武高衛(wèi)，楊江平，王永攀，侯曉東

(空軍預(yù)警學(xué)院, 湖北 武漢 430019)

大型k/N系統(tǒng)維修資源優(yōu)化配置模型

武高衛(wèi)，楊江平，王永攀，侯曉東

(空軍預(yù)警學(xué)院, 湖北 武漢 430019)

為解決大型k/N系統(tǒng)維修資源的配置問題，建立了一種維修資源優(yōu)化配置模型。首先，根據(jù)大型k/N系統(tǒng)故障單元的維修特點提出了批量m維修策略，并基于此策略建立了k/N系統(tǒng)使用可用度模型，利用MQ/M/c排隊理論對影響系統(tǒng)使用可用度的關(guān)鍵指標進行了計算和修正；然后，建立了由多個k/N系統(tǒng)組成的復(fù)雜裝備的多種維修資源的優(yōu)化配置模型，采用邊際效應(yīng)分析法對多種維修資源進行綜合優(yōu)化；最后，通過算例仿真與分析對所提出的模型進行了驗證。結(jié)果表明，所建立的模型具有一定的可行性與有效性，能為裝備維修保障人員提供決策支持。

批量m維修策略；k/N系統(tǒng)；維修資源；排隊理論；邊際效應(yīng)；使用可用度

0 引言

維修資源是實施裝備維修保障工作的物質(zhì)基礎(chǔ)和重要保證，無論平時訓(xùn)練還是戰(zhàn)時搶修，維修資源都占據(jù)著十分重要的地位，不僅直接影響著裝備的全壽命周期費用和費用效果，還影響著裝備的戰(zhàn)備完好性以及部隊?wèi)?zhàn)斗力的保持和恢復(fù)。如何合理地優(yōu)化維修資源配置，是裝備維修保障所必須解決的一個重要問題[1]。

自1968年Sherbrooke提出經(jīng)典的METRIC(multi-echelon technique for recoverable item control)模型理論以來，眾多學(xué)者對以備件和維修設(shè)備為核心的物力維修資源的優(yōu)化配置研究作了大量工作。文獻[2-4]研究了串件拼修對策的備件優(yōu)化配置；文獻[5-6]研究了在多種約束條件下的多級備件配置優(yōu)化方法；文獻[7-8]根據(jù)M/M/C排隊論，建立了維修渠道(維修設(shè)備)對裝備可用度的優(yōu)化模型。然而由于METRIC模型是基于(S-1，S)庫存策略進行備件的請領(lǐng)和故障單元的送修，因此以上模型只針對一般的串、并聯(lián)系統(tǒng)組成的裝備的維修保障進行分析。

為了滿足高可靠性和高可用度的要求，許多大型復(fù)雜裝備都采用k/N系統(tǒng)冗余結(jié)構(gòu)[9]。對于這類系統(tǒng)，維修策略和維修資源在很大程度上影響著系統(tǒng)的使用可用度，以往學(xué)者也進行了比較深入的研究。文獻[10]針對兩級維修體制，建立了k/N系統(tǒng)可修復(fù)備件的優(yōu)化模型；文獻[11]通過引入修理概率，分析了可修復(fù)備件存在報廢的情況下k/N系統(tǒng)的備件優(yōu)化問題；文獻[12]提出了一種簡單的視情m維修策略，并建立了維修策略下的k/N系統(tǒng)使用可用度模型；文獻[13]針對實際維修活動中備件有限的情況，提出了(m，NG)維修策略，并進行了使用可用度分析；文獻[14]采用定時、定數(shù)混合截尾壽命，提出(n，L，r，r)維修策略對k/N系統(tǒng)進行了討論。由于這些文獻的研究對象都是小型k/N系統(tǒng)，其前提依然是基于METRIC理論及其改進模型和(S-1，S)庫存策略。然而對于某些由k/N系統(tǒng)組成的大型復(fù)雜裝備，例如由1 600/2 000個T/R組件組成的某相控陣天線陣面，傳統(tǒng)的單件維修會使天線的停機次數(shù)和時間大大增加，從而嚴重影響天線的使用可用度。文獻[15]針對大型k/N系統(tǒng)的維修特點，提出了一種定時維修策略，為k/N系統(tǒng)預(yù)防性維修提供了決策支持，然而不適用于發(fā)生故障后的修復(fù)性維修。

