王 瑜， 李有文， 焦毅航， 劉丹偉

(1. 中北大學(xué) 理學(xué)院， 山西 太原 030051； 2. 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院， 內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051)

基于擇優(yōu)連接和隨機連接的協(xié)作通信網(wǎng)特性分析*

王 瑜1， 李有文1， 焦毅航1， 劉丹偉2

(1. 中北大學(xué) 理學(xué)院， 山西 太原 030051； 2. 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院， 內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051)

協(xié)作通信高效的空間分集增益可以使通信性能得到提高， 但是由于協(xié)作通信網(wǎng)資源有限， 通信擁堵現(xiàn)象時有發(fā)生. 基于擇優(yōu)連接和隨機連接對協(xié)作通信演化網(wǎng)絡(luò)進行建模， 利用馬氏鏈理論方法， 對協(xié)作通信網(wǎng)絡(luò)的度分布穩(wěn)定性的存在性進行嚴格證明， 得出網(wǎng)絡(luò)度分布的精確方程， 發(fā)現(xiàn)通過調(diào)節(jié)概率p能夠有效地控制和優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)的傳輸容量. 通過數(shù)值模擬方法對網(wǎng)絡(luò)度分布理論的結(jié)果進行分析驗證. 所得分析結(jié)果可以為控制和預(yù)測協(xié)作通信演化網(wǎng)絡(luò)提供參考.

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)； 協(xié)作通信； 度分布； 馬氏鏈

0 引 言

協(xié)作通信相對于直接通信可使目標用戶實現(xiàn)快速、 高可靠性的數(shù)據(jù)傳輸， 可提供空間分集增益[1-3]， 合理分配和管理中繼節(jié)點成為了協(xié)作通信中研究的重要問題．文獻[4-5]提出了一種能使系統(tǒng)性能得到提高的算法， 即基于單個中繼節(jié)點的最佳中繼節(jié)點選取算法， 但其沒有考慮多個中繼節(jié)點協(xié)作通信所帶來的系統(tǒng)性能提高．在一個通信系統(tǒng)中， 中繼節(jié)點的數(shù)量選擇并不是越多越好， 若選擇數(shù)量較多的中繼節(jié)點反而會使通信系統(tǒng)復(fù)雜度增加， 同時增加了成本， 因此如何選擇合適數(shù)量的協(xié)同節(jié)點是一個重點研究的問題.合理地配置源節(jié)點和中繼節(jié)點的發(fā)射功率， 可以提高協(xié)作通信的功率效率和最小化用戶間的干擾. 文獻[6-7]針對功率分配問題進行研究， 但是其只討論了單中繼節(jié)點的功率分配難題， 并沒有對系統(tǒng)資源的優(yōu)化配置進行討論.

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論通過點與鏈路可直觀抽象地刻畫出復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)， 并且對看似互不相同的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)之間的共性進行分析研究， 從而找到處理有共性的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)方法， 使我們更清楚地了解復(fù)雜系統(tǒng)的內(nèi)在作用機理以及復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)構(gòu)造及功能. Dorogovtsev等對BA無標度模型中各節(jié)點老化現(xiàn)象對網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的影響進行了研究[8]， Amaral等對老化、 容量以及成本等因素對網(wǎng)絡(luò)的影響進行了綜合分析研究， 并建立模型解釋了真實的網(wǎng)絡(luò)分布并不完全符合冪律分布[9]. 許多學(xué)者針對BA模型中的一些與真實網(wǎng)絡(luò)不相符的問題， 提出了各類網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)演化模型[10-14]. 對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中優(yōu)先連接機制也有許多學(xué)者進行了研究. 如文獻[13] 中Kleibberge和Kumar利用拷貝機制代替了優(yōu)先連接機制的方法形象地解釋了網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)冪律現(xiàn)象的原因. Vázque等人提出了隨機行走機制[15]. 針對BA模型只有加點操作的不足， 2000年Albert 和Barabási通過添加鏈路對網(wǎng)絡(luò)的影響提出了擴展的BA模型. 針對BA模型中老節(jié)點總以大概率獲得連接的情況與真實的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中不符的不足， Bianconi和Barabási提出了適應(yīng)度模型， 該模型中以適應(yīng)度來衡量決定連接. 但是， 研究發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實的很多網(wǎng)絡(luò)鏈接既存在優(yōu)先連接特性又存在隨機連接特性， 因此Liu等[16]提出了一種復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型， 該模型是基于優(yōu)先連接和隨機連接的混合模型.

文獻[17]提出了一種網(wǎng)絡(luò)協(xié)調(diào)博弈交易行為的演化模型， 但是由于擇優(yōu)連接會造成網(wǎng)絡(luò)中老舊節(jié)點的度越來越大， 這樣會使得網(wǎng)絡(luò)中一部分通信容量有限的節(jié)點造成擁堵. 因此， 本文提出一種基于擇優(yōu)連接和隨機連接的協(xié)作通信演化網(wǎng)絡(luò)模型， 可起到控制和優(yōu)化協(xié)作通信網(wǎng)資源的作用.

