李 潔， 董玲珍

(太原理工大學 數(shù)學學院， 山西 太原 030024)

一類隨機HIV病毒模型中正平衡點的穩(wěn)定性研究*

李 潔， 董玲珍

(太原理工大學 數(shù)學學院， 山西 太原 030024)

建立了一類帶有隨機擾動的隨機HIV病毒模型. 通過研究該模型， 運用構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的方法， 分析了地方病平衡點的隨機穩(wěn)定性， 給出了地方病平衡點隨機穩(wěn)定的充分條件. 最后， 利用數(shù)值模擬的方法驗證了所得結(jié)論.

隨機因素； HIV模型； It公式；Lyapunov函數(shù)； 隨機穩(wěn)定性

0 引 言

近年來， 越來越多的傳染病影響著人類的生產(chǎn)和生活. 眾所周知， 艾滋病是嚴重危害人類健康的疾病之一. 艾滋病是由人類免疫缺陷病毒(HIV)引起的， HIV把人體中的T淋巴細胞作為攻擊目標， 大量破壞并吞噬該細胞， 從而破壞人的免疫系統(tǒng)， 最終導致免疫力下降， 免疫系統(tǒng)崩潰， 使人類喪失對疾病的抵抗力， 最終引發(fā)死亡. 鑒于其對人類健康的嚴重威脅性， 近年來， HIV已經(jīng)引起了國內(nèi)外學者的廣泛關注. 許多學者通過建立相應的HIV病毒傳染的數(shù)學模型， 利用各種數(shù)學理論來研究模型的動力學行為， 進而為控制和治療該疾病提供理論依據(jù).

文獻[1]中， 研究了一類HIV病毒模型的動力學行為， 討論了平衡點的穩(wěn)定性問題以及分支現(xiàn)象. 文獻[2]中， 建立了一類帶時滯的HIV-1模型， 研究了模型中平衡點的全局漸近行為. 同樣， 在文獻[3-4]中， 研究了各種HIV病毒模型， 并給出了病毒存在與絕滅的臨界值-基本再生數(shù). 文獻[3]中建立了如下確定性HIV模型

(1)

本文類似于文獻[9]中添加白噪聲干擾的方法， 對確定模型(1)添加相應的白噪聲， 得到的隨機模型為

(2)

式中：Bi(t)是標準的布朗運動；σi(i=1,2,3)為布朗運動的強度.

1 模型(2)的地方病平衡點的隨機穩(wěn)定性

顯然， 當R0>1時， 系統(tǒng)(2)具有與系統(tǒng)(1)相同的地方病平衡點P*. 一個很自然的問題是: 系統(tǒng)中所引進的隨機擾動如何影響系統(tǒng)的動力學行為. 特別是， 這一隨機擾動是否會影響地方病平衡點的穩(wěn)定性. 此即為本節(jié)將要討論的主要內(nèi)容. 首先介紹一些基本的定義與一些相關的引理.

在下文中， {Ω,F,{Ft}t≥0,P}是一個完備的概率空間， {Ft}t≥0滿足一般的條件(它是線性增長和右連續(xù)的， 其中F0包括所有的P-null集).

考慮d維的隨機微分方程如下[10]

(3)

式中： B(t)是定義在上述概率空間上的標準布朗運動. 初值x(t0)=x0, x(t;t0,x0)表示t時刻隨機微分方程(3)的平凡解或平衡位置.

定義 1[10]1) 若任意的ε∈(0,1)和r>0， 存在δ=δ(ε,r,t0)>0， |x0|<δ， 使得下面的條件滿足

則系統(tǒng)(3)的平凡解是隨機穩(wěn)定的或者依概率穩(wěn)定， 否則， 稱隨機不穩(wěn)定.

2) 若平凡解是隨機穩(wěn)定的， 對于任意的ε∈(0,1)， 存在δ0=δ0(ε,t0)>0， |x0|<δ， 使得下面的條件滿足

則稱系統(tǒng)(3)的平凡解是隨機漸近穩(wěn)定的.

3) 若平凡解是隨機漸近穩(wěn)定的， 對于任意的x0∈ Rd， 使得下面的條件滿足

則稱系統(tǒng)(3)的平凡解是全局隨機漸近穩(wěn)定的.

引理 1[11]假設存在V函數(shù): V(z,t)∈ C2(Ω)滿足下面的條件

其中， ω>0， Ki(i=1,2,3)是正常數(shù)， 則對于t≥0， 系統(tǒng)(3)的平凡解是ω次指數(shù)穩(wěn)定的， 當ω=2時， 平凡解是均方指數(shù)穩(wěn)定的. 也就是說， 系統(tǒng)(2)的地方病平衡點是隨機穩(wěn)定的.

