劉相秋，張紅波

(1.中國(guó)空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽 471099；2.中國(guó)人民解放軍駐中國(guó)空空導(dǎo)彈研究院軍事代表室，河南 洛陽 471099)

一種隨機(jī)振動(dòng)Von Mises應(yīng)力的計(jì)算方法研究

劉相秋1，張紅波2

(1.中國(guó)空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽 471099；2.中國(guó)人民解放軍駐中國(guó)空空導(dǎo)彈研究院軍事代表室，河南 洛陽 471099)

針對(duì)隨機(jī)振動(dòng)中應(yīng)力的不確定性，采用模態(tài)疊加理論推出了線性系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)von Mises應(yīng)力均方根值和功率譜密度的計(jì)算方法；采用該計(jì)算方法對(duì)一算例結(jié)構(gòu)進(jìn)行了von Mises應(yīng)力均方根值和功率譜密度計(jì)算，并針對(duì)應(yīng)力計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)疲勞分析，通過與已有試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比，驗(yàn)證了方法的有效性。

線性系統(tǒng)；隨機(jī)振動(dòng)；模態(tài)疊加；von Mises應(yīng)力；功率譜密度；疲勞分析

0 引言

隨機(jī)振動(dòng)現(xiàn)象在自然界和工程中廣泛存在，是導(dǎo)致很多電子器件故障和結(jié)構(gòu)失效的主要原因。由于隨機(jī)振動(dòng)時(shí)，載荷隨時(shí)間變化的規(guī)律預(yù)先無法確定，很難用確定性的時(shí)間或空間坐標(biāo)函數(shù)描述，而只能用概率統(tǒng)計(jì)的方法描述，導(dǎo)致隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)分析要比確定性載荷下的力學(xué)問題要復(fù)雜得多[1-6]。von Mises應(yīng)力在結(jié)構(gòu)失效判斷、疲勞計(jì)算等過程中通常占有較重要的地位。通過隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)分析，一般可直接獲得結(jié)構(gòu)的加速度、位移和應(yīng)力分量的功率譜密度(power spectral density，PSD)函數(shù)，但是由于von Mises應(yīng)力是應(yīng)力分量的導(dǎo)出量，且為各應(yīng)力分量的非線性函數(shù)，往往不能直接得到。以往隨機(jī)振動(dòng)中von Mises應(yīng)力一般通過估算公式，或者通過計(jì)算時(shí)域應(yīng)力分量，進(jìn)而計(jì)算von Mises應(yīng)力的方法來得到，但這些方法要么計(jì)算結(jié)果不準(zhǔn)確，要么計(jì)算過程繁瑣[7-11]。針對(duì)以往算法的缺點(diǎn)，本文基于模態(tài)疊加理論推導(dǎo)了von Mises應(yīng)力均方根值和功率譜密度計(jì)算方法，并通過隨機(jī)振動(dòng)疲勞分析算例驗(yàn)證了方法的有效性。

1 隨機(jī)振動(dòng)von Mises應(yīng)力

von Mises應(yīng)力是一種基于第四強(qiáng)度理論的等效應(yīng)力，認(rèn)為材料破壞的主要原因是形狀改變比能達(dá)到臨界值，適用于塑性材料建立失效判據(jù)。von Mises應(yīng)力σeq的表達(dá)式為

(1)

式中：σij為各應(yīng)力分量。考慮到隨機(jī)振動(dòng)時(shí)，應(yīng)力是時(shí)間的函數(shù)，式(1)還可寫為如下的矩陣乘積表達(dá)形式：

(2)

式中：應(yīng)力分量σ(t)=(σxx(t)，σyy(t)，σzz(t)，σxy(t)，σxz(t)，σyz(t))T；系數(shù)矩陣A為

應(yīng)力分量σ(t)還可寫成下列模態(tài)坐標(biāo)的形式：

(3)

將上式代入式(2)，可將von Mises應(yīng)力也寫成模態(tài)坐標(biāo)的表達(dá)形式：

(4)

還可將式(4)改寫為平方的形式：

(5)

對(duì)式(5)左右兩邊同時(shí)取期望值，則式(5)可變?yōu)槿缦滦问剑?/p>

(6)

(7)

由功率譜密度的定義知，von Mises應(yīng)力的功率譜密度如下：

(8)

式中：

(9)

式(7)和(9)為基于模態(tài)疊加理論推導(dǎo)出的隨機(jī)振動(dòng)過程中von Mises應(yīng)力均方根值及應(yīng)力功率譜密度計(jì)算方法，公式的應(yīng)用前提是外部載荷為零均值，大多數(shù)工程中的隨機(jī)振動(dòng)問題都屬于這種情況。由式(4)可以看出，von Mises應(yīng)力的頻率成分將取決于qi(t)qj(t)，因此其頻率成分將包括模態(tài)頻率的二倍頻，這主要是由于von Mises應(yīng)力的非負(fù)性造成的。