1 基于擇優(yōu)連接和隨機連接的協(xié)作通信演化網(wǎng)絡(luò)特性分析

1.1 模 型

基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)來研究協(xié)作通信網(wǎng)， 就要考慮其獨特性. 由于協(xié)作通信網(wǎng)是實際應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)的一種， 它的增長特性也遵循BA型網(wǎng)絡(luò)， 但是每個節(jié)點都會受到其通信能力的限制， 所以只考慮BA型增長網(wǎng)絡(luò)會使得一些節(jié)點通信擁堵. 因此， 本文考慮基于BA網(wǎng)絡(luò)和隨機網(wǎng)絡(luò)混合的模型來研究協(xié)作通信網(wǎng)絡(luò)， 這樣會對BA網(wǎng)絡(luò)的增長有所緩和.

優(yōu)先連接和隨機連接混合使用的概率模型為

其中， 0≤p≤1， 表示新節(jié)點在已存在網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點隨機連邊的概率， 以概率1-p表示新節(jié)點在已存在網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點選擇度值較高的節(jié)點進行連邊.k(i,t)表示在t時刻第i個節(jié)點的度為k.

初始條件： 網(wǎng)絡(luò)中存在m0個節(jié)點， 節(jié)點的總度為N0. 假設(shè)每組協(xié)作通信至多存在一次時隙， 網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點度至少為1(不存在孤立節(jié)點)， 在每個時間單位內(nèi)完成以下4個步驟：

1) 在t時刻網(wǎng)絡(luò)中增加一個度為m1的節(jié)點的概率為p1.

2) 在t時刻網(wǎng)絡(luò)中增加一條鏈路的概率為p2.

3) 在t時刻網(wǎng)絡(luò)中失去一個度為m2的節(jié)點的概率為p3.

4) 在t時刻網(wǎng)絡(luò)中一條鏈路通信中斷的概率為p4.

令p1+p2+p3+p4=1， 可以得到，t時刻網(wǎng)絡(luò)中共m0+(p1-p3)t個節(jié)點， 總度數(shù)之和為N0+(2m1p1+2p2-2m2p3-2p4)t.

令ki(t)表示在i時刻加入網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點在t時刻的度數(shù). 很容易得到， {ki(t)}(t=i,i+1,…)是非齊次馬爾科夫鏈， 令P(k,i,t)=P{ki(t)=k}. 由模型的構(gòu)造可知， {ki(t)}(t=i,i+1,…)的初始分布為P(k,i,t)=δk,m1， 其中δm1,m1=1； 當k≠m時，δk,m1=0， 那么就可以得出網(wǎng)絡(luò)演化模型的轉(zhuǎn)移概率方程為

(1)

1.2 度分布穩(wěn)定性分析

定義 1 設(shè)p(k,i,t)表示i時刻進入系統(tǒng)的節(jié)點i在t時刻具有度數(shù)為k的概率， 則網(wǎng)絡(luò)在t時刻的度分布定義為平均值

(2)

如果存在極限

(3)

則該網(wǎng)絡(luò)具有穩(wěn)定的度分布P(k,t),k=0,1,2,….

根據(jù)定義 1， 可得到如下引理：

證明 由協(xié)作通信演化網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造可以得知， 節(jié)點i在剛加入網(wǎng)絡(luò)的度為m1(P(m,i,i)=1)， 那么就有

(4)

式中： 1≤i≤t. 根據(jù)定義1， 可以得到

(5)

很容易可以看出方程(5)是一個差分方程， 求解可以得出

(6)

令

當t→∞時， 則有P(m1,t)=xt/yt. 由方程(6) 可以令差分方程為

(7)

(8)

由差分方程(7)和方程(8)， 可以得出

(9)

當t→∞時， 方程(9)可以近似變形為

(10)

上述引理表明， 協(xié)作通信網(wǎng)絡(luò)演化過程中度為m1的節(jié)點在總節(jié)點中所占的比例P(m1)是參數(shù)p的函數(shù).

當p=0時，

當p=1時，

對于在t時刻度為k(k>m1)的節(jié)點， 在t-1時刻的度可能為k(節(jié)點在t時刻不加邊不刪邊)， 或k-1(節(jié)點在t時刻加邊)， 或k+1(節(jié)點在t時刻刪邊). 因此， 根據(jù)引理1可以得到引理2.

證明 證明過程類似引理1.

