馬德倉

[摘要]：盡管教科書中對分數(shù)的三種含義都提到了，但教育反饋的結(jié)果表明，大部分學生系統(tǒng)地學完分數(shù)之后，對分數(shù)的認識還停留在其“份數(shù)”定義，而且并不了解小數(shù)、分數(shù)、比的含義。這直接導致應(yīng)用這些概念去解決問題帶來困難。因而，對目前教材中“分數(shù)與小數(shù)”內(nèi)容的編寫以及教材中數(shù)學概念的教學進行反思。本文試從分數(shù)與小數(shù)的數(shù)學本質(zhì)方面對小學數(shù)學教科書中概念教學進行探討。

[關(guān)鍵詞]：“小數(shù)” “分數(shù)”

分數(shù)歷來是在小學數(shù)學中既不易“教”也不易“學”的內(nèi)容。盡管教科書中對分數(shù)的三種含義都提到了，但教育反饋的結(jié)果表明，大部分學生系統(tǒng)地學完分數(shù)之后，對分數(shù)的認識還停留在其“份數(shù)”定義，而且并不了解小數(shù)、分數(shù)、比的含義。這直接導致應(yīng)用這些概念去解決問題帶來困難。因而，對目前教材中“分數(shù)與小數(shù)”內(nèi)容的編寫以及教材中數(shù)學概念的教學進行反思。本文試從分數(shù)與小數(shù)的數(shù)學本質(zhì)方面對小學數(shù)學教科書中概念教學進行探討。

一、對“小數(shù)”與“分數(shù)”數(shù)學本質(zhì)的分析

1、“小數(shù)”的本質(zhì)。目前，教材一般都從小數(shù)與分數(shù)的關(guān)系著手，利用分數(shù)來定義小數(shù)。從小數(shù)與分數(shù)的關(guān)系來看，小數(shù)確實是分數(shù)的一種，十進分數(shù)可以寫成小數(shù)形式，但它并不是小數(shù)的本質(zhì)。從“數(shù)系的擴展”角度來看，小數(shù)和分數(shù)的引入都是計數(shù)單位的擴展，即測量和計算以及分物時不能得到整數(shù)的結(jié)果，就得用更小的計數(shù)單位來表示和測量。其中，從整數(shù)擴展成小數(shù)的具體依據(jù)是“十進位值制記數(shù)原則”。在整數(shù)學習中，計數(shù)單位的擴展，尤其是“位值”概念的建立，而且“十進制計數(shù)”，為在建立小數(shù)概念、小數(shù)大小比較以及小數(shù)的運算等方面進行知識遷移提供了基礎(chǔ)。因此，小數(shù)的本質(zhì)在于“十進位值制記數(shù)法”。

2、“分數(shù)”的本質(zhì)。事實上，分數(shù)是從兩種實際意義中產(chǎn)生的，因而具有兩種具體意義。一種是由測量而產(chǎn)生（對應(yīng)的除法為“包含除法”），另一種是由分物體而產(chǎn)生（對應(yīng)的除法為“等分除法”），還有在理論層面上是由數(shù)學發(fā)展的需要而產(chǎn)生的（即除法運算得不到整數(shù)的結(jié)果時需要用新的數(shù)來表示）。分數(shù)的本質(zhì)在于“能夠表示不能整除情形下平均分以后得到的那個結(jié)果的大小”，即a能整除b（a，b都是自然數(shù)，a≠0）時，其商是整數(shù)；不能整除時，其商就是新的數(shù)，我們稱它為分數(shù)。因此，分數(shù)的明確定義，就是兩個自然數(shù)相除（除數(shù)不為0）的商。因而，分數(shù)教學就需要盡快從“份數(shù)定義”過渡到“商定義”。所謂“份數(shù)”定義只是初步認識時的過渡說法，至于“比”定義則是商定義的引申，其價值在于可用它來定量研究兩個以上事物在量方面的結(jié)構(gòu)關(guān)系。