對于隨機模型(2)有如下定理:

定理 1 若R0>1， 且滿足

那么該系統(tǒng)的地方病平衡點P*是隨機穩(wěn)定的. 其中R0仍為文獻[1]中所定義的基本再生數(shù).

證明 對模型(2)作變換， 令X=x-x*， Y=y-y*， Z=v-v*， 可得到

(kY+ky*-uZ-uv*)dt+σ3ZdB3(t)=

(kY-uZ)dt+σ3ZdB3(t).

不妨仍用x， y， z 分別表示X， Y， Z， 那么可以得到如下模型

(4)

其中， a>0， b>0， c>0待定. 令

由It公式， 可得

從而

LV1+LV2+LV3=

選取a(d+p)=bβv*， 則有

又因

故

由已知， 得

又由于

從而

可以選取合適的a>0， c>0， 使之滿足:

即

(5)

且

(6)

由式(5)和式(6)， 可以得到

(7)

(8)

(9)

(10)

即

又因bβxyz=o(x2+y2+z2)， 故

LV=LV1+LV2+LV3=

其中

這樣，由引理1知，模型(4)的零解是隨機穩(wěn)定的，即隨機模型(2)的地方病平衡點是隨機穩(wěn)定的.

2 數(shù)值模擬

本文采用文獻[12]中的離散方法對模型(2)進行離散， 從而對確定性模型和相應的隨機模型進行數(shù)值模擬， 分析隨機擾動對系統(tǒng)正平衡點穩(wěn)定性的影響.

選取初值x1=50， y1=50， v1=5， 選取參數(shù)λ=10， β=0.01， d=0.1， k=0.1， p=0.1， u=0.8， 易求得R0=1.25>1， 此時確定性系統(tǒng)(1)存在全局穩(wěn)定的正平衡點(80,20,2.5). 在該系統(tǒng)中引進隨機擾動:

1) 取白噪聲強度系數(shù)為σ1=σ2=σ3=0.05， 利用Matlab軟件， 可以分別得到隨機模型和確定模型中x(t)， y(t)， v(t)隨時間t變化的對比圖像， 如圖 1 所示.

圖 1 σ1=σ2=σ3=0.05時系統(tǒng)(2)與系統(tǒng)(1)中 x(t)，y(t)，v(t)隨時間t的變化對比圖Fig.1 Change of x(t), y(t) and v(t) with time in σ1=σ2=σ3=0.05

2) 取白噪聲強度系數(shù)為σ1=σ2=σ3=0.1， 利用Matlab軟件， 可以分別得到隨機模型和確定模型中x(t)， y(t)， v(t)隨時間t變化的對比圖像， 如圖 2 所示.

圖 2 σ1=σ2=σ3=0.1時系統(tǒng)(2)與系統(tǒng)(1)中 x(t)，y(t)，v(t)隨時間t的變化對比圖Fig.2 Change of x(t), y(t) and v(t) with time in σ1=σ2=σ3=0.1

圖 1 和圖 2 的標注中， x1(t)，y1(t)，v1(t)分別表示隨機模型中健康T細胞， 被感染T細胞和HIV病毒粒子的濃度隨時間t的變化圖像； x2(t)， y2(t)， v2(t)分別表示確定模型中健康T細胞， 被感染T細胞和HIV病毒粒子的濃度隨時間t的變化圖像. 圖 1 和圖 2 表明：1) 確定模型(1)的正平衡點是漸近穩(wěn)定的， 隨機模型(2)的解在確定模型(1)的解附近做隨機振動， 且當t→+∞時， 隨機系統(tǒng)(2)的解趨于正平衡點；

2) 在滿足定理1的條件下的白噪聲強度中， 噪聲強度越小， 解的振動幅度越小； 相反， 噪聲強度越大， 解的振動幅度越大. 說明噪聲強度的大小影響著隨機系統(tǒng)解的振動幅度.

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Stability of the Endemic Equilibrium in a HIV Model with Random Perturbation

LI Jie， DONG Ling-zhen

(College of Mathematics， Taiyuan University of Technology， Taiyuan 030024， China)

A class of HIV model with random perturbation is established, and by using Lyapunov function, the stochastic stability of endemic equilibrium is analyzed, then the sufficient condition of the stochastic stability of endemic equilibrium is given. Finally, numerical simulations are carried out to support the theoretical analysis.

random perturbation； HIV model； Itformula； Lyapunov function； stochastic stability

1673-3193(2017)01-0019-05

2016-03-04

教育部科學技術(shù)研究重點項目(210030)； 山西省自然科學基金資助項目(2013011002-3)

李 潔(1990-)， 女， 碩士生， 主要從事微分方程理論及其應用研究.

O175

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2017.01.004