孫占龍 佟慶彬

北京交通大學電氣工程學院，北京，100044

基于ADMM字典學習的滾動軸承振動信號稀疏分解

孫占龍 佟慶彬

北京交通大學電氣工程學院，北京，100044

在稀疏分解過程中，字典模型構建的結果會直接影響稀疏分解的效果。為獲得結構更好的字典，提出了一種基于交替方向乘子法(ADMM)的字典學習方法，在字典學習過程中采用交替方向乘子法逐個更新字典中原子，得到的字典具有良好的結構。將該字典學習方法應用到滾動軸承振動信號稀疏分解中，能獲得更快的字典學習速度和更好的稀疏分解效果。與K-SVD字典學習方法相比較，證明了所提方法在軸承信號稀疏分解中的優(yōu)越性。

滾動軸承；稀疏分解；交替方向乘子法；字典學習

0 引言

滾動軸承大量應用于電機中，其工作狀態(tài)會直接影響電機的運行狀態(tài)。對滾動軸承的運行狀態(tài)進行實時檢測，可以及時發(fā)現(xiàn)軸承比較微弱的一些早期故障，避免對電機造成不必要的危害，減少人身財產(chǎn)損失。滾動軸承的運行狀態(tài)診斷方法包括溫度、油樣分析、振動分析等，其中振動分析法最有效[1-2]。但是，在實際情況中，振動信號中包含大量的干擾，不利于進一步分解軸承故障信號。

為有效獲取軸承故障的故障特征，MALLAT等[3]在總結前人研究成果的基礎上，于1993年提出了信號在過完備字典上分解的思想。與傳統(tǒng)的正交基變換不同，基于稀疏分解[4-6]方法的信號處理過程中，使用過完備字典能夠得到信號的自適應表示，有利于信號特征的提取和識別。目前，過完備字典的構造方法有兩種：傳統(tǒng)的固定字典和經(jīng)過學習構造的字典。傳統(tǒng)的不經(jīng)過學習的字典有Gabor字典、小波基字典、Chirplet字典等[7-11]，但是這類字典存在一個缺陷：字典是固定的，不能自適應地根據(jù)待分解信號進行變換。以K-SVD算法字典學習[12-13]為代表的字典學習方法有效地解決了這個問題，文獻[12-13]將K-SVD算法應用于字典學習過程中，取得了良好的效果，它根據(jù)待分解信號對初始字典進行學習優(yōu)化，在信號稀疏分解中有更好的效果。

K-SVD算法字典學習的過程中，每一次更新字典時都要通過SVD算法來進行處理，當字典的規(guī)模變得比較大時，使用SVD算法就會耗費比較長的時間，使整個算法變慢，這不利于對信號的實時處理。針對上述問題，本文在對交替方向乘子法(alternating direction method of multipliers，ADMM)[14-18]進行充分研究的基礎上，將其應用于軸承信號稀疏分解的字典學習中。

1 基于ADMM字典學習的稀疏分解

1.1 ADMM

ADMM的概念早在20世紀70年代時已被提出，它在求解大規(guī)模稀疏分解問題的處理上十分有效，它通過增廣拉格朗日函數(shù)構造將問題分裂為多個低維子問題進行迭代求解。利用ADMM將原問題的目標函數(shù)進行等價分離,并且分解為若干個較易找到局部解的子問題,從而得到原問題的全局解。ADMM的求解速度在稀疏分解中的優(yōu)勢十分明顯,這也是其受到追捧的一個主要原因[14-15]。ADMM解決問題的一般形式如下：

(1)

式(1)的增廣拉格朗日罰函數(shù)為

L(x,y,λ)=f(x)+g(y)+λT(Ax+By-b)+

(2)

其中，ρ是懲罰參數(shù)，ρ>0。經(jīng)典ADMM的迭代步驟如下：

(3)

由式(3)可以看出，ADMM進行迭代的步驟包括一個x極小化、y極小化步驟和一個對偶變量迭代步驟，該算法先對x和y進行迭代更新，之后再對對偶變量λ進行迭代更新。ADMM對變量進行交替更新，這也就是其名字的來源，也可以認為是把Gauss-Seidel迭代應用于這兩個變量中。在ADMM迭代框架中可以看出，該算法更適合解決變量可分離的問題，其目標函數(shù)也是可以分離的。