二、對“小數(shù)”定義的對策和對“分數(shù)”定義及其教學的建議

1、對“小數(shù)”定義的對策?；谇懊嫠岬降膯栴}和以上的探討，筆者認為可以將整數(shù)中十進制計數(shù)、位值概念的建立等基本構(gòu)造思想和擴展長度單位時所用過的定義方法遷移過來定義小數(shù)。即當要表示不是整數(shù)的數(shù)值時，也可以用“把原來計數(shù)單位1平均分成10份后得到的每份”來計數(shù)。這個新的計數(shù)單位用“0.1”來表示，并讀作“零點一”，依此類推就可以得到0.01，0.001，……等其他小數(shù)單位。

這樣，避開分數(shù)來定義小數(shù)對“分數(shù)”教學也有好處。因為教科書中將“分數(shù)”的初步認識安排在三年級上冊，其目的就是為了建立小數(shù)概念，然后分數(shù)的系統(tǒng)教學是安排在五年級下冊里。這樣由于兩個階段相距時間較長（正好兩年半），給學生的理解和記憶造成了一定困難。此外，由于分數(shù)的“產(chǎn)生和含義”都放在了第二階段上，所以系統(tǒng)學習時出現(xiàn)了不必要的重復。對概念下定義的過程，是對概念本質(zhì)特征的一種歸納鞏固過程。對于抽象的概念，過早的下定義，等于是索然無味的簡單灌輸，但定義下得太遲，又使學生的已有知識呈現(xiàn)零亂狀態(tài)，不能及時地整理和總結(jié)，更不利于概念的定型化。

2、對“分數(shù)”定義及其教學的建議。筆者認為，關(guān)于“分數(shù)的認識”教學，既要重視概念的階段性，又要注意到概念發(fā)展的連續(xù)性，要有計劃地發(fā)展概念的含義，按階段發(fā)展學生的抽象概括能力。因此，建議強調(diào)“分數(shù)與除法的等價性”，講解更透徹一點，使學生真正認識到“分數(shù)與除法可以互逆，可以看作同一種運算”。對上面提出的問題，把例3改成“10只是7只的幾倍？”和“7只是10只的幾分之幾？”的兩個小題來，說明“分數(shù)與除法的等價性”對包含除法也成立，至于“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾，可以用除法計算”的道理，可以利用它們之間的對稱關(guān)系來解釋如下：“求10只是7只的幾倍，就是求10里包含多少個7，所以要算10÷7得多少”。同樣，“求7只是10只的幾分之幾，就是求7里包含多少個10，這里因為7比10小，不能把整個10都包含，但可以包含10的一部分，所以要算7÷10得多少”，在這基礎(chǔ)上對除法的兩種情況進行全面地歸納，得出結(jié)論才符合邏輯，學生也可以接受。而對數(shù)學概念不注重引入，只是簡單舉個例子，找出規(guī)律，將概念直接提出來的做法是不科學的，不利于培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì)。

三、結(jié)束語

在小學階段，分數(shù)與小數(shù)概念是非常重要的數(shù)概念，由于分數(shù)與自然數(shù)有著較大的差異，學生掌握分數(shù)概念比較困難，如果教科書中只是給出了抽象的定義，學生即便是了解了分數(shù)和小數(shù)的外延，也不一定懂它們的本質(zhì)，對分數(shù)概念的產(chǎn)生、發(fā)展、延伸、變化，更沒有清楚的認識。因而，在編寫教材時，不妨去對潛藏在分數(shù)與小數(shù)概念中的思想作充分的分析，使得學生掌握概念最核心、最本質(zhì)的特征。這樣，能通過概念教學，讓學生把握分數(shù)與小數(shù)的本質(zhì)，體會其中的數(shù)學思想，從而使得分數(shù)與小數(shù)的教學取得更好的效果。