,使得解法簡捷.應(yīng)用這兩種方法可以幫助我們解答這類問題.

        應(yīng)用1如圖,在五邊形ABCDE中,∠C= 100°,∠D=75°,∠E=135°,AP平分∠EAB,BP平分∠ABC,求∠P的度數(shù).

        【分析】根據(jù)五邊形的內(nèi)角和等于540°,由∠C+∠D+∠E=310°,可求∠EAB+∠ABC的度數(shù),再根據(jù)角平分線的定義可得∠PAB與∠PBA的和,進一步求得∠P的度數(shù).

        解:在五邊形ABCDE中,

        ∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°.

        由∠C=100°,∠D=75°,∠E=135°,得:

        ∠EAB+∠ABC=230°.

        在△ABP中,∠P+∠PAB+∠PBA=180°,

        則∠P=65°.

        【點評】本題靈活應(yīng)用多邊形的內(nèi)角和公式、角平分線的定義和整體思想,先求得兩個內(nèi)角的和,再確定第三個角的度數(shù).

        應(yīng)用2如圖,線段AD、CF、BE兩兩相交于點G、H、I.求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù).

        【分析】把∠A與∠B、∠C與∠D、∠E與∠F分別看成是△ABH、△CDI、△EFG的內(nèi)角,再應(yīng)用△GHI的內(nèi)角和求得∠G+∠H+∠I的值.

        解:在△ABH中,

        由∠A+∠B+∠AHB=180°得:

        ∠A+∠B=180°-∠AHB;

        在△CDI中,

        由∠C+∠D+∠CID=180°得:

        ∠C+∠D=180°-∠CID;

        在△EFG中,

        由∠E+∠F+∠EGF=180°得:

        ∠E+∠F=180°-∠EGF.

        在△GHI中,

        由∠EGF+∠CID+∠AHB=180°得:

        ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F

        =(180°-∠AHB)+(180°-∠CID)+(180°-∠EGF)

        =540°-(∠AHB+∠CID+∠EGF)=360°.

        【點評】本題也可以把∠A與∠B、∠E與∠F分別看成是△ABH、△EFG的內(nèi)角,把∠C與∠D看成是四邊形CDGH的內(nèi)角,并根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°、三角形內(nèi)角和為180°,應(yīng)用整體和轉(zhuǎn)化思想求得結(jié)果,請同學(xué)們自己完成解題過程哦!

        (作者單位:江蘇省鹽城市鹽都區(qū)實驗學(xué)校)

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