1.2 基于ADMM的字典學習

在滾動軸承振動信號稀疏分解過程中，構建一個結構良好的字典非常重要。固定的字典結構雖然冗余，但是其中原子未必貼合給定信號，不能根據(jù)信號自適應調(diào)整，根據(jù)待分解信號對初始字典進行學習，能更好地貼合待分解信號，包含更多的信號特征，在用于稀疏分解后，能得到更為稀疏的分解系數(shù)，獲得比未學習字典更好的分解效果。

軸承信號稀疏分解過程中的字典學習可以表示為

(4)

i=1,2,…,L

其中，Y為訓練矩陣；D為字典；X為信號在字典D上的投影系數(shù)；K為系數(shù)稀疏度的上界。

字典學習過程即式(4)的方法為變量交替更新法，其基本過程如下：首先利用給定的初始字典D和訓練矩陣Y，用OMP算法進行稀疏編碼，求解出系數(shù)X。然后，固定系數(shù)X，利用字典更新方法更新字典D。按照上述方法進行迭代，直到達到給定迭代次數(shù)或者達到給定的誤差要求，即停止迭代，完成字典學習過程。

基于ADMM算法的字典學習過程中，首先將式(4)進行轉換，令Z=DX，其格式為

(5)

則字典學習的拉格朗日函數(shù)為

(6)

其中，Λ為拉格朗日乘子矩陣；Λi為Λ的第i列;〈〉表示內(nèi)積運算。

將ADMM應用于式(6)中，并利用OMP算法進行系數(shù)的求解，最終獲得字典的更新形式：

Dn+1(∶,i)=Dn(∶,i)+H(n)Xn(i,∶)T/(ω(n)+δ)

(7)

基于ADMM字典學習的基本過程如下：

(1)初始化。初始化字典D(0)，該矩陣既可以是隨機分布的m×n矩陣，也可以從給定信號Y中選取n個長度為m的列向量。拉格朗日乘子矩陣為Λ(0)(一般為全1矩陣)，稀疏度為k,迭代次數(shù)為N,兩個小的正數(shù)為α和β。

(2)主循環(huán)。根據(jù)給定的更新誤差確定循環(huán)次數(shù)。

(3)稀疏分解。使用OMP算法求解系數(shù)矩陣X：

X=OMP(D,Y,k)

(8)

(4)更新字典。令

G(n)=(βD(n)X(n)+2Y-Λ(n))/(2+β)

(9)

H(n)=G(n)+Λ(n)/β-D(n)X(n)

(10)

(5)子循環(huán)。即

ω(n)=X(n)(∶,i)X(n)(∶,i)T

(11)

D(n+1)(∶,i)=D(n)(∶,i)+H(n)X(n)(i,∶)T/(ω(n)+δ)

(12)

子循環(huán)結束。

(6)將字典D作歸一化處理，更新拉格朗日乘子矩陣。令

Λ(n+1)=Λ(n)+γβ(G(n)-D(n+1)X(n))

(13)

(7)若迭代達到規(guī)定次數(shù)或者滿足信號重構的誤差要求，則學習過程結束；否則，跳轉到步驟(3)。

在字典學習過程中，參數(shù)β和矩陣Λ的選取對字典更新的收斂性有一定影響，在具體實驗中，可以根據(jù)需要進行調(diào)整。

1.3 基于優(yōu)化字典學習的稀疏分解

利用ADMM字典學習得到的過完備字典，對滾動軸承故障振動信號進行稀疏分解，基本步驟如下：

(1)獲取滾動軸承故障振動信號，并根據(jù)給定的信號，選取訓練矩陣和測試信號。

(2)利用ADMM字典學習方法對訓練矩陣的特性進行學習，得到訓練字典。

(3)根據(jù)學習得到的字典，利用OMP方法對測試信號進行稀疏分解和重構，得到去噪后的信號。

2 信號分析和驗證

為了驗證本文方法在軸承故障振動信號處理中的可行性，本文分別以仿真信號和軸承振動信號作為待處理信號，進行字典學習和稀疏分解，并通過學習結果和分解結果的對比，證明本文方法在信號稀疏分解中的優(yōu)勢。