考慮到大型k/N系統(tǒng)的冗余性設(shè)計，即當(dāng)少數(shù)單元出現(xiàn)故障時不影響系統(tǒng)的正常工作，本文提出了批量m維修策略，利用MQ/M/c排隊理論對影響使用可用度的關(guān)鍵指標——等待修復(fù)時間進行了修正和計算，然后建立了維修資源優(yōu)化配置模型對以維修設(shè)備和現(xiàn)場可更換單元(line replaceable unit，LRU)初始備件為代表的關(guān)鍵維修資源進行了優(yōu)化分析，并通過算例仿真證實了模型的可行性與有效性。

1 問題描述與假設(shè)

1.1 批量m維修策略描述

批量m維修策略是指針對大型k/N系統(tǒng)，當(dāng)LRU故障數(shù)達到m(0

圖1 k/N系統(tǒng)維修示意圖Fig.1 Sketch map of k/N system maintenance

1.2 問題假設(shè)

(1) LRU的故障率和修復(fù)率均服從指數(shù)分布；

(2) 故障LRU修復(fù)如新，無報廢；

(3) 維修設(shè)備為通用維修設(shè)備，可以對所有故障LRU進行修理；

(4) 故障LRU到達修理所后按照FCFS(first come first service)規(guī)則接受維修服務(wù)；

(5) 維修設(shè)備是完好不壞的，不會出現(xiàn)故障而影響維修作業(yè)。

2 使用可用度模型

根據(jù)GJB1909A—2009[16]定義，使用可用度(Ao)是能工作時間和不能工作時間有關(guān)的一種可用性參數(shù)。對于連續(xù)工作的可修復(fù)系統(tǒng)，平均能工作時間和平均不能工作時間分別是能工作時間和不能工作時間的數(shù)學(xué)期望。則(k/N)i系統(tǒng)的使用可用度Aoi計算公式如下：

(1)

式中：E(Toi)為(k/N)i系統(tǒng)正常工作時間期望；E(Tdi)為LRUi備件運輸時間期望；E(Tsi)為LRUi備件更換時間期望；E(Tri)為等待故障LRUi修復(fù)時間期望。

設(shè)LRUi的故障率服從參數(shù)為λi的指數(shù)分布，則由指數(shù)分布規(guī)律得，(k/N)i系統(tǒng)的正常工作時間期望為

(2)

E(Tdi)可由經(jīng)驗得知，E(Tsi)可由下式求得：

E(Tsi)=tsoi+mitsi，

(3)

式中：tsoi為更換故障LRUi所需的準備時間，例如更換某相控陣天線陣面的T/R組件時準備維修工具和架設(shè)天線維修架所需時間；tsi為每個故障LRUi的平均更換時間。

下面重點討論E(Tri)的計算方法。

(1)SOHi≥mi時，倉庫備件充足。當(dāng)(k/N)i系統(tǒng)出現(xiàn)故障時只需從倉庫請領(lǐng)備件并進行換件維修即可排除故障，即

E(Tri)=0.

(4)

(2)SOHi

假設(shè)修理所有c組維修設(shè)備，修復(fù)時間服從參數(shù)為μi的指數(shù)分布。文獻[17]提出：

(5)

式中：qi為需要維修的故障LRUi數(shù)。

然而，對于批量m維修策略，等待修復(fù)時間不僅與需要維修的故障件數(shù)目有關(guān)，還與所有等待維修的故障件數(shù)目有關(guān)。

定義2： 記Pi(vi)為修理所中有vi個故障LRUi等待維修的穩(wěn)態(tài)概率。

則等待修復(fù)時間E(Tri)表示為

(6)

式中：Si為LRUi的初始備件數(shù)。

(7)

設(shè)修理所有c組并行的維修設(shè)備，故障單元批量m送修，每批送修數(shù)量為Qi(Qi=mi)，批與批之間的到達間隔服從參數(shù)為Λi的指數(shù)分布；同一批到達的故障單元按隨機順序接受維修服務(wù)，維修設(shè)備對每個故障單元的維修時間t服從參數(shù)為μi的指數(shù)分布。如圖2所示，修理所只有一個排隊隊列，送修過程與維修過程相互獨立。當(dāng)某一批故障LRUi送達修理所后，若Qi>c，c個故障LRUi進入維修作業(yè)，Qi-c個故障LRUi等待維修；當(dāng)某個維修設(shè)備完成其對故障LRUi的維修時，維修隊列中的故障LRUi依次進入維修設(shè)備接受服務(wù)，直到該批所有故障LRUi維修完畢。則定義該維修過程為MQ/M/c/∞排隊過程，可見，MQ/M/c排隊模型是一種特殊的Mξ/M/c排隊模型，即ξi服從分布：

E(ξi)=Qi,D(ξi)=0.

