王 辰 吳宇清*

(同濟(jì)大學(xué)，上海 200092)

基于MC-FEM方法的再生混凝土有效彈性模量分析★

王 辰 吳宇清*

(同濟(jì)大學(xué)，上海 200092)

結(jié)合有限單元法和Monte-Carlo法，利用均質(zhì)化理論，從隨機(jī)骨料代表體元中計(jì)算得到再生混凝土有效彈性模量的概率分布，數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果顯示，不同級配的再生混凝土等效彈性模量分布有著明顯的變化趨勢，且近似服從對數(shù)正態(tài)分布。

再生混凝土，漸進(jìn)均質(zhì)化，Monte-Carlo法

0 引言

再生混凝土能夠緩解天然砂石骨料的匱乏，減少廢棄混凝土填埋對環(huán)境造成的污染，是一種新興的可持續(xù)建筑材料[1]。彈性模量是混凝土材料最為基本和重要的力學(xué)指標(biāo)之一，是計(jì)算結(jié)構(gòu)變形、溫度應(yīng)力和裂縫開展等問題的必要參數(shù)。目前，對再生混凝土彈性模量的研究仍以試驗(yàn)為主[2-4]。試驗(yàn)手段簡單直接，但是會耗費(fèi)大量資金和時(shí)間，且經(jīng)常帶有較強(qiáng)的主觀意向，難以為再生混凝土表現(xiàn)出的離散性提供理論上的解釋和大量數(shù)據(jù)的支撐。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，數(shù)值模擬成為分析混凝土材料細(xì)觀力學(xué)性能的重要手段。肖建莊等[5]對模型再生混凝土進(jìn)行了單軸受壓模擬，在此基礎(chǔ)上李文貴等[6]對受壓應(yīng)力分布特征進(jìn)行了討論。

本文建立了不同級配的骨料隨機(jī)分布模型，運(yùn)用漸進(jìn)均質(zhì)化理論和Monte-Carlo法，對多種級配、再生骨料取代率的再生混凝土代表體元進(jìn)行大量有限元計(jì)算。最終，對不同情況下的有效彈性模量大小和離散性進(jìn)行了討論，并根據(jù)有效彈性模量的統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行了概率分布擬合。

1 均質(zhì)化理論

均質(zhì)化理論是一套嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論，該方法是由Beran[7]和Hashin與Shtrikman[8]最先提出，并在之后得到了進(jìn)一步的發(fā)展。其中，漸進(jìn)均質(zhì)化方法被廣泛應(yīng)用，下面介紹漸進(jìn)均質(zhì)化方法。

復(fù)合材料粗細(xì)尺度上的彈性系數(shù)可以定義為：

(1)

其中，x為粗尺度坐標(biāo)；y為細(xì)尺度坐標(biāo)，兩者關(guān)系為y=x/β，β為大于0且遠(yuǎn)小于1的數(shù)，用來描述粗細(xì)尺度之間的倍數(shù)關(guān)系。

彈性力學(xué)問題中平衡方程可以寫為:

(2)

邊界條件給定為:

ε11(x?Ω)=1

(3)

其中，ε11為細(xì)尺度上的應(yīng)變；fi為體力。

(4)

定義線性形式如下:

L(η)=∫ΩfiηidΩ+∫Ωσiηid(?Ω)

(5)

由虛位移原理:

(6)

這里我們引入均質(zhì)化函數(shù)χ(ij)k，χ(ij)k滿足下式:

aβ((χ(ij)k+yjδki)nk,fT)=0

(7)

其中,fT為任意周期函數(shù);δki為Kronecker符號;nk為單位坐標(biāo)向量。

對于任意的容許位移V有:

D(U,V)=∫Ωεkl(U)Dijklεij(V)dΩ

(8)

其中:

(9)

由以上兩式可以得到彈性系數(shù)的均質(zhì)化表達(dá)式為:

從長遠(yuǎn)角度來看，預(yù)算法的深度實(shí)施有利于事業(yè)單位財(cái)務(wù)管理水平規(guī)范程度以及總體水平的提升?，F(xiàn)階段，雖然，很多事業(yè)單位對預(yù)算法的適應(yīng)性較強(qiáng)，但財(cái)務(wù)管理活動開展中也暴露出了很多問題。事業(yè)單位需要對自身財(cái)務(wù)管理上存在的不足予以正視，并在充分研讀預(yù)算法中財(cái)務(wù)管理與預(yù)算管理相關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，不斷對財(cái)務(wù)管理中遇到的問題進(jìn)行解決并促進(jìn)財(cái)務(wù)管理水平的持續(xù)提升。

(10)

通過設(shè)定均質(zhì)化邊界條件結(jié)合以上各式就可以求得有效彈性模量。

2 隨機(jī)骨料模型的參數(shù)設(shè)置

代表體元選用正方形，邊長為100mm。為簡化分析，骨料可取為圓形，忽略界面過渡區(qū)影響。骨料粒徑取為5mm～20mm。

參考相關(guān)文獻(xiàn)[5][6]，取定天然骨料彈性模量為50 GPa，泊松比為0.16；老砂漿彈性模量為25 GPa，泊松比為0.22；新砂漿為30 MPa，泊松比為0.22。隨機(jī)骨料模型考慮了骨料分布的隨機(jī)性、骨料粒徑大小的隨機(jī)性，可根據(jù)不同級配來生成不同的隨機(jī)樣本。