本文以MATLAB 2014a作為信號處理平臺，進行信號處理，并根據(jù)得到的結果繪制相應的圖形，最后對得到的結果進行分析。

2.1 仿真信號分析

為了驗證本文方法在字典學習中的有效性，本文首先采用隨機信號進行字典學習和稀疏分解。

本實驗中訓練矩陣Y是隨機生成的m×p矩陣，為保證字典學習的效果，取p=5m。隨機生成大小為m×n的DCT矩陣作為初始矩陣D，其中n=2m，并對每一列進行歸一化處理。為對比不同方法在字典學習中的表現(xiàn)，選取固定的迭代次數(shù)(本實驗取10次)和相同的稀疏度(k=15)。

用本文方法和K-SVD字典學習方法分別進行字典學習，并記錄兩種方法在學習過程中所需要的時間。圖1為字典行數(shù)從20增加到600時的學習所用時間,具體的運行時間見表1。

圖1 字典學習時間比較Fig.1 Compare of dictionary learning time

s

從圖1可以明顯看出，在采用相同大小的測試矩陣、字典以及迭代次數(shù)的情況下，用本文方法所花費的時間比用K-SVD字典學習方法所花費的時間要少，而且隨著字典規(guī)模的不斷增大，這種優(yōu)勢越來越明顯。當字典列數(shù)為600時，本文方法的學習時間約為K-SVD方法學習時間的1/2。

為了進一步驗證本文方法在信號處理字典學習過程中的優(yōu)越性,模擬以下仿真信號：

s(t)=2cos(2πft+5)

(14)

在該信號上加入標準正態(tài)分布的隨機噪聲，加噪后的信噪比SNR=-10dB。

從加噪信號中獲取訓練矩陣Y，產(chǎn)生DCT字典作為初始字典，進行字典學習。利用學習得到的字典，對原信號進行稀疏分解，獲得重構信號的均方根誤差(以下簡稱重構誤差)：

(15)

其中，I是原始信號，In是重構信號，length(I)表示信號I的長度。取訓練矩陣大小為100×300，字典大小為100×200，分解稀疏度為15，信號的重構誤差隨迭代次數(shù)增加的變化如圖2所示。

圖2 重構誤差隨迭代次數(shù)的變化Fig.2 Changes of RMSE value with learning times

從圖2可以看出，經(jīng)過字典學習的重構信號的重構誤差值明顯小于未經(jīng)學習的重構誤差值，而且隨著字典學習過程中迭代次數(shù)的增加，經(jīng)過字典學習的重構信號的重構誤差值逐漸減小。利用ADMM學習的信號重構誤差值明顯低于經(jīng)K-SVD學習字典的重構誤差值，而且隨著迭代次數(shù)的增加，兩者差距不斷增大。但是當?shù)螖?shù)大于80時，重構誤差值趨于平穩(wěn)，這表明信號分解的效果并不能隨著字典學習迭代次數(shù)的增加而一直提高。從信號重構的重構誤差值來看，經(jīng)ADMM學習的字典明顯優(yōu)于K-SVD學習的字典。

2.2 軸承信號分析

為了驗證本文方法在滾動軸承振動信號稀疏分解過程中的有效性，選擇滾動軸承內(nèi)圈故障信號為代表進行研究。

本文使用的實驗數(shù)據(jù)來自美國凱斯西儲大學軸承數(shù)據(jù)中心的滾動軸承振動數(shù)據(jù)[19]，滾動軸承為SKF6205-2RS型深溝球軸承，轉速為1797 r/min，采樣頻率為12 kHz。實驗中，根據(jù)重構的殘余量和重構信號的包絡譜，評價軸承信號稀疏分解的質量，并將本文方法與其他方法進行比較。

軸承內(nèi)圈故障頻率的計算公式為

(16)

其中，Z為滾動體個數(shù)，d為滾珠直徑，D為節(jié)徑，θ為壓力角，f為軸轉頻。將軸承的各參數(shù)代入式(16)中，可以求得內(nèi)圈故障頻率約為164Hz。圖3所示為軸承內(nèi)圈故障振動信號。