(8)

每批次故障LRUi的到達率為

(9)

圖2 故障LRUi維修過程Fig.2 Maintenance process of failed LRUi

2.2.1 服務(wù)強度ρ

服務(wù)強度ρ描述了維修設(shè)備的繁忙程度，ρ越大，維修設(shè)備越繁忙。當(dāng)ρ<1時，排隊系統(tǒng)能夠到達平衡狀態(tài)，存在穩(wěn)態(tài)分布；當(dāng)ρ≥1時，排隊系統(tǒng)不能達到平衡狀態(tài)，即該系統(tǒng)不能構(gòu)成概率分布。

MQ/M/c/∞排隊系統(tǒng)的服務(wù)強度表達式為

(10)

2.2.2 隊長穩(wěn)態(tài)概率Pin

當(dāng)排隊隊長Ni(t)處于[0，Si]中的任意狀態(tài)時，(k/N)i系統(tǒng)正常工作且有Λi的概率故障，即mi個故障LRUi有Λi的概率進入維修隊列；當(dāng)排隊隊長Ni(t)>Si時，mi個故障LRUi已經(jīng)進入維修隊列，(k/N)i系統(tǒng)因故障停止工作，因此不會再有故障LRUi到達。顯然Ni(t)不會大于Si+mi，設(shè)t=0時Ni(t)=0，則{Ni(t)，t≥0}的狀態(tài)空間為{0，1，2，3，…，Si+mi}。另外，當(dāng)(k/N)i系統(tǒng)故障時，整個天線陣面停止工作，(k/N)j系統(tǒng)不會發(fā)生故障，因此在等待故障LRUi修復(fù)的過程中故障LRUj不會到達修理所，即故障LRUj的維修不會受到故障LRUi的影響。當(dāng)0

根據(jù)隊長Ni(t)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖可以得出Pin的一步轉(zhuǎn)移概率表達式：

(11)

(12)

根據(jù)遞推公式，求解得出Pij：

Pij=

(13)

圖3 隊長Ni(t)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.3 State transition diagram of Ni(t)

(14)

至此，Pi(vi)可用Pij表示出來。

3 維修資源優(yōu)化配置模型

3.1 模型建立

對于一個由l個k/N系統(tǒng)構(gòu)成的復(fù)雜裝備，以整個裝備使用可用度為約束條件，以維修設(shè)備和各項LRU初始備件的總費用最小為優(yōu)化目標，建立優(yōu)化模型：

(15)

式中:C為所有維修資源配置總費用;co為每組維修設(shè)備的單價;c為維修設(shè)備的配置數(shù)量;ci為LRUi的單價;Si為LRUi的初始配置數(shù)量;Ao為整個裝備的使用可用度;Aoi為(k/N)i系統(tǒng)的使用可用度。

3.2 模型優(yōu)化算法

本模型采用邊際效應(yīng)分析法對天線陣面維修資源進行優(yōu)化。邊際效應(yīng)分析法的思想是通過比較每項資源追加一件時所帶來的效能增益和費用增益，從而得出最大效費比項作為本次迭代的最優(yōu)項，并作為下一次迭代的初始項。具體算法如下：

Step 1 初始化維修資源向量，令B=(c，S1，S2，…，Sl)=(1，1，1，…，1)。

4 算例仿真

設(shè)某相控陣雷達天線陣面由2個k/N系統(tǒng)組成：T/R組件和組件控制模塊，其基本參數(shù)見表1。每臺維修設(shè)備購置費用為co=50萬元。

表1 天線陣面LRU基本數(shù)據(jù)

本文基于批量m維修策略對等待修復(fù)時間E(Tr)的計算進行了修正。圖4分別給出了T/R組件在備件數(shù)量一定和維修設(shè)備數(shù)量一定的情況下2種方法的對比計算結(jié)果。這2種方案的差異是由于考慮了隊長的穩(wěn)態(tài)概率的影響。至此，圖5給出了利用本文的使用可用度模型計算出的T/R組件使用可用度隨維修設(shè)備數(shù)量和備件數(shù)量變化的三維曲線平面圖。