2 von Mises應(yīng)力計(jì)算實(shí)例

本節(jié)針對(duì)一算例結(jié)構(gòu)，采用第1節(jié)推出的計(jì)算方法，進(jìn)行von Mises應(yīng)力功率譜密度和均方根值的計(jì)算。結(jié)構(gòu)模型為如圖1所示的薄板，厚度2 mm，材料為鋁，在薄板窄邊上加載一隨機(jī)振動(dòng)激勵(lì)，激勵(lì)為如圖2所示的加速度功率譜密度曲線，振動(dòng)方向垂直于板面。通過模態(tài)計(jì)算可知結(jié)構(gòu)的一階模態(tài)頻率為49 Hz,二階模態(tài)為399 Hz，應(yīng)力分布見圖3。

通過給出的計(jì)算方法，式(8)和(9)，計(jì)算結(jié)構(gòu)應(yīng)力最大點(diǎn)的von Mises應(yīng)力功率譜密度和應(yīng)力均方根值，應(yīng)力最大點(diǎn)的功率譜密度曲線見圖4,應(yīng)力均方根值為64.8 MPa。從圖中可以看出，應(yīng)力功率譜密度最大峰值出現(xiàn)在98 Hz左右，為一階模態(tài)頻率的2倍。

圖1 算例薄板結(jié)構(gòu)Fig.1 Plate structure for calculating

圖2 隨機(jī)振動(dòng)激勵(lì)Fig.2 Excited PSD

圖3 應(yīng)力分布云圖Fig.3 Stress distribution of the plate

圖4 應(yīng)力功率譜密度Fig.4 PSD of von Mises stress

接著，采用Dirlik方法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)疲勞壽命的計(jì)算[12-14]，材料S-N曲線見圖5。通過計(jì)算得到結(jié)構(gòu)的振動(dòng)疲勞壽命為1 473 s。

圖5 鋁材料S-N曲線Fig.5 S-N curve of aluminum

從文獻(xiàn)[15]中查閱到的7個(gè)試件疲勞壽命試驗(yàn)結(jié)果見表1。此外，文獻(xiàn)[15]采用Dirlik方法進(jìn)行仿真計(jì)算的疲勞壽命結(jié)果為1 011 s，其應(yīng)力分布通過最大主應(yīng)力頻響幅值和輸入的乘積得到?？梢钥闯觯撚?jì)算方法的結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果及文獻(xiàn)計(jì)算結(jié)果較為接近。

表1 試件疲勞壽命試驗(yàn)結(jié)果

3 結(jié)束語

本文通過模態(tài)疊加理論推出了線性系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)von Mises應(yīng)力均方根值和功率譜密度的計(jì)算方法；采用該計(jì)算方法對(duì)一算例結(jié)構(gòu)進(jìn)行了隨機(jī)振動(dòng)von Mises應(yīng)力的計(jì)算，并針對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了隨機(jī)振動(dòng)疲勞分析，通過計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，驗(yàn)證了文中方法的有效性。該方法為線性系統(tǒng)在隨機(jī)振動(dòng)條件的von Mises應(yīng)力計(jì)算提供了簡(jiǎn)便的途徑，在工程中可操作性強(qiáng)，便于進(jìn)行后續(xù)的振動(dòng)疲勞計(jì)算。

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A Method of Calculating Von Mises Stress in a Random Vibration Process

LIU Xiang-qiu1，ZHANG Hong-bo2

(1. China Airborne Missile Academy,Henan Luoyang 471099, China; 2. PLA, Military Representative Office in China Airborne Missile Academy,Henan Luoyang 471099,China)

Aiming at the stress uncertainty in a random vibration process, a method of calculating von Mises stress is researched. The mode superposition method is adopted to calculate power spectrum density (PSD) and root mean square (RMS) of von Mises stress. In order to validate the method, an example is performed to calculate PSD and RMS. Based on the PSD and RMS results, vibration fatigue life is analyzed. The calculated results correlate well with the experimental data.

linear system; random vibration; mode superposition; von Mises stress; power spectrum density (PSD); fatigue analysis

2015-12-22；

2016-04-21 基金項(xiàng)目：航空基金(2014ZD12018) 作者簡(jiǎn)介：劉相秋(1980-)，女，吉林通化人。高工，博士，主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)。

10.3969/j.issn.1009-086x.2017.01.008

O324; TJ76

A

1009-086X(2017)-01-0040-04

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