圖3 軸承內(nèi)圈故障振動信號Fig.3 Fault vibration signal of bearing inner ring

在本實驗中，從軸承振動信號中截取長度為30 000的數(shù)據(jù)點，用來構造大小為100×200的訓練矩陣，在剩余信號中截取1000點信號作為測試信號。構建DCT字典作為待學習字典，分別用K-SVD和ADMM兩種方法進行字典學習。利用學習得到的字典，用OMP算法對測試信號進行稀疏分解和重構，獲得信號重構的殘余量，并對重構信號進行頻譜分解，得到重構信號頻譜圖。

為對比不同方法的優(yōu)劣，在選取相同的訓練矩陣、初始字典和迭代次數(shù)的情況下，進行字典學習和測試信號的稀疏分解，獲得重構信號的包絡譜和重構殘余量的大小。當字典學習次數(shù)為30、分解稀疏度為20時，得到信號重構殘余量(圖4)和重構信號包絡譜圖(圖5)。

通過圖4可以得到，在相同的迭代次數(shù)和稀疏度下，經(jīng)過字典學習對軸承信號稀疏分解得到的重構殘余量比未經(jīng)過字典學習的稀疏分解的殘余量小得多，其中本文方法的重構殘余量比K-SVD字典學習方法的殘余量小，這表明本文方法獲得的字典更好地匹配了待分解的軸承信號，在稀疏分解和重構中有更好的表現(xiàn)。

圖4 不同方法的重構殘余量Fig.4 Residual volume of reconstruction of different methods

圖5 信號稀疏分解得到的包絡譜Fig.5 Envelope spectra obtained by spare decomposition

比較圖5中三個包絡譜圖，可以明顯看出，經(jīng)過字典學習的分解效果比未經(jīng)學習的效果好，包絡譜中的故障頻率更加明顯，含有的干擾頻率更少。同時，在相同的條件下，用兩種方法學習獲得的字典稀疏分解軸承故障信號，所得到的包絡譜圖也存在差別。在本文方法所獲得的包絡譜圖中，軸承內(nèi)圈故障頻率fip十分明顯，雖然存在一些干擾頻率，但幅值小得多。而在K-SVD字典學習方法的包絡譜圖中，雖然可以識別出故障頻率fip，但是個別干擾頻率的幅值非常高。由此可得出，用本文方法學習得到的字典有更好的結構，更加符合待分解軸承信號的特征，在稀疏分解過程中能獲得更好的分解效果。

3 結語

本文研究了基于ADMM的字典學習方法，并將該方法應用于滾動軸承信號的稀疏分解。以仿真信號和軸承內(nèi)圈故障信號作為實驗信號進行字典學習和稀疏分解，獲得字典學習時間和稀疏分解結果。為驗證本方法，取未經(jīng)學習的字典和經(jīng)K-SVD算法學習的字典作為對比對象，比較字典學習的速度和得到字典的結構。最后，比較了滾動軸承內(nèi)圈故障振動信號的稀疏分解的效果。

和K-SVD算法一樣，在基于ADMM的字典學習過程中，也容易陷入問題的局部最優(yōu)點。為求得最優(yōu)解，需要根據(jù)待分解信號的特征，對字典學習過程中參數(shù)進行相應的調(diào)整，如何對參數(shù)進行精確有效的調(diào)整還有待研究。

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(編輯 陳 勇)

Sparse Decomposition of Vibration Signals of Rolling Bearings Based on ADMM Dictionary Learning

SUN Zhanlong TONG Qingbin

School of Electrical Engineering ,Beijing Jiaotong University,Beijing,100044

In the processes of sparse decomposition, the effects of sparse decomposition would be directly affected by dictionary model construction.A dictionary learning method was proposed based on ADMM herein. In the processes of dictionary learning, the ADMM was used to update the atoms in the dictionary, which might obtain the dictionary with better structure. The method was applied to the sparse decomposition of the vibration signals of rolling bearings, shorter dictionary learning time and better sparse decomposition results might be obtained. Compared with the K-SVD dictionary learning method, the proposed method has the superiority in the sparse decomposition of bearing signals.

rolling bearing;sparse decomposition;alternating direction multiplier method (ADMM);dictionary learning

2016-03-25

TH113.1；TH165.3

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.03.010

孫占龍，男，1991年生。北京交通大學電氣工程學院碩士研究生。主要研究方向為故障診斷、損傷評估及壽命預測技術。佟慶彬(通信作者)，男，1979年生。北京交通大學電氣工程學院副教授。E-mail:tqbin818@126.com。