3 數(shù)值試驗(yàn)及結(jié)果

3.1 試驗(yàn)結(jié)果的討論

設(shè)置MC抽樣次數(shù)為500，計(jì)算了粒徑為5 mm，20 mm的單一級配代表體元以及連續(xù)級配代表體元。數(shù)值模擬結(jié)果如圖1，圖2所示，可以看到蒙特卡洛樣本的均值和變異系數(shù)收斂效果明顯。小粒徑級配有效彈性模量均值要大于大粒徑級配，而連續(xù)級配則介于兩者之間；小粒徑級配有效彈性模量變異系數(shù)小于大粒徑級配，連續(xù)級配則均大于前兩者。連續(xù)級配更具離散性。

3.2 有效彈性模量概率分布擬合

對不同級配再生混凝土代表體元的有效彈性模量樣本進(jìn)行對數(shù)正態(tài)分布擬合。表征擬合效果的可決系數(shù)R2調(diào)整值如表1所示?？蓻Q系數(shù)R2調(diào)整值是一個(gè)0～1之間的非負(fù)值，值越大說明擬合優(yōu)度越好。

不同替代率R2調(diào)整值均在0.9以上，擬合優(yōu)度佳，可以認(rèn)為連續(xù)級配再生混凝土代表體元有效彈性模量樣本用對數(shù)正態(tài)分布近似表征。

表1 對數(shù)正態(tài)分布擬合的R2調(diào)整值

4 結(jié)語

本文得出的主要結(jié)論如下：

1)再生混凝土骨料體積分?jǐn)?shù)與取代率一定時(shí)，小粒徑單一級配有效彈性模量均值要高于大粒徑單一級配，連續(xù)級配介于兩者之間。小粒徑單一級配有效彈性模量變異系數(shù)要小于大粒徑單一級配，連續(xù)級配均高于前兩者。

2)對數(shù)正態(tài)分布對級配的再生混凝土隨機(jī)骨料代表體元有效彈性模量擬合良好，可認(rèn)為隨機(jī)骨料再生混凝土代表體元有效彈性模量服從對數(shù)正態(tài)分布。

通過MC-FEM對再生混凝土隨機(jī)骨料模型進(jìn)行彈性均質(zhì)化分析，可以得到其有效彈性模量的分布，為再生混凝土細(xì)觀分析引入了隨機(jī)性，與常規(guī)模型相比更加合理。

[1] 肖建莊.再生混凝土[M].北京：中國建筑工業(yè)出版社,2008.

[2] 陳宗平,徐金俊,鄭華海,等.再生混凝土基本力學(xué)性能試驗(yàn)及應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系[J].建筑材料學(xué)報(bào),2013,16(1):24-32.

[3] Xiao J, Li J, Zhang C. Mechanical properties of recycled aggregate concrete under uniaxial loading[J].Cement & Concrete Research,2005,35(6):1187-1194.

[4] 肖建莊.再生混凝土單軸受壓應(yīng)力—應(yīng)變?nèi)€試驗(yàn)研究[J].同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007,35(11):1445-1449.

[5] 肖建莊,李文貴,劉 瓊,等.模型再生混凝土單軸受壓性能細(xì)觀數(shù)值模擬[J].同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2011,39(6):791-797.

[6] 李文貴,肖建莊,袁俊強(qiáng),等.模型再生混凝土單軸受壓應(yīng)力分布特征[J].同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012,40(6):906-913.

[7] Beran MJ.Statistical Continuum Theories,Monographs in Statistical Physics and Thermodynamics. Wiley: New York,1968.

[8] Hashin Z, Shtrikman S. A variational approach to the theory of the elastic behaviour of multiphase materials. Journal of Mechanics Physics and Solids，1963(11):127-140.

[9] Hill R. The Elastic Behaviour of a Crystalline Aggregate[J].Proceedings of the Physical Society,1952,65(5):349-354.

[10] Kamiński M,Kleiber M.Perturbation based stochastic finite element method for homogenization of two-phase elastic composites[J].Computers & Structures,2000,78(6):811-826.

[11] Walraven J C.Aggregate interlock:A theoretical and experimental analysis[D].Delft University Press,1980.

Effective elastic modulus analysis of recycled concrete on the basis of MC-FEM method★

Wang Chen Wu Yuqing*

(TongjiUniversity,Shanghai200092,China)

Combining with finite element method and Monte-Carlo method, applying homogenization theory, the article achieves effective elastic modulus probability distribution of recycled concrete from random aggregate. The numerical test results show that: equivalent elastic modulus distribution of recycled concrete with different grading will have obvious change trend.

recycled concrete, gradual homogenization, Monte-Carlo method

1009-6825(2017)02-0115-02

2016-11-01★:國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(項(xiàng)目編號：10972162)

王 辰(1992- )，男，在讀碩士

吳宇清

TU528

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