由引理2， 可以得出以下結(jié)論：

當p=0時，

當p=1時，

由引理1和引理2， 利用數(shù)學(xué)歸納法， 可以得出以下定理：

定理 1P(k) (k=m1,m1+1,…)存在， 且當k≥m1時， 那么就有

其中，

F2(p,m1)=[2m1p1+2p2-2m2p3-2p4-(2m1p1+2p2-2m2p3-2p4-p1+p3)p]×

由上述定理1， 很容易得到：

當p=0時，P(k)≈k-1， 所得度分布為冪律分布； 當p=1時，

所得度分布為指數(shù)分布；

1.3 數(shù)值仿真

為了檢驗基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的協(xié)同通信系統(tǒng)模型的分析結(jié)果， 對系統(tǒng)的度分布特性進行數(shù)值模擬. 假設(shè)初始狀態(tài)系統(tǒng)由m0=4個節(jié)點全連通構(gòu)成， 令m1=3， m2=3， p=0,0.5,1， p1=0.7， p2=0.13， p3=0.04， p4=0.13， N=500(見圖1(a))， N=1 500(見圖 1(b)).

圖 1 不同網(wǎng)絡(luò)規(guī)模中不同值對網(wǎng)絡(luò)度分布的影響Fig.1 Influence of degree distribution with different value of in different sizes of network

圖 2 新增節(jié)點的不同度值對網(wǎng)絡(luò)度分布的影響Fig.2 Influence of network degree distribution with different value of new node

由兩圖顯然可以看出當系統(tǒng)中節(jié)點規(guī)模不斷增大時， 系統(tǒng)中部分節(jié)點的最大度也在不斷增大. 隨著p值的增大， 網(wǎng)絡(luò)的度分布由冪律分布逐漸退化為指數(shù)分布， 表明網(wǎng)絡(luò)節(jié)點之間的連接逐漸趨于隨機化. 當p=1時， 網(wǎng)絡(luò)演化過程完全隨機化.

令m1=4(圖2(a))，m1=7(圖2(b))，m2=3，p=0,0.5,1，p1=0.7，p2=0.13，p3=0.04，p4=0.13，N=500. 由兩圖顯然可以看出， 當每個加入到系統(tǒng)中節(jié)點的度值逐漸增大時， 系統(tǒng)中節(jié)點的平均度也在不斷增大. 當系統(tǒng)中節(jié)點規(guī)模不斷增大時， 系統(tǒng)中部分節(jié)點的最大度也在不斷增大. 隨著p值的增大， 網(wǎng)絡(luò)的度分布也由冪律分布逐漸退化為指數(shù)分布， 表明網(wǎng)絡(luò)節(jié)點之間的連接逐漸趨于隨機化. 當p=1時， 網(wǎng)絡(luò)演化過程也完全隨機化. 當網(wǎng)絡(luò)中某些節(jié)點由于資源有限時， 為了防止通信擁堵現(xiàn)象發(fā)生， 可以通過調(diào)節(jié)p值來優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)傳輸性能.

2 結(jié) 語

本文根據(jù)協(xié)作通信網(wǎng)絡(luò)的實際特征， 提出網(wǎng)絡(luò)演化過程的4個步驟， 并利用馬氏鏈理論方法對網(wǎng)絡(luò)演化過程進行建模和分析.結(jié)果表明： 當p=0時， 所得度分布為冪律分布； 當p=1時， 所得度分布為指數(shù)分布； 當0

本文雖然通過混合機制的連接方法對協(xié)作通信演化網(wǎng)絡(luò)進行了建模， 但是這僅適應(yīng)于協(xié)同通信網(wǎng)絡(luò)中老舊節(jié)點的通信能力有所保障的情況下. 如果協(xié)同通信網(wǎng)絡(luò)中新增節(jié)點由于其具有良好的性能和更高的通信容量時， 則需要通過建立適應(yīng)度形式的網(wǎng)絡(luò)演化模型進行分析， 這將是后續(xù)需要研究的問題.

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Performance Analysis of Cooperative Communication Networks Based on Preferential and Random Attachments

WANG Yu1， LI You-wen1， JIAO Yi-hang1， LIU Dan-wei2

(1. School of Science, North University of China, Taiyuan 030051, China；2. School of Science, Inner Mongolia University of Technology, Hohhot 010051, China)

Although cooperative communication has the characteristics of high efficiency of spatial diversity gain, communication congestion is occurred by the limited resources of cooperative communication network. By the method of Markov chain theory, the cooperative communication network evolution model was presented based on preferential and random attachment, and the existence of distribution stability was strictly proved and given the exact equations for the degree distribution of the network. It is found that the transmission capacity of the network can be effectively controlled and optimized by adjusting the probability ofp. Numerical simulation was carried out to verify the theoretical results of the network degree distribution. The analysis results provide reference for the control and prediction of the evolution of cooperative communication networks.

complex network; cooperative communication; degree distribution; Markov chain

1673-3193(2017)01-0060-06

2016-06-12

國家自然科學(xué)基金資助項目(11301491)

王 瑜(1990-)， 男， 碩士， 主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究.

李有文(1967-)， 男， 副教授， 主要從事生物數(shù)學(xué)、 層次分析法等研究.

TN911.1； O157.6

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2017.01.012