從圖5可以發(fā)現(xiàn)，僅就一種LRU而言，單純通過分析使用可用度隨維修設(shè)備數(shù)量和備件數(shù)量的變化情況已經(jīng)難得出最佳的維修資源配置方案，當(dāng)涉及多種LRU時則更加不準確。因此，本文依據(jù)第3節(jié)中所建立的優(yōu)化配置模型，利用邊際效應(yīng)分析法對維修設(shè)備、T/R組件和組件控制模塊進行優(yōu)化仿真，得出如圖6所示優(yōu)化曲線。圖中曲線可以大致分為3段：隨著C的增加，第1段中Ao的增大主要由維修設(shè)備引起，相間有少量T/R組件和組件控制模塊的增加；第2段主要由組件控制模塊引起；第3段則主要由T/R組件引起。據(jù)此可以得出結(jié)論：當(dāng)費用不足時，通過增加維修設(shè)備的配置可以得到更高的性價比，隨著可支配費用的增加，可通過依次優(yōu)先滿足維修設(shè)備、組件控制模塊和T/R組件的順序進行維修資源的配置。按照天線陣面使用可用度不小于0.95的要求，得出優(yōu)化結(jié)果如表2所示。

圖4 2種方法的等待修復(fù)時間對比Fig.4 Comparison of E(Tr) with the 2 methods

圖5 使用可用度隨維修設(shè)備和初始備件變化規(guī)律Fig.5 Change law of Ao with c and S

圖6 使用可用度隨總費用變化曲線Fig.6 Curve of Ao with C

表2 天線陣面維修資源優(yōu)化結(jié)果

Table 2 Optimization result of antenna planar array

maintenance resources

維修資源維修設(shè)備/組T/R組件/個組控模塊/個AoC/萬元9272500.9504881.4

5 結(jié)束語

本文針對大型k/N系統(tǒng)故障單元的維修特點提出了批量m維修策略，然后基于此策略，通過建立使用可用度模型，利用MQ/M/c排隊理論對影響系統(tǒng)使用可用度的關(guān)鍵指標進行了計算和修正；通過建立維修資源優(yōu)化配置模型，利用邊際效應(yīng)分析法解決了在滿足使用可用度要求時謀求最小費用的多種維修資源的優(yōu)化配置問題；通過算例仿真與分析，證實了模型的可行性與有效性，能夠為裝備維修保障人員提供理論依據(jù)和決策支持。在實際維修保障活動中，不僅面臨LRU及其維修設(shè)備的配置問題，還需要考慮車間可更換單元(shop replaceable unit，SRU)的配置問題；另外，與之對應(yīng)的串件拼修維修策略對維修資源配置的影響不可忽略，對這些問題的求解將是未來研究的重點。

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Optimal Configuration Model for Largek/NSystem Maintenance Resources

WU Gao-wei, YANG Jiang-ping, WANG Yong-pan, HOU Xiao-dong

(Air Force Early Warning Academy,Hubei Wuhan 430019, China )

Aiming at the configuration of largek/Nsystem maintenance resources, an optimized configuration model is established. Firstly, the m-batch size maintenance policy is proposed based on the characteristics of largek/Nsystem, and an operational availability model ofk/Nsystem is set based on the maintenance policy. Some key targets of operational availability are calculatedand modified adoptingMQ/M/cqueueing theory. Then, an optimized configuration model of multi-maintenance resources of intricate equipment composed of kinds ofk/Nsystem is established, and multi-maintenance resources are optimized by using marginal effect analysis. Finally, analysis of one instance is conducted to verify the proposed models, and the results show that the models are feasible and effective, and can provide a decision-making support for equipment maintenance support personnel.

m-batch size maintenance policy;k/Nsystem; maintenance resources; queuing theory; marginal effect; operational availability

2016-02-23；

2016-04-08 作者簡介：武高衛(wèi)(1991-)，男，河北邢臺人。碩士生，研究方向為預(yù)警裝備綜合保障技術(shù)。

10.3969/j.issn.1009-086x.2017.01.029

E92; TP391.9

A

1009-086X(2017)-01-0173-08

通信地址：430019 湖北省武漢市黃浦大街288號研